Страница 6 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Найдите расстояние между точками $B$ и $C$, если $AB = 2,7$ см, $AC = 6,4$ см. Сколько решений имеет задача?

14. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Найдите расстояние между точками $B$ и $C$, если $AB = 2,7$ см, $AC = 6,4$ см. Сколько решений имеет задача?

Поскольку точки A, B и C лежат на одной прямой, их взаимное расположение определяет расстояние между B и C. Существует три теоретически возможных порядка расположения трех точек. Однако, так как по условию $AC > AB$ ($6,4 \text{ см} > 2,7 \text{ см}$), случай, когда точка C лежит между A и B, невозможен. Таким образом, остаются два возможных варианта, которые приводят к двум решениям задачи.

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C.

При таком расположении точек на прямой (в порядке A, B, C или C, B, A), длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC. Это можно записать уравнением:

$AC = AB + BC$

Чтобы найти искомое расстояние BC, вычтем длину AB из длины AC:

$BC = AC - AB$

Подставим известные значения:

$BC = 6,4 \text{ см} - 2,7 \text{ см} = 3,7 \text{ см}$

Ответ: 3,7 см.

Случай 2: Точка A лежит между точками B и C.

При таком расположении точек на прямой (в порядке B, A, C или C, A, B), длина отрезка BC равна сумме длин отрезков BA и AC. Это можно записать уравнением:

$BC = BA + AC$

Так как длина отрезка не зависит от порядка точек ($BA = AB$), получаем:

$BC = AB + AC$

Подставим известные значения:

$BC = 2,7 \text{ см} + 6,4 \text{ см} = 9,1 \text{ см}$

Ответ: 9,1 см.

Сколько решений имеет задача?

Как было показано выше, существуют два возможных расположения точек, удовлетворяющих условию задачи, которые приводят к двум разным значениям расстояния BC. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

15. Точки $E, F, K$ и $P$ лежат на одной прямой. Точка $F$ лежит между точками $E$ и $K$. Найдите длину отрезка $FP$, если $EF = 4 \text{ см}$, $EK = 11 \text{ см}$, $KP = 14 \text{ см}$. Сколько решений имеет задача?

15. Точки $E, F, K$ и $P$ лежат на одной прямой. Точка $F$ лежит между точками $E$ и $K$. Найдите длину отрезка $FP$, если $EF = 4$ см, $EK = 11$ см, $KP = 14$ см. Сколько решений имеет задача?

По условию задачи, точки E, F, K и P лежат на одной прямой, а точка F находится между точками E и K. Это значит, что длина отрезка EK равна сумме длин отрезков EF и FK.

$EK = EF + FK$

Зная, что $EF = 4$ см и $EK = 11$ см, мы можем найти длину отрезка FK:

$FK = EK - EF = 11 - 4 = 7$ см.

Теперь необходимо определить положение точки P. Точка P лежит на той же прямой и её положение зависит от точки K ($KP = 14$ см). Существует два возможных варианта расположения точки P относительно точки K, что приводит к двум решениям.

Случай 1: Точка K лежит между точками F и P.

В этом случае точки на прямой располагаются в следующем порядке: E-F-K-P. Длина искомого отрезка FP будет равна сумме длин отрезков FK и KP.

$FP = FK + KP$

Подставим известные значения:

$FP = 7 \text{ см} + 14 \text{ см} = 21 \text{ см}.$

Случай 2: Точка F лежит между точками P и K.

В этом случае отрезок KP состоит из отрезков PF и FK, то есть $KP = PF + FK$. Порядок точек на прямой будет P-E-F-K, так как $KP = 14$ см, а $EK = 11$ см, что означает, что точка P находится дальше от K, чем точка E.

Найдем длину отрезка FP:

$FP = KP - FK$

$FP = 14 \text{ см} - 7 \text{ см} = 7 \text{ см}.$

Таким образом, мы получили два возможных значения для длины отрезка FP.

