Номер 4, страница 194 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 4. Электромагнитные колебания и волны. Параграф 44. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания. Задание 39 - номер 4, страница 194.

Условие.

4. Как изменится заряд конденсатора колебательного контура через промежуток времени, равный $T/2$; $2T$?

Решение.

В идеальном колебательном контуре заряд на конденсаторе изменяется со временем по гармоническому закону, например, по закону косинуса: $q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$, где $q_m$ — амплитудное (максимальное) значение заряда, $\omega = 2\pi/T$ — циклическая частота, $\text{T}$ — период колебаний, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Пусть в некоторый начальный момент времени $t_0$ заряд конденсатора равен $q_0 = q(t_0)$.

T/2

Решение

Рассмотрим, каким станет заряд через промежуток времени $\Delta t = T/2$. Новый момент времени будет $t_1 = t_0 + T/2$. Заряд в этот момент времени будет равен:

$q_1 = q(t_0 + T/2) = q_m \cos(\omega(t_0 + T/2) + \phi_0)$

Подставив $\omega = 2\pi/T$, получим:

$q_1 = q_m \cos(\frac{2\pi}{T}(t_0 + \frac{T}{2}) + \phi_0) = q_m \cos(\frac{2\pi t_0}{T} + \pi + \phi_0)$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$, находим:

$q_1 = -q_m \cos(\frac{2\pi t_0}{T} + \phi_0) = -q(t_0) = -q_0$

Это означает, что через время, равное половине периода, заряд конденсатора изменит свой знак на противоположный, сохранив при этом свою величину.

Ответ: Через промежуток времени, равный $T/2$, заряд конденсатора станет равным по модулю начальному значению, но изменит свой знак на противоположный.

2T

Решение

Рассмотрим, каким станет заряд через промежуток времени $\Delta t = 2T$. Новый момент времени будет $t_2 = t_0 + 2T$. Заряд в этот момент времени будет равен:

$q_2 = q(t_0 + 2T) = q_m \cos(\omega(t_0 + 2T) + \phi_0)$

Подставив $\omega = 2\pi/T$, получим:

$q_2 = q_m \cos(\frac{2\pi}{T}(t_0 + 2T) + \phi_0) = q_m \cos(\frac{2\pi t_0}{T} + 4\pi + \phi_0)$

Так как функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$, то $\cos(\alpha + 4\pi) = \cos(\alpha)$. Следовательно:

$q_2 = q_m \cos(\frac{2\pi t_0}{T} + \phi_0) = q(t_0) = q_0$

Это означает, что через время, равное двум периодам, система вернется в исходное состояние, и заряд конденсатора примет свое первоначальное значение.

Ответ: Через промежуток времени, равный $2T$, заряд конденсатора не изменится и вернется к своему исходному значению.