Страница 324 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

№ 3 Определение жёсткости пружины

Цель работы Определить жёсткость пружины по графику зависимости

Приборы и материалы Штатив с муфтой и лапкой, спиральная пружина, набор грузов массой 100 г каждый, линейка. F_упр(x).

Указания к работе

1. Закрепите в лапке штатива конец пружины и линейку так, чтобы пружина была параллельна линейке.

2. Определите длину пружины l₀ в ненагруженном состоянии.

3. Подвешивая к пружине последовательно один груз, два, три, четыре груза, определите длину пружины l и удлинение х = l - l₀ для каждого случая.

4. Обработка результатов измерений. Результаты прямых измерений запишите в таблицу 5 с учётом абсолютной погрешности, равной цене деления шкалы линейки. Учтите, что абсолютная погрешность удлинения пружины будет складываться из погрешности определения начальной длины пружины и погрешности определения длины пружины в нагруженном состоянии. Сила упругости пружины будет равна силе тяжести груза, подвешенного к пружине (тело находится в равновесии под действием двух сил, значит, эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны).

5. Используя результаты опытов, постройте график зависимости силы упругости пружины от её удлинения.

Примечание Для построения графика с учётом погрешности необходимо на координатной плоскости по оси х отметить не точки, а отрезки, соответствующие интервалу возможных значений удлинения. Прямую следует провести так, чтобы она проходила через начало координат и пересекала все построенные отрезки.

6. Сделайте вывод, подтверждают ли ваши результаты справедливость закона Гука.

7. Определите жёсткость пружины.

Дано:

Масса одного груза $m_1 = 100$ г

Ускорение свободного падения $g = 9.8$ Н/кг

Абсолютная погрешность измерения длины линейкой (цена деления) $\Delta l_{изм} = 1$ мм

Перевод в СИ:

$m_1 = 0.1$ кг

$\Delta l_{изм} = 0.001$ м

Жёсткость пружины $k$

Ниже представлен ход выполнения лабораторной работы по определению жёсткости пружины на основе смоделированных экспериментальных данных.

Этот пункт описывает подготовку экспериментальной установки. Пружина и линейка закрепляются на штативе вертикально, чтобы можно было точно измерить изменение длины пружины под действием грузов.

Проводим измерение начальной длины пружины без нагрузки. Предположим, что результат измерения составил $l_0 = 10.0$ см. Учитывая, что погрешность измерения равна цене деления линейки (1 мм), результат записывается как $l_0 = (10.0 \pm 0.1)$ см.

Проводим серию из четырех опытов, последовательно увеличивая нагрузку на пружину. Масса подвешиваемых грузов составляет: $m_1 = 0.1$ кг, $m_2 = 0.2$ кг, $m_3 = 0.3$ кг, $m_4 = 0.4$ кг. Для каждого опыта измеряем новую длину пружины $l$ и вычисляем ее удлинение $x = l - l_0$. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице 5.

Сила упругости $F_{упр}$, возникающая в пружине, по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе тяжести $F_т$, действующей на груз, так как система находится в равновесии. Силу тяжести вычисляем по формуле $F_т = mg$.

Абсолютная погрешность определения удлинения $\Delta x$ равна сумме абсолютных погрешностей измерения начальной ($l_0$) и конечной ($l$) длин: $\Delta x = \Delta l_0 + \Delta l$. Так как оба измерения проводятся одной и той же линейкой с ценой деления 1 мм, то $\Delta l_0 = \Delta l = 0.1$ см. Таким образом, $\Delta x = 0.1 \text{ см} + 0.1 \text{ см} = 0.2$ см.

Заполняем таблицу 5 на основе полученных данных.

Для построения графика переведем значения удлинения $x$ в систему СИ (метры). По оси ординат (Y) откладываем силу упругости $F_{упр}$ в ньютонах, а по оси абсцисс (X) — удлинение $x$ в метрах. Наносим на график экспериментальные точки, полученные в опытах, с учетом погрешности $\Delta x = 0.002$ м (которая изображается в виде горизонтальных отрезков по обе стороны от точки).

• Точка 1: $(0.025; 0.98)$
• Точка 2: $(0.049; 1.96)$
• Точка 3: $(0.074; 2.94)$
• Точка 4: $(0.098; 3.92)$

Через полученные точки (и их интервалы погрешностей) проводим прямую линию, которая также проходит через начало координат $(0;0)$, так как при нулевой деформации сила упругости равна нулю.

Закон Гука утверждает, что сила упругости, возникающая в упругом теле, прямо пропорциональна его удлинению: $F_{упр} = kx$. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат. Построенный по результатам эксперимента график зависимости $F_{упр}(x)$ является прямой линией, на которую хорошо ложатся все экспериментальные точки (с учетом погрешностей). Это подтверждает прямую пропорциональную зависимость между силой упругости и удлинением пружины.

Ответ: Да, результаты эксперимента подтверждают справедливость закона Гука в исследуемом диапазоне деформаций.

Жёсткость пружины $k$ можно определить из графика как тангенс угла наклона прямой $F_{упр}(x)$ к оси абсцисс: $k = \frac{\Delta F_{упр}}{\Delta x}$. Для наиболее точного расчета выберем на усредняющей прямой две точки, максимально удаленные друг от друга. Удобно использовать начало координат $(0;0)$ и точку, соответствующую последнему измерению, лежащую на прямой. Возьмем точку с координатами $(x_4, F_4)$.

Координаты точки: $x_4 = 0.098$ м, $F_4 = 3.92$ Н.

Рассчитаем жёсткость:

$k = \frac{F_4 - 0}{x_4 - 0} = \frac{3.92 \text{ Н}}{0.098 \text{ м}} = 40 \text{ Н/м}$.

Для дополнительной проверки можно рассчитать среднее арифметическое значение жёсткости по всем опытам:

$k_{ср} = \frac{1}{4} \left( \frac{0.98}{0.025} + \frac{1.96}{0.049} + \frac{2.94}{0.074} + \frac{3.92}{0.098} \right) \approx \frac{39.2 + 40.0 + 39.7 + 40.0}{4} \approx 39.7$ Н/м.

Значения, полученные обоими методами, близки. Графический метод является предпочтительным, так как он позволяет усреднить случайные погрешности всех измерений.

Ответ: Жёсткость пружины составляет $k \approx 40$ Н/м.