Страница 9 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Могут ли два смежных угла быть равными:

1) $36^\circ$ и $154^\circ$;

2) $59^\circ$ и $121^\circ$?

35. Могут ли два смежных угла быть равными:

1) $36^\circ$ и $154^\circ$;

2) $59^\circ$ и $121^\circ$?

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой (являются продолжениями друг друга). Ключевое свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Чтобы проверить, могут ли данные пары углов быть смежными, необходимо найти их сумму и сравнить со $180^\circ$.

1) 36° и 154°
Найдем сумму этих углов:
$36^\circ + 154^\circ = 190^\circ$
Поскольку сумма углов не равна $180^\circ$ ($190^\circ \neq 180^\circ$), данные углы не могут быть смежными.
Ответ: не могут.

2) 59° и 121°
Найдем сумму этих углов:
$59^\circ + 121^\circ = 180^\circ$
Поскольку сумма углов равна $180^\circ$, данные углы могут быть смежными.
Ответ: могут.

36. Найдите угол, смежный с углом:

1) $19^{\circ}$

2) $156^{\circ}$

36. Найдите угол, смежный с углом:

1) $19^{\circ}$;

2) $156^{\circ}$.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна развернутому углу, то есть $180^{\circ}$.

Если один из смежных углов обозначить как $\alpha$, а второй как $\beta$, то будет верно равенство:

$\alpha + \beta = 180^{\circ}$

Чтобы найти величину смежного угла, нужно из $180^{\circ}$ вычесть величину известного угла:

$\beta = 180^{\circ} - \alpha$

1) Найдем угол, смежный с углом $19^{\circ}$.

Пусть $\alpha = 19^{\circ}$. Тогда смежный с ним угол $\beta$ равен:

$\beta = 180^{\circ} - 19^{\circ} = 161^{\circ}$

Ответ: $161^{\circ}$.

2) Найдем угол, смежный с углом $156^{\circ}$.

Пусть $\alpha = 156^{\circ}$. Тогда смежный с ним угол $\beta$ равен:

$\beta = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ}$

Ответ: $24^{\circ}$.

37. Запишите все пары смежных углов, изображённых на рисунке 15.

Рис. 15

$ \angle PAM $ и $ \angle PAK $

$ \angle MAE $ и $ \angle KAE $

$ \angle PAM $ и $ \angle MAE $

$ \angle PAK $ и $ \angle KAE $

37. Запишите все пары смежных углов, изображённых на рисунке 15.

Рис. 15

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона является общей, а две другие стороны лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами). Сумма смежных углов составляет $180^\circ$.

На рисунке изображены две прямые, MK и PE, пересекающиеся в точке A. При их пересечении образуются следующие четыре пары смежных углов:

• Углы $\angle MAP$ и $\angle PAK$. Их общая сторона — луч AP, а стороны AM и AK образуют прямую MK.
• Углы $\angle PAK$ и $\angle KAE$. Их общая сторона — луч AK, а стороны AP и AE образуют прямую PE.
• Углы $\angle KAE$ и $\angle EAM$. Их общая сторона — луч AE, а стороны AK и AM образуют прямую MK.
• Углы $\angle EAM$ и $\angle MAP$. Их общая сторона — луч AM, а стороны AE и AP образуют прямую PE.

Ответ: ($\angle MAP$, $\angle PAK$), ($\angle PAK$, $\angle KAE$), ($\angle KAE$, $\angle EAM$), ($\angle EAM$, $\angle MAP$).

38. Один из смежных углов на $38^\circ$ больше другого. Найдите эти углы.

38. Один из смежных углов на $38^\circ$ больше другого. Найдите эти углы.

Сумма смежных углов равна $180°$.

Пусть величина одного угла равна $x$. По условию задачи, второй угол на $38°$ больше, значит, его величина равна $x + 38°$.

Составим уравнение, основываясь на свойстве смежных углов:

$x + (x + 38°) = 180°$

Решим полученное уравнение:

$2x + 38° = 180°$

$2x = 180° - 38°$

$2x = 142°$

$x = \frac{142°}{2}$

$x = 71°$

Таким образом, меньший угол равен $71°$.

Теперь найдем величину большего угла:

$71° + 38° = 109°$

Проверим: $71° + 109° = 180°$.

Ответ: 71° и 109°.

39. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как $5 : 7$.

39. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как $5 : 7$.