Ответ: Длина отрезка FP может быть равна 21 см или 7 см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существуют два возможных расположения точки P, удовлетворяющих условиям задачи, и для каждого из них мы получаем разное значение длины отрезка FP, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки C и D так, чтобы длина отрезка CD была равной 11 см. Найдите на прямой CD все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка CD равна:

1) 11 см;

2) 14 см;

3) 9 см.

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки $C$ и $D$ так, чтобы длина отрезка $CD$ была равной $11$ см. Найдите на прямой $CD$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $CD$ равна:

1) $11$ см;

2) $14$ см;

3) $9$ см.

Пусть на прямой расположены точки C и D, и расстояние между ними $CD = 11$ см. Нам нужно найти все точки M на этой прямой, для которых сумма расстояний от M до C и от M до D ($MC + MD$) принимает заданные значения. Рассмотрим три возможных случая расположения точки M на прямой относительно отрезка CD.

1. Точка M лежит на отрезке CD (между точками C и D, или совпадает с одной из них).

   В этом случае, по свойству измерения отрезков, сумма длин отрезков MC и MD равна длине всего отрезка CD.

   $MC + MD = CD = 11$ см.

2. Точка M лежит на прямой за точкой D (не принадлежит отрезку CD).

   Точки на прямой расположены в порядке C, D, M. Тогда расстояние MC складывается из длин отрезков CD и DM: $MC = CD + MD = 11 + MD$.

   Сумма расстояний будет равна: $MC + MD = (11 + MD) + MD = 11 + 2 \cdot MD$.

   Поскольку $MD > 0$, то сумма расстояний $MC + MD$ всегда будет больше 11 см.

3. Точка M лежит на прямой за точкой C (не принадлежит отрезку CD).

   Точки на прямой расположены в порядке M, C, D. Тогда расстояние MD складывается из длин отрезков MC и CD: $MD = MC + CD = MC + 11$.

   Сумма расстояний будет равна: $MC + MD = MC + (MC + 11) = 2 \cdot MC + 11$.

   Поскольку $MC > 0$, то сумма расстояний $MC + MD$ всегда будет больше 11 см.

Из этого анализа следует, что минимально возможная сумма расстояний от точки на прямой до концов отрезка CD равна длине самого отрезка (11 см), и это достигается для любой точки, лежащей на этом отрезке.

Теперь решим каждую из поставленных задач.

1) 11 см

Требуется найти все точки M, для которых $MC + MD = 11$ см. Как было установлено в пункте 1 нашего анализа, это равенство выполняется для всех точек M, которые лежат на отрезке CD, включая его концы.

Ответ: все точки отрезка CD.

2) 14 см

Требуется найти все точки M, для которых $MC + MD = 14$ см. Поскольку $14 > 11$, такие точки должны лежать вне отрезка CD. Рассмотрим два случая, описанных выше.

Случай а) Точка M лежит за точкой D. Из анализа (пункт 2) мы знаем, что $MC + MD = 11 + 2 \cdot MD$. Приравниваем это значение к 14: $11 + 2 \cdot MD = 14$ $2 \cdot MD = 14 - 11$ $2 \cdot MD = 3$ $MD = 1,5$ см. Следовательно, одна такая точка находится на расстоянии 1,5 см от точки D, на луче, не содержащем точку C.

Случай б) Точка M лежит за точкой C. Из анализа (пункт 3) мы знаем, что $MC + MD = 11 + 2 \cdot MC$. Приравниваем это значение к 14: $11 + 2 \cdot MC = 14$ $2 \cdot MC = 14 - 11$ $2 \cdot MC = 3$ $MC = 1,5$ см. Следовательно, вторая такая точка находится на расстоянии 1,5 см от точки C, на луче, не содержащем точку D.

Ответ: существуют две такие точки. Одна расположена на прямой на расстоянии 1,5 см от точки C вне отрезка CD, а вторая — на расстоянии 1,5 см от точки D вне отрезка CD.

3) 9 см

Требуется найти все точки M, для которых $MC + MD = 9$ см. Как мы выяснили в общем анализе, для любой точки M на прямой, содержащей отрезок CD, выполняется неравенство треугольника: $MC + MD \ge CD$. В нашем случае $MC + MD \ge 11$ см. Поскольку $9 < 11$, не существует ни одной точки на прямой, для которой сумма расстояний до точек C и D была бы равна 9 см.

