Страница 15 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. На высоте $BD$ треугольника $ABC$ отметили точку $E$. Докажите, что если $AE = EC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

82. На высоте $BD$ треугольника $ABC$ отметили точку $E$. Докажите, что если $AE = EC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

Поскольку $BD$ является высотой треугольника $ABC$, то $BD \perp AC$. Это означает, что треугольники $ABD$ и $CBD$ являются прямоугольными. Так как точка $E$ лежит на отрезке $BD$, то $ED \perp AC$, и, следовательно, треугольники $AED$ и $CED$ также являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AED$ и $CED$.

• Гипотенуза $AE$ равна гипотенузе $EC$ по условию ($AE = EC$).
• Катет $ED$ является общим для обоих треугольников.

Следовательно, прямоугольные треугольники $AED$ и $CED$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов $AD$ и $DC$:

$AD = DC$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $ABD$ и $CBD$.

• Катет $AD$ равен катету $DC$ (как было доказано выше).
• Катет $BD$ является общим.

Следовательно, прямоугольные треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по двум катетам.

Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

83. На рисунке 35 $\angle OAC = \angle OCA, \angle AOB = \angle COB$. Докажите, что $\triangle AOB = \triangle COB$.

Рис. 35

83. На рисунке 35 $\angle OAC = \angle OCA$, $\angle AOB = \angle COB$. Докажите, что $\triangle AOB = \triangle COB$.

Рис. 35

Рассмотрим треугольник $AOC$. По условию задачи $\angle OAC = \angle OCA$.

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Углы $\angle OAC$ и $\angle OCA$ являются углами при основании $AC$ в треугольнике $AOC$. Следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный, а его боковые стороны равны: $OA = OC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$. Сравним их элементы:

1. $OA = OC$, так как $\triangle AOC$ — равнобедренный.

2. $\angle AOB = \angle COB$ по условию задачи.

3. Сторона $OB$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$ равны по первому признаку равенства треугольников (сторона-угол-сторона), так как сторона $OA$ равна стороне $OC$ (из равнобедренного $\triangle AOC$), угол $\angle AOB$ равен углу $\angle COB$ (по условию), а сторона $OB$ у них общая.

84. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 2 : 1$. Биссектриса $BD$ перпендикулярна отрезку $AM$. Найдите $BC$, если известно, что $AB = 6$ см.

84. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 2 : 1$. Биссектриса $BD$ перпендикулярна отрезку $AM$. Найдите $BC$, если известно, что $AB = 6$ см.

Пусть биссектриса $BD$ и отрезок $AM$ пересекаются в точке $K$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. По условию, $BD$ — биссектриса угла $ABC$, значит, отрезок $BK$ является биссектрисой угла $ABM$. Также по условию $BD \perp AM$, следовательно, $BK$ является высотой треугольника $ABM$, опущенной на сторону $AM$.

В треугольнике $ABM$ отрезок $BK$ является одновременно и биссектрисой, и высотой. Треугольник, в котором биссектриса совпадает с высотой, проведенной из той же вершины, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABM$ — равнобедренный, и его боковые стороны, прилегающие к вершине $B$, равны: $AB = BM$.

Из условия задачи известно, что $AB = 6$ см. Поскольку $AB = BM$, то $BM = 6$ см.

По условию, точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 2 : 1$. Подставим найденное значение $BM$:
$6 : MC = 2 : 1$

Из этой пропорции находим длину отрезка $MC$:
$2 \cdot MC = 6 \cdot 1$
$MC = \frac{6}{2} = 3$ см.

Сторона $BC$ состоит из отрезков $BM$ и $MC$. Найдем ее длину:
$BC = BM + MC = 6 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9 \text{ см}.$

Ответ: 9 см.

85. На рисунке 36 $AB = AD$, $CB = CD$. Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADC = 72^\circ$.

85. На рисунке 36 $AB = AD$, $CB = CD$. Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADC = 72^\circ$.

Рис. 36

Найдите ∠ABC

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Согласно условию задачи, у него равны смежные стороны: $AB = AD$ и $CB = CD$. Также нам дана величина угла $\angle ADC = 72^\circ$.

Для решения задачи проведем диагональ $AC$. Она разделит данный четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Теперь сравним эти два треугольника. У них:

1. Сторона $AB$ равна стороне $AD$ (по условию).

2. Сторона $CB$ равна стороне $CD$ (по условию).

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle ADC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что их соответственные углы равны. Угол $\angle ABC$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив общей стороны $AC$. Аналогично, угол $\angle ADC$ в треугольнике $\triangle ADC$ лежит напротив общей стороны $AC$. Это означает, что углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ являются соответственными, а значит, равными.