Смежные углы — это два угла, которые имеют общую вершину и одну общую сторону, а две другие их стороны являются продолжениями друг друга (образуют прямую линию). Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть градусная мера одного угла будет $\alpha$, а второго — $\beta$. Согласно условию задачи, их меры относятся как 5 к 7. Это можно записать в виде пропорции:

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{5}{7}$

Для решения задачи введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры углов можно выразить как:

$\alpha = 5x$

$\beta = 7x$

Используя свойство смежных углов, составим уравнение:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Подставим в него выражения для $\alpha$ и $\beta$ через $x$:

$5x + 7x = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$12x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{12}$

$x = 15^\circ$

Мы нашли коэффициент пропорциональности. Теперь можем вычислить градусные меры каждого из углов:

Первый угол: $\alpha = 5x = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$

Второй угол: $\beta = 7x = 7 \cdot 15^\circ = 105^\circ$

Проверим полученные результаты:

1. Сумма углов: $75^\circ + 105^\circ = 180^\circ$. (Верно, так как углы смежные).

2. Отношение углов: $\frac{75^\circ}{105^\circ} = \frac{5 \cdot 15}{7 \cdot 15} = \frac{5}{7}$. (Верно, соответствует условию).

Ответ: $75^\circ$ и $105^\circ$.

40. На рисунке 16 угол $ \angle AOB $ равен $ 37^\circ $. Найдите углы $ \angle AOD, \angle DOC, \angle BOC $.

Рис. 16

40. На рисунке 16 угол $ \angle AOB $ равен $ 37^\circ $. Найдите углы $ \angle AOD $, $ \angle DOC $, $ \angle BOC $.

Рис. 16

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые AC и BD. Углы, образованные при их пересечении в точке O, обладают следующими свойствами:
1. Вертикальные углы равны (это углы, расположенные друг напротив друга, например, $\angle AOB$ и $\angle DOC$).
2. Сумма смежных углов равна $180^\circ$ (это углы, которые вместе образуют прямую линию, например, $\angle AOB$ и $\angle AOD$).
По условию задачи, $\angle AOB = 37^\circ$.

AOD

Углы $\angle AOD$ и $\angle AOB$ являются смежными, так как они вместе составляют развернутый угол на прямой BD. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
$\angle AOD + \angle AOB = 180^\circ$
Чтобы найти $\angle AOD$, нужно из $180^\circ$ вычесть известный $\angle AOB$:
$\angle AOD = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$.
Ответ: $\angle AOD = 143^\circ$.

DOC

Углы $\angle DOC$ и $\angle AOB$ являются вертикальными. Вертикальные углы всегда равны друг другу.
Следовательно, $\angle DOC = \angle AOB = 37^\circ$.
Ответ: $\angle DOC = 37^\circ$.

BOC

Углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются вертикальными, поэтому они равны. Мы уже вычислили, что $\angle AOD = 143^\circ$.
Следовательно, $\angle BOC = \angle AOD = 143^\circ$.
Также можно найти этот угол через смежный ему угол $\angle AOB$:
$\angle BOC + \angle AOB = 180^\circ$ (как смежные углы на прямой AC).
$\angle BOC = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$.
Ответ: $\angle BOC = 143^\circ$.

41. На рисунке 17 $\angle PMF = 32^\circ$, $\angle TMQ = 87^\circ$ Найдите угол KMR.

Рис. 17

41. На рисунке 17 $\angle PMF = 32^\circ$, $\angle TMQ = 87^\circ$ Найдите угол $KMR$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вертикальных и смежных углов, которые образуются при пересечении прямых.

1. Углы $ \angle RMP $ и $ \angle TMQ $ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $PQ$ и $RT$. Вертикальные углы равны, следовательно:
$ \angle RMP = \angle TMQ = 87^\circ $

2. Угол $ \angle RMF $ состоит из двух прилежащих углов $ \angle RMP $ и $ \angle PMF $. Его величину можно найти, сложив величины этих углов:
$ \angle RMF = \angle RMP + \angle PMF = 87^\circ + 32^\circ = 119^\circ $

3. Углы $ \angle KMR $ и $ \angle RMF $ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол $ \angle KMF $ (прямая $KF$). Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом:
$ \angle KMR + \angle RMF = 180^\circ $
$ \angle KMR = 180^\circ - \angle RMF = 180^\circ - 119^\circ = 61^\circ $

Можно также прийти к ответу другим путем. Углы $ \angle KMR $ и $ \angle FMT $ являются вертикальными (образованы пересечением прямых $KF$ и $RT$), поэтому они равны. Найдем $ \angle FMT $. Углы $ \angle RMF $ и $ \angle FMT $ — смежные (образуют прямую $RT$), их сумма равна $180^\circ$. Мы уже нашли, что $ \angle RMF = 119^\circ $. Тогда:
$ \angle FMT = 180^\circ - \angle RMF = 180^\circ - 119^\circ = 61^\circ $
Следовательно, $ \angle KMR = \angle FMT = 61^\circ $.