Ответ: таких точек не существует.

17. Пересекаются ли изображённые на рисунке 5:

1) луч $\text{OC}$ и отрезок $\text{AB}$;

2) луч $\text{OC}$ и прямая $\text{DE}$?

Рис. 5

17. Пересекаются ли изображённые на рисунке 5:

1) луч $OC$ и отрезок $AB$;

2) луч $OC$ и прямая $DE$?

Рис. 5

1) луч ОС и отрезок АВ;

По определению, луч $OC$ — это часть прямой, которая начинается в точке $O$ и продолжается бесконечно в направлении точки $C$. Отрезок $AB$ — это часть прямой, ограниченная точками $A$ и $B$.
На рисунке 5 видно, что если мысленно продолжить луч $OC$ за точку $C$, он не встретит отрезок $AB$. Эти две фигуры не имеют общих точек, следовательно, они не пересекаются.
Ответ: нет, не пересекаются.

2) луч ОС и прямая DE?

Прямая $DE$ — это линия, которая проходит через точки $D$ и $E$ и продолжается бесконечно в обе стороны. Луч $OC$ начинается в точке $O$.
Из рисунка видно, что точка $O$, являющаяся началом луча $OC$, одновременно лежит на прямой $DE$. Поскольку у луча $OC$ и прямой $DE$ есть общая точка ($O$), они пересекаются.
Ответ: да, пересекаются в точке $O$.

18. Прямая $FK$ пересекает прямые $EM$ и $CD$ в точках $P$ и $B$ соответственно (рис. 6).

1) Укажите все образовавшиеся лучи с началом в точке $B$.

2) Укажите пары дополнительных лучей, начало которых — точка $P$.

Рис. 6

18. Прямая $FK$ пересекает прямые $EM$ и $CD$ в точках $P$ и $B$ соответственно (рис. 6).

1) Укажите все образовавшиеся лучи с началом в точке $B$.

2) Укажите пары дополнительных лучей, начало которых — точка $P$.

Рис. 6

1) Укажите все образовавшиеся лучи с началом в точке B.

Точка B — это точка пересечения прямых CD и FK. Через точку B проходят две прямые, каждая из которых делится этой точкой на два луча.

На прямой CD с началом в точке B лежат два луча: луч BC и луч BD.

На прямой FK с началом в точке B лежат два луча: луч BK и луч BF (или, что то же самое, луч BP).

Всего из точки B исходят четыре луча.

Ответ: BC, BD, BK, BF.

2) Укажите пары дополнительных лучей, начало которых — точка P.

Дополнительные лучи — это два луча, которые имеют общее начало и вместе образуют прямую. Точка P является точкой пересечения прямых EM и FK.

На прямой EM точка P является началом для пары дополнительных лучей: PE и PM.

На прямой FK точка P является началом для второй пары дополнительных лучей: PF и PK (или, что то же самое, PF и PB).

Ответ: лучи PE и PM; лучи PF и PK.

19. Отметьте точки $E$, $F$, $T$ и $K$ так, чтобы луч $EF$ пересекал прямую $TK$, а луч $TK$ не пересекал прямую $EF$.

19. Отметьте точки $E$, $F$, $T$ и $K$ так, чтобы луч $EF$ пересекал прямую $TK$, а луч $TK$ не пересекал прямую $EF$.

Для того чтобы отметить точки E, F, T и K согласно условию, необходимо последовательно проанализировать каждое требование к их расположению.

чтобы луч EF пересекал прямую TK

Чтобы луч пересекал прямую, необходимо, чтобы прямые, содержащие эти объекты (прямая EF и прямая TK), пересекались. Обозначим точку их пересечения буквой М. Луч EF начинается в точке E и проходит бесконечно далеко через точку F. Для того чтобы этот луч пересекал прямую TK, точка пересечения M должна принадлежать лучу EF. Это произойдет, если точка E не будет лежать между точкой пересечения M и точкой F. Например, если точки на прямой расположены в порядке E-M-F или E-F-M.

