Страница 4 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Отметьте в тетради точки, как показано на рисунке 1.

Через каждые две отмеченные точки проведите прямую. Запишите все полученные прямые.

Рис. 1

1. Отметьте в тетради точки, как показано на рисунке 1. Через каждые две отмеченные точки проведите прямую. Запишите все полученные прямые.

Рис. 1

На рисунке отмечены четыре точки: M, K, P, F. Согласно условию, необходимо провести прямую через каждые две из этих точек. Поскольку никакие три точки не лежат на одной прямой, каждая пара точек будет определять уникальную прямую.

Общее количество прямых можно найти с помощью формулы для числа сочетаний из $n$ по $k$, где $n$ – общее количество точек, а $k$ – количество точек, необходимое для построения прямой (то есть 2).

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим наши значения $n=4$ и $k=2$:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.
Таким образом, всего можно провести 6 прямых.

Запишите все полученные прямые.

Чтобы перечислить все прямые, будем последовательно соединять каждую точку с остальными:
1. Соединяем точку M с точками K, P и F: получаем прямые MK, MP, MF.
2. Соединяем точку K с оставшимися точками P и F (прямая KM совпадает с MK и уже учтена): получаем прямые KP, KF.
3. Соединяем последнюю оставшуюся пару точек P и F (прямые PM и PK уже учтены): получаем прямую PF.

В результате мы получили 6 уникальных прямых.

Ответ: MK, MP, MF, KP, KF, PF.

2. Проведите прямую и отметьте на ней точки $K$, $T$ и $N$. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

2. Проведите прямую и отметьте на ней точки $K$, $T$ и $N$.

Запишите все возможные обозначения этой прямой.

Для обозначения прямой в геометрии достаточно указать любые две точки, которые на ней лежат. Порядок этих точек в названии не имеет значения, поэтому прямая, проходящая через точки А и В, может быть названа как АВ, так и ВА.

В данной задаче на прямой отмечены три точки: K, T и N. Чтобы найти все возможные обозначения этой прямой, нам нужно составить все возможные пары из этих трех точек.

Возможные пары точек:

1. Точки K и T. Обозначения прямой: KT и TK.

2. Точки K и N. Обозначения прямой: KN и NK.

3. Точки T и N. Обозначения прямой: TN и NT.

Таким образом, всего существует 6 возможных обозначений для данной прямой.

Ответ: KT, TK, KN, NK, TN, NT.

3. Пользуясь рисунком 2:

1) определите, пересекаются ли прямые $MK$ и $a$;

2) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $a$;

3) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $MK$;

4) укажите все отмеченные точки, не принадлежащие ни прямой $a$, ни прямой $MK$.

Рис. 2

3. Пользуясь рисунком 2:

1) определите, пересекаются ли прямые $MK$ и $a$;

2) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $a$;

3) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $MK$;

4) укажите все отмеченные точки, не принадлежащие ни прямой $a$, ни прямой $MK$.

Рис. 2

1) Прямая по определению бесконечна и не имеет концов. На рисунке изображены лишь части (отрезки) прямых $MK$ и $a$. Если мысленно продолжить эти части в обе стороны до бесконечности, то можно увидеть, что прямые пересекутся. Следовательно, прямые $MK$ и $a$ являются пересекающимися.
Ответ: да, пересекаются.

2) Чтобы определить, какие точки принадлежат прямой $a$, нужно найти все отмеченные точки, которые лежат на этой прямой. Посмотрев на рисунок, мы видим, что на прямой $a$ лежит только точка $P$.
Ответ: $P$.

3) Аналогично предыдущему пункту, найдем все отмеченные точки, которые лежат на прямой $MK$. На этой прямой расположены точки $M$ и $K$.
Ответ: $M$, $K$.

4) Нам нужно найти все точки, которые не принадлежат ни одной из указанных прямых. Из пунктов 2 и 3 мы знаем, что точка $P$ принадлежит прямой $a$, а точки $M$ и $K$ принадлежат прямой $MK$. Все остальные отмеченные на рисунке точки ($L$, $F$, $N$, $Q$) не лежат ни на прямой $a$, ни на прямой $MK$.
Ответ: $L$, $F$, $N$, $Q$.

4. Укажите, какие из точек, отмеченных на рисунке 3, лежат между двумя другими. Для каждых трёх точек, отмеченных на рисунке 3, запишите равенство, которое следует из основного свойства длины отрезка.

Точки, лежащие между двумя другими (согласно Рисунку 3):

Точка K лежит между точками L и P.

Точка P лежит между точками K и F.

Точка K лежит между точками L и F.

Точка P лежит между точками L и F.

Равенства, следующие из основного свойства длины отрезка:

Для точек L, K, P (K между L и P): $LP = LK + KP$

Для точек L, K, F (K между L и F): $LF = LK + KF$

Для точек K, P, F (P между K и F): $KF = KP + PF$

Для точек L, P, F (P между L и F): $LF = LP + PF$

4. Укажите, какие из точек, отмеченных на рисунке 3, лежат между двумя другими. Для каждых трёх точек, отмеченных на рисунке 3, запишите равенство, которое следует из основного свойства длины отрезка.

Рис. 3

Равенства:

$LK + KP = LP$

$LK + KF = LF$

$LP + PF = LF$

$KP + PF = KF$

Укажите, какие из точек, отмеченных на рисунке 3, лежат между двумя другими.
На прямой последовательно расположены точки L, K, P, F. Точка считается лежащей между двумя другими, если все три точки принадлежат одной прямой, и она находится между двумя крайними.
Анализируя расположение точек на рисунке, устанавливаем:
- Точка K лежит между точками L и P.
- Точка K лежит между точками L и F.
- Точка P лежит между точками L и F.
- Точка P лежит между точками K и F.
Ответ: Точка K лежит между L и P, а также между L и F; точка P лежит между L и F, а также между K и F.

Для каждых трех точек, отмеченных на рисунке 3, запишите равенство, которое следует из основного свойства длины отрезка.
Основное свойство длины отрезка гласит, что если точка B лежит на отрезке AC, то длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC ($AC = AB + BC$).
Рассмотрим все возможные группы из трех точек на данной прямой и запишем для них соответствующие равенства:
1) Для точек L, K, P, где K лежит между L и P, получаем: $LK + KP = LP$.
2) Для точек L, K, F, где K лежит между L и F, получаем: $LK + KF = LF$.
3) Для точек L, P, F, где P лежит между L и F, получаем: $LP + PF = LF$.
4) Для точек K, P, F, где P лежит между K и F, получаем: $KP + PF = KF$.
Ответ: $LK + KP = LP$; $LK + KF = LF$; $LP + PF = LF$; $KP + PF = KF$.