$\angle ABC = \angle ADC$

Так как по условию задачи $\angle ADC = 72^\circ$, то искомый угол $\angle ABC$ также равен $72^\circ$.

Ответ: $72^\circ$.

86. На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $CD = C_1D_1$.

86. На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $CD = C_1D_1$.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$. По условию задачи имеем три пары равных сторон: $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$ и $AD = A_1D_1$. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle B = \angle B_1$.

Теперь найдём длины сторон $BC$ и $B_1C_1$. Так как точка $D$ лежит на стороне $BC$, то длина стороны $BC$ является суммой длин отрезков $BD$ и $CD$, то есть $BC = BD + CD$. Аналогично, так как точка $D_1$ лежит на стороне $B_1C_1$, то $B_1C_1 = B_1D_1 + C_1D_1$.

Из условия задачи нам известно, что $BD = B_1D_1$ и $CD = C_1D_1$. Сложив эти два равенства, получим: $BD + CD = B_1D_1 + C_1D_1$. Отсюда следует, что $BC = B_1C_1$.

Теперь сравним треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы установили, что:

1. $AB = A_1B_1$ (по условию).
2. $BC = B_1C_1$ (доказано выше).
3. $\angle B = \angle B_1$ (доказано выше).

Таким образом, треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано.

87. На рисунке 37 $AK = AM$, $CK = CM$. Докажите, что $KO = OM$.

Рис. 37

87. На рисунке 37 $AK = AM$, $CK = CM$. Докажите, что $KO = OM$.

Рис. 37

Рассмотрим треугольники $\triangle AKC$ и $\triangle AMC$.

В этих треугольниках:

• $AK = AM$ (по условию задачи)
• $CK = CM$ (по условию задачи)
• $AC$ — общая сторона

Следовательно, $\triangle AKC \cong \triangle AMC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle KAC = \angle MAC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AKO$ и $\triangle AMO$.

В этих треугольниках:

• $AK = AM$ (по условию задачи)
• $\angle KAO = \angle MAO$ (так как это те же углы, что и $\angle KAC$ и $\angle MAC$)
• $AO$ — общая сторона

Следовательно, $\triangle AKO \cong \triangle AMO$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники $\triangle AKO$ и $\triangle AMO$ равны, то равны и их соответствующие стороны. Отсюда следует, что $KO = OM$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $KO = OM$ доказано.

88. На рисунке 38 $BC = AD$, $AM = CN$, $BM = DN$. Найдите $\angle ABM$, если $\angle CDN = 31^\circ$.

Рис. 38

88. На рисунке 38 $BC = AD, AM = CN, BM = DN$. Найдите $\angle ABM$, если $\angle CDN = 31^\circ$.

Рис. 38

Рассмотрим треугольники $ \triangle DNA $ и $ \triangle BMC $. По условию задачи нам дано, что $ AD = BC $ и $ DN = BM $. Из рисунка видно, что точки A, M, N, C лежат на одной прямой. Длину отрезка AN можно представить как $ AN = AM + MN $, а длину отрезка MC — как $ MC = MN + NC $. Поскольку по условию $ AM = CN $, то можно заключить, что $ AN = MC $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle DNA $ и $ \triangle BMC $ три стороны соответственно равны:

1. $ AD = BC $ (по условию)

2. $ DN = BM $ (по условию)

3. $ AN = MC $ (как доказано выше)

Следовательно, $ \triangle DNA \cong \triangle BMC $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $ \angle DAN = \angle BCM $, что то же самое, что $ \angle DAC = \angle BCA $.

Углы $ \angle DAC $ и $ \angle BCA $ являются накрест лежащими при пересечении прямых AD и BC секущей AC. Так как эти углы равны, то прямые AD и BC параллельны ($ AD \parallel BC $).

Рассмотрим четырехугольник ABCD. В нем противоположные стороны AD и BC равны ($ AD = BC $ по условию) и параллельны ($ AD \parallel BC $ как было доказано). Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, значит, $ AB = CD $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle CDN $. В них:

1. $ AB = CD $ (как противоположные стороны параллелограмма)

2. $ AM = CN $ (по условию)

3. $ BM = DN $ (по условию)

Таким образом, $ \triangle ABM \cong \triangle CDN $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов: $ \angle ABM = \angle CDN $.

По условию $ \angle CDN = 31^\circ $, следовательно, $ \angle ABM = 31^\circ $.

Ответ: $31^\circ$.