а луч TK не пересекал прямую EF

Это условие означает, что точка пересечения M не должна принадлежать лучу TK. Луч TK начинается в точке T и проходит бесконечно далеко через точку K. Чтобы точка M не оказалась на этом луче, она должна находиться на той же прямой, но на продолжении луча за его начало (точку T). Это означает, что на прямой TK точки должны быть расположены так, чтобы точка T находилась между точкой M и точкой K (то есть в порядке M-T-K).

Решение и графический пример

Совместим оба условия. Нам нужно изобразить две пересекающиеся прямые и расставить на них точки E, F, T, K следующим образом:

1. На одной прямой располагаем точки E и F так, чтобы точка пересечения M лежала между ними.
2. На второй прямой располагаем точки T и K так, чтобы точка T лежала между точкой пересечения M и точкой K.

Пример такого расположения показан на рисунке ниже.

На рисунке:

• Луч EF (синий) начинается в точке E и идет вправо через F. Он проходит через точку пересечения M и, следовательно, пересекает прямую TK.
• Луч TK (красный) начинается в точке T и идет вверх через K. Он не проходит через точку M. Следовательно, луч TK не пересекает прямую EF.

Ответ: Для выполнения условий задачи нужно начертить две пересекающиеся прямые. На одной из них (прямой EF) расположить точки E и F так, чтобы точка их пересечения с другой прямой лежала на отрезке EF. На второй прямой (прямой TK) расположить точки T и K так, чтобы точка T лежала между точкой пересечения и точкой K.

20. Из приведённых записей выпишите те, которые являются обозначением угла с вершиной $O$, изображённого на рисунке 7: $COM$; $DME$; $DOE$; $CED$; $EOM$; $COE$; $MCO$; $MOD$; $EOD$.

Рис. 7

20. Из приведённых записей выпишите те, которые являются обозначением угла с вершиной O, изображённого на рисунке 7: $COM$; $DME$; $DOE$; $CED$; $EOM$; $COE$; $MCO$; $MOD$; $EOD$.

Рис. 7

Для того чтобы запись являлась обозначением угла, необходимо, чтобы буква, обозначающая его вершину, стояла в середине. По краям должны стоять буквы, обозначающие точки, лежащие на разных сторонах (лучах) этого угла.

На рисунке изображен угол с вершиной в точке O. Его стороны — это два луча. На одном луче лежат точки M и E. На другом луче лежат точки D и C. Значит, в правильном обозначении угла с вершиной O, буква O должна стоять в середине, а по краям должны быть буквы, обозначающие точки с разных лучей (одна из {M, E} и одна из {D, C}).

Проверим каждую запись из предложенного списка:

COM: Буква O стоит в середине, что соответствует вершине угла. Точка C лежит на одном луче, а точка M — на другом. Следовательно, это верное обозначение.

DME: В середине стоит буква M, значит, это угол с вершиной M. Это неверное обозначение для угла с вершиной O.

DOE: Буква O стоит в середине. Точка D лежит на одном луче, а точка E — на другом. Следовательно, это верное обозначение.

CED: В середине стоит буква E, значит, это угол с вершиной E. Это неверное обозначение.

EOM: Буква O стоит в середине, но точки E и M лежат на одном и том же луче. Такое обозначение не является корректным для изображенного угла, так как для обозначения угла нужны точки на разных лучах. Это неверное обозначение.

COE: Буква O стоит в середине. Точка C лежит на одном луче, а точка E — на другом. Следовательно, это верное обозначение.

MCO: В середине стоит буква C, значит, это угол с вершиной C. Это неверное обозначение.

MOD: Буква O стоит в середине. Точка M лежит на одном луче, а точка D — на другом. Следовательно, это верное обозначение.

EOD: Буква O стоит в середине. Точка E лежит на одном луче, а точка D — на другом. Следовательно, это верное обозначение.

Таким образом, выписываем все верные обозначения.

Ответ: COM; DOE; COE; MOD; EOD.