Номер 2, страница 169 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. Конденсатор какой емкости нужно включить в колебательный контур, чтобы при индуктивности катушки равной 5,1 мкГн получить колебания с частотой 10 МГц?

Дано:

Индуктивность катушки $L = 5,1$ мкГн

Частота колебаний $f = 10$ МГц

$L = 5,1 \cdot 10^{-6}$ Гн

$f = 10 \text{ МГц} = 10 \cdot 10^{6} \text{ Гц} = 10^{7}$ Гц

Найти:

Емкость конденсатора $C$

Решение:

Для определения емкости конденсатора в колебательном контуре используется формула Томсона, которая связывает частоту свободных электромагнитных колебаний $f$ с индуктивностью катушки $L$ и емкостью конденсатора $C$.

Формула для частоты колебаний в LC-контуре имеет вид:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Чтобы найти емкость $C$, необходимо выразить ее из данной формулы. Для этого сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

$f^2 = \frac{1}{(2\pi)^2LC} = \frac{1}{4\pi^2LC}$

Теперь выразим $C$:

$C = \frac{1}{4\pi^2Lf^2}$

Подставим в полученную формулу числовые значения величин в системе СИ:

$C = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (5,1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}) \cdot (10^7 \text{ Гц})^2}$

Проведем вычисления:

$C = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 5,1 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{14}} \text{ Ф} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 5,1 \cdot 10^8} \text{ Ф}$

Используя значение $\pi \approx 3,14$, получим $\pi^2 \approx 9,87$.

$C \approx \frac{1}{4 \cdot 9,87 \cdot 5,1 \cdot 10^8} \text{ Ф} \approx \frac{1}{201,35 \cdot 10^8} \text{ Ф}$

$C \approx 0,004966 \cdot 10^{-8} \text{ Ф} = 4,966 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Результат удобно представить в пикофарадах (пФ), где $1 \text{ пФ} = 10^{-12} \text{ Ф}$:

$C \approx 49,66 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 49,7 \text{ пФ}$

Ответ: чтобы получить колебания с частотой 10 МГц, нужно включить в контур конденсатор емкостью примерно 49,7 пФ.