Номер 5, страница 41 - гдз по химии 9 класс учебник Еремин, Кузьменко

5. Миллиарды лет назад поверхность Земли была очень горячей, а в атмосфере не было ни кислорода, ни азота. Атмосфера состояла из углекислого газа, метана ($ \text{CH}_4 $) и паров воды. Интересно, что при этом плотность атмосферы была примерно такой же, как и в настоящее время. Считая, что древняя атмосфера состояла только из метана и углекислого газа, определите, при каком соотношении этих газов (по числу молекул) относительная плотность древнего воздуха по современному воздуху будет равна 1. Среднюю молярную массу современного воздуха примите равной 29 г/моль.

Дано:

Древняя атмосфера состоит из смеси метана (CH₄) и углекислого газа (CO₂).

Относительная плотность древнего воздуха по современному воздуху $D = 1$.

Средняя молярная масса современного воздуха $M_{совр} = 29$ г/моль.

$M_{совр} = 29 \text{ г/моль} = 0.029 \text{ кг/моль}$

Найти:

Соотношение числа молекул метана и углекислого газа $\frac{N_{CH_4}}{N_{CO_2}}$.

Решение:

Относительная плотность одного газа (или газовой смеси) по другому газу (или смеси) при одинаковых условиях (температуре и давлении) равна отношению их молярных масс. В условии задачи сказано, что относительная плотность древнего воздуха по современному равна 1. Это означает, что их средние молярные массы равны:

$D = \frac{M_{др}}{M_{совр}} = 1 \implies M_{др} = M_{совр} = 29 \text{ г/моль}$

Средняя молярная масса газовой смеси ($M_{др}$) вычисляется по формуле:

$M_{др} = x_{CH_4} \cdot M_{CH_4} + x_{CO_2} \cdot M_{CO_2}$

где $x_{CH_4}$ и $x_{CO_2}$ — мольные доли метана и углекислого газа соответственно, а $M_{CH_4}$ и $M_{CO_2}$ — их молярные массы.

Вычислим молярные массы компонентов древней атмосферы, используя относительные атомные массы элементов из периодической таблицы (Ar(C) ≈ 12, Ar(H) ≈ 1, Ar(O) ≈ 16):

Молярная масса метана (CH₄): $M_{CH_4} = 12.01 + 4 \cdot 1.008 \approx 16 \text{ г/моль}$.

Молярная масса углекислого газа (CO₂): $M_{CO_2} = 12.01 + 2 \cdot 16.00 \approx 44 \text{ г/моль}$.

Мольная доля компонента — это отношение количества вещества (числа молей) этого компонента к общему количеству вещества в смеси. Соотношение числа молекул равно соотношению количеств вещества:

$\frac{N_{CH_4}}{N_{CO_2}} = \frac{\nu_{CH_4}}{\nu_{CO_2}}$

Пусть $\nu_{CH_4}$ и $\nu_{CO_2}$ — количество вещества метана и углекислого газа в некотором объеме древней атмосферы. Тогда мольные доли выражаются как:

$x_{CH_4} = \frac{\nu_{CH_4}}{\nu_{CH_4} + \nu_{CO_2}}$

$x_{CO_2} = \frac{\nu_{CO_2}}{\nu_{CH_4} + \nu_{CO_2}}$

Подставим эти выражения в формулу для средней молярной массы:

$M_{др} = \frac{\nu_{CH_4}}{\nu_{CH_4} + \nu_{CO_2}} \cdot M_{CH_4} + \frac{\nu_{CO_2}}{\nu_{CH_4} + \nu_{CO_2}} \cdot M_{CO_2}$

Подставим известные значения молярных масс ($M_{др} = 29$, $M_{CH_4} = 16$, $M_{CO_2} = 44$):

$29 = \frac{\nu_{CH_4} \cdot 16 + \nu_{CO_2} \cdot 44}{\nu_{CH_4} + \nu_{CO_2}}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(\nu_{CH_4} + \nu_{CO_2})$:

$29 \cdot (\nu_{CH_4} + \nu_{CO_2}) = 16 \cdot \nu_{CH_4} + 44 \cdot \nu_{CO_2}$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $\nu_{CH_4}$ и $\nu_{CO_2}$:

$29\nu_{CH_4} + 29\nu_{CO_2} = 16\nu_{CH_4} + 44\nu_{CO_2}$

$29\nu_{CH_4} - 16\nu_{CH_4} = 44\nu_{CO_2} - 29\nu_{CO_2}$

$13\nu_{CH_4} = 15\nu_{CO_2}$

Из последнего равенства найдем искомое соотношение количеств вещества:

$\frac{\nu_{CH_4}}{\nu_{CO_2}} = \frac{15}{13}$

Так как соотношение количеств вещества равно соотношению числа молекул, то искомое соотношение:

$\frac{N_{CH_4}}{N_{CO_2}} = \frac{15}{13}$

Ответ: для того чтобы относительная плотность древнего воздуха по современному была равна 1, соотношение числа молекул метана к числу молекул углекислого газа должно быть 15:13.