Ответ: $61^\circ$

42. На рисунке 18 $\angle EAC + \angle CAD + \angle FAD = 290^\circ$. Найдите углы $\angle EAF$ и $\angle FAD$.

42. На рисунке 18 $\angle EAC + \angle CAD + \angle FAD = 290^\circ$. Найдите углы EAF и FAD.

Рис. 18

На рисунке изображены две пересекающиеся в точке A прямые, которые образуют четыре угла: $ \angle EAC $, $ \angle CAD $, $ \angle FAD $ и $ \angle EAF $. Сумма всех углов вокруг точки A составляет полный угол, то есть $ 360^\circ $.

Запишем это в виде уравнения: $ \angle EAC + \angle CAD + \angle FAD + \angle EAF = 360^\circ $.

По условию задачи известно, что сумма трех из этих углов равна $ 290^\circ $: $ \angle EAC + \angle CAD + \angle FAD = 290^\circ $.

Подставив данное значение в первое уравнение, мы можем найти величину четвертого угла, $ \angle EAF $:

$ ( \angle EAC + \angle CAD + \angle FAD ) + \angle EAF = 360^\circ $

$ 290^\circ + \angle EAF = 360^\circ $

$ \angle EAF = 360^\circ - 290^\circ $

$ \angle EAF = 70^\circ $.

Теперь найдем угол $ \angle FAD $. Углы, образованные при пересечении двух прямых, обладают определенными свойствами. В частности, существуют смежные и вертикальные углы.

Углы $ \angle EAC $ и $ \angle EAF $ являются смежными, так как они имеют общую сторону AE, а две другие их стороны (AC и AF) являются дополнительными лучами, образующими прямую. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $.

Следовательно, $ \angle EAC + \angle EAF = 180^\circ $.

Подставим найденное значение $ \angle EAF = 70^\circ $ в это уравнение:

$ \angle EAC + 70^\circ = 180^\circ $

$ \angle EAC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ $.

Углы $ \angle FAD $ и $ \angle EAC $ являются вертикальными. Вертикальные углы равны.

Следовательно, $ \angle FAD = \angle EAC $.

Так как $ \angle EAC = 110^\circ $, то и $ \angle FAD = 110^\circ $.

Ответ: $ \angle EAF = 70^\circ $, $ \angle FAD = 110^\circ $.

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 7 раз больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 7 раз больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Пусть искомый угол равен $ \alpha $. Углы, смежные с ним, являются вертикальными, а значит, равны между собой. Обозначим каждый из смежных с $ \alpha $ углов как $ \beta $.

Сумма смежных углов составляет $ 180^\circ $. Следовательно, мы можем записать соотношение:

$ \alpha + \beta = 180^\circ $

Из этого уравнения можно выразить $ \beta $:

$ \beta = 180^\circ - \alpha $

По условию задачи, угол $ \alpha $ в 7 раз больше суммы смежных с ним углов. Смежных с углом $ \alpha $ два, и их сумма равна $ \beta + \beta = 2\beta $. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$ \alpha = 7 \times (\beta + \beta) $

$ \alpha = 7 \times 2\beta $

$ \alpha = 14\beta $

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = 14\beta \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое:

$ 14\beta + \beta = 180^\circ $

$ 15\beta = 180^\circ $

$ \beta = \frac{180^\circ}{15} $

$ \beta = 12^\circ $

Теперь, зная величину угла $ \beta $, найдем искомый угол $ \alpha $:

$ \alpha = 14\beta = 14 \times 12^\circ = 168^\circ $

Проверим полученный результат. Сумма смежных углов равна $ 12^\circ + 12^\circ = 24^\circ $. Умножим эту сумму на 7: $ 24^\circ \times 7 = 168^\circ $. Это значение равно найденному углу $ \alpha $, что соответствует условию задачи.

Ответ: $ 168^\circ $

44. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 19). Найдите угол 1, если $\angle 2 + \angle 3 = 142^\circ$.

Рис. 19

44. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 19). Найдите угол 1, если $\angle 2 + \angle 3 = 142^\circ$.

Рис. 19

Углы $∠1$, $∠2$ и $∠3$, показанные на рисунке, являются смежными и вместе образуют развёрнутый угол, так как их внешние стороны лежат на одной прямой. Величина развёрнутого угла равна $180°$.

Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$

Из условия задачи известно, что сумма углов $∠2$ и $∠3$ составляет $142°$:

$∠2 + ∠3 = 142°$

Подставим известное значение суммы в первое уравнение:

$∠1 + 142° = 180°$

Теперь найдём величину угла $∠1$, вычтя $142°$ из $180°$:

$∠1 = 180° - 142°$

$∠1 = 38°$

Ответ: $38°$