Страница 99 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 659. Пучок заряженных частиц влетает в магнитное поле перпендикулярно силовым линиям этого поля. Докажите, что траектория движения частицы в этом поле будет окружностью. Считать поле однородным.

Решение

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Вектор этой силы $\vec{F}_L$ определяется выражением:

$\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$

где $q$ – заряд частицы, $\vec{v}$ – вектор её скорости, а $\vec{B}$ – вектор магнитной индукции.

Модуль силы Лоренца вычисляется по формуле:

$F_L = |q|vB\sin\alpha$

где $\alpha$ – угол между векторами скорости $\vec{v}$ и магнитной индукции $\vec{B}$.

По условию задачи, частица влетает в магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям. Это означает, что угол $\alpha = 90^\circ$, следовательно, $\sin\alpha = \sin(90^\circ) = 1$. В этом случае модуль силы Лоренца, действующей на частицу, постоянен и равен своему максимальному значению:

$F_L = |q|vB$

Направление силы Лоренца, согласно свойствам векторного произведения, всегда перпендикулярно плоскости, образованной векторами $\vec{v}$ и $\vec{B}$. Это означает, что сила $\vec{F}_L$ всегда перпендикулярна вектору скорости частицы $\vec{v}$.

Поскольку сила Лоренца всегда перпендикулярна направлению движения частицы (вектору скорости), она не совершает работы. Работа силы $A$ на малом перемещении $d\vec{r}$ равна $dA = \vec{F}_L \cdot d\vec{r} = \vec{F}_L \cdot \vec{v} dt$. Так как $\vec{F}_L \perp \vec{v}$, их скалярное произведение равно нулю, и, следовательно, работа $A = 0$.

Согласно теореме о кинетической энергии, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии: $A = \Delta K$. Поскольку работа силы Лоренца равна нулю, кинетическая энергия частицы $K = \frac{mv^2}{2}$ не изменяется. Так как масса частицы $m$ постоянна, то и модуль ее скорости $v$ также остается постоянным ($v = \text{const}$).

Таким образом, на частицу действует сила, которая:

1. Постоянна по модулю (так как величины $q$, $v$ и $B$ (в однородном поле) постоянны).

2. Всегда перпендикулярна вектору скорости.

Сила, обладающая такими свойствами, является центростремительной. Она не изменяет модуль скорости, а лишь непрерывно изменяет ее направление. Движение тела с постоянной по модулю скоростью под действием постоянной по величине силы, перпендикулярной скорости, является движением по окружности.

Сила Лоренца выступает в роли центростремительной силы $F_c$, которая по второму закону Ньютона равна $F_c = ma_c = \frac{mv^2}{r}$, где $a_c$ - центростремительное ускорение, а $r$ - радиус траектории.

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем:

$|q|vB = \frac{mv^2}{r}$

Отсюда можно выразить радиус окружности, по которой движется частица:

$r = \frac{mv}{|q|B}$

Так как масса $m$, скорость $v$, заряд $q$ частицы и индукция магнитного поля $B$ являются постоянными величинами, то радиус траектории $r$ также постоянен.

Движение с постоянной скоростью по траектории с постоянным радиусом кривизны — это движение по окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Траектория частицы является окружностью, так как действующая на нее сила Лоренца постоянна по модулю и всегда перпендикулярна вектору скорости. Эта сила не совершает работы и не изменяет кинетическую энергию частицы, а лишь искривляет ее траекторию, играя роль центростремительной силы и заставляя частицу двигаться по окружности постоянного радиуса.

660. На столе лежит рамка из гибкой лёгкой проволоки. Магнитное поле направлено сверху вниз (рис. 145). Какую форму примет виток, если пропустить ток так, как показано на рисунке; если изменить направление тока? Проверьте на опыте.

Рис. 145

Решение

На каждый участок проводника с током, помещенного в магнитное поле, действует сила Ампера. Направление этой силы определяется по правилу левой руки: если левую руку расположить так, чтобы вектор магнитной индукции $\vec{B}$ входил в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока $I$, то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление силы Ампера $\vec{F}_A$.

Какую форму примет виток, если пропустить ток так, как показано на рисунке

Согласно рисунку, магнитное поле $\vec{B}$ направлено вертикально вниз (перпендикулярно плоскости рамки), а ток $I$ в рамке течет против часовой стрелки. Применив правило левой руки к каждому из четырех прямолинейных участков рамки, можно определить, что сила Ампера, действующая на каждый участок, будет направлена радиально наружу от центра рамки. Поскольку проволока гибкая, под действием этих растягивающих сил она будет стремиться занять форму с максимальной площадью при заданной длине. Такой формой является окружность.

Ответ: рамка растянется и примет форму, близкую к окружности.

Какую форму примет виток, если изменить направление тока

Если направление тока в рамке изменить на противоположное (т.е. ток будет течь по часовой стрелке), то, согласно правилу левой руки, направление силы Ампера на каждом участке также изменится на противоположное. Теперь сила Ампера будет направлена радиально внутрь, к центру рамки. Под действием этих сжимающих сил гибкая рамка будет сжиматься.

Ответ: рамка сожмется.