Номер 1, страница 194 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 4. Электромагнитные колебания и волны. Параграф 44. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания. Задание 39 - номер 1, страница 194.

Условие.

1. Докажите, что колебательный контур является колебательной системой.

Решение.

Колебательная система — это система, в которой могут возникать и поддерживаться свободные колебания. Для этого система должна обладать положением устойчивого равновесия, при отклонении от которого возникает возвращающая сила (или её аналог), а также инертностью (или её аналогом), позволяющей системе проходить положение равновесия.

Докажем, что идеальный колебательный контур, состоящий из конденсатора ёмкостью $\text{C}$ и катушки индуктивностью $\text{L}$, является колебательной системой. В нём происходят периодические превращения энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Если в начальный момент зарядить конденсатор, сообщив ему энергию $W_E = \frac{q_{max}^2}{2C}$, то он начнёт разряжаться через катушку. Возникающий ток создаёт в катушке магнитное поле, и энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля $W_M = \frac{LI^2}{2}$. Когда конденсатор полностью разрядится, ток достигнет максимума. В этот момент вся энергия сосредоточена в катушке. Напряжение на конденсаторе играет роль "возвращающей силы", а индуктивность катушки обеспечивает "инертность" системы, так как из-за явления самоиндукции ток не может прекратиться мгновенно.

Благодаря "инертности" катушки ток продолжает течь, перезаряжая конденсатор в обратной полярности. Энергия магнитного поля снова переходит в энергию электрического. Когда ток станет равным нулю, конденсатор будет полностью перезаряжен, и процесс повторится в обратном направлении. Этот периодический обмен энергией и есть свободные электромагнитные колебания.

Математически это можно доказать, рассмотрев закон сохранения энергии для идеального контура. Полная энергия в контуре постоянна: $W = W_E + W_M = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2} = const$.

Поскольку полная энергия сохраняется, её производная по времени равна нулю: $\frac{dW}{dt} = 0$. Продифференцируем выражение для энергии: $\frac{d}{dt} \left( \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2} \right) = \frac{1}{C}q\frac{dq}{dt} + LI\frac{dI}{dt} = 0$.

Учитывая, что сила тока по определению есть $I = \frac{dq}{dt}$, а её производная $\frac{dI}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2}$, подставим эти соотношения в уравнение. Разделив на $\text{I}$ (для моментов, когда $I \neq 0$), получаем $\frac{q}{C} + L\frac{dI}{dt} = 0$, что после подстановки производной тока приводит к уравнению: $\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2} = 0$.

Перепишем его в стандартном виде: $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0$.

Это дифференциальное уравнение является уравнением гармонических колебаний. Оно имеет тот же вид, что и уравнение движения механических колебательных систем (например, пружинного маятника). Его решение, $q(t) = q_{max}\cos(\omega_0 t + \phi)$ с частотой $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, описывает незатухающий колебательный процесс. Таким образом, поскольку в LC-контуре могут существовать свободные гармонические колебания, он по определению является колебательной системой.

Ответ: Колебательный контур является колебательной системой, так как в нём возможен периодический процесс обмена энергией между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки, который описывается дифференциальным уравнением гармонических колебаний $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0$. В этой электромагнитной системе конденсатор выступает аналогом упругого элемента (накопитель потенциальной энергии), а катушка индуктивности — аналогом инертного элемента (накопитель кинетической энергии).