Номер 6, страница 202 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 39. § 42. Плоское зеркало. Глава 3. Световые явления. Электромагнитные волны - номер 6, страница 202.

6. Чтобы увидеть своё изображение во весь рост в плоском вертикальном зеркале, высота зеркала должна быть не меньше половины высоты роста человека. Докажите это с помощью построений.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся законами геометрической оптики, а именно законом отражения света от плоского зеркала, и выполним геометрическое построение.

Решение

Пусть рост человека, стоящего вертикально, равен $H$. Обозначим его фигуру как вертикальный отрезок $AB$, где точка $A$ — это макушка головы, а точка $B$ — это ступни ног. Глаза наблюдателя находятся в точке $G$, расположенной на отрезке $AB$.

Согласно законам построения изображения в плоском зеркале, изображение $A'B'$ человека будет мнимым, прямым (неперевернутым), равным по размеру самому человеку ($A'B' = H$) и будет находиться за зеркалом на таком же расстоянии, на каком человек находится перед ним.

Чтобы человек увидел свое изображение полностью, от макушки до ступней, необходимо, чтобы световые лучи, исходящие от точек $A$ и $B$, после отражения от зеркала попали в глаз наблюдателя $G$.

Рассмотрим ход лучей:

• Луч от макушки ($A$) должен отразиться от некоторой верхней точки зеркала $C$ и попасть в глаз $G$. Из-за прямолинейности распространения света, отраженный луч $CG$ кажется исходящим из точки мнимого изображения макушки $A'$. Это означает, что точки $A'$, $C$ и $G$ лежат на одной прямой.
• Аналогично, луч от ступней ($B$) должен отразиться от некоторой нижней точки зеркала $D$ и попасть в глаз $G$. Этот луч кажется исходящим из точки мнимого изображения ступней $B'$. Следовательно, точки $B'$, $D$ и $G$ также лежат на одной прямой.

Минимально необходимая высота зеркала — это длина вертикального отрезка $CD$. Найдем эту длину с помощью геометрии.

Пусть расстояние от человека до зеркала равно $d$. Тогда расстояние от изображения до зеркала также равно $d$, а расстояние от глаз наблюдателя $G$ до его мнимого изображения $A'B'$ равно $2d$.

Проведем через глаз $G$ горизонтальную ось, перпендикулярную человеку и зеркалу. Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника, образованных верхним лучом $A'CG$. Большой треугольник имеет катеты: один — горизонтальный, длиной $2d$ (от глаза до плоскости изображения), и второй — вертикальный, равный расстоянию от уровня глаз до макушки. Малый треугольник также имеет вершину в точке $G$, его горизонтальный катет равен $d$ (от глаза до зеркала), а вертикальный катет — это часть зеркала над уровнем глаз, отрезок $MC$ (где $M$ — точка на зеркале на уровне глаз).

Из подобия этих треугольников следует, что отношение их катетов равно: $ \frac{\text{высота верхней части зеркала}}{\text{расстояние от глаз до макушки}} = \frac{d}{2d} = \frac{1}{2} $

Таким образом, высота верхней части зеркала (от уровня глаз до точки $C$) равна половине расстояния от глаз до макушки.

Точно так же рассмотрим подобные треугольники, образованные нижним лучом $B'DG$. Высота нижней части зеркала (от уровня глаз до точки $D$) будет равна половине расстояния от глаз до ступней. $ \frac{\text{высота нижней части зеркала}}{\text{расстояние от глаз до ступней}} = \frac{d}{2d} = \frac{1}{2} $

Общая минимальная высота зеркала $CD$ складывается из высоты его верхней и нижней частей (относительно уровня глаз):

Высота зеркала = (Высота верхней части) + (Высота нижней части)

Высота зеркала = $ \frac{1}{2} \times (\text{расстояние от глаз до макушки}) + \frac{1}{2} \times (\text{расстояние от глаз до ступней}) $

Вынесем $ \frac{1}{2} $ за скобки:

Высота зеркала = $ \frac{1}{2} \times ((\text{расстояние от глаз до макушки}) + (\text{расстояние от глаз до ступней})) $

Сумма расстояний от глаз до макушки и от глаз до ступней есть не что иное, как полный рост человека $H$.

Следовательно, минимальная высота зеркала равна $ \frac{H}{2} $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Геометрическое построение хода лучей от крайних точек тела (макушки и ступней) к глазу наблюдателя показывает, что для полного обзора своего отражения необходим участок зеркала, высота которого равна ровно половине роста человека. Это следует из подобия треугольников, образуемых лучами света, или из того, что необходимый участок зеркала является средней линией треугольника с вершиной в глазу наблюдателя и основанием, равным мнимому изображению человека.