Страница 17 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. На рисунке 44 $\angle 1 = \angle 2, \angle 2 = \angle 3.$ Докажите, что прямые $a$ и $с$ параллельны.

Рис. 44

94. На рисунке 44 $\angle 1 = \angle 2, \angle 2 = \angle 3$. Докажите, что прямые $a$ и $с$ параллельны.

Рис. 44

Для доказательства того, что прямые a и c параллельны, воспользуемся признаками параллельности прямых и свойством транзитивности для параллельных прямых. Доказательство проведем в несколько шагов.

1. Сначала рассмотрим прямые a и b, пересеченные секущей m. Углы $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $, как показано на рисунке, являются соответственными углами. По условию задачи нам дано, что $ \angle 1 = \angle 2 $. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, мы можем заключить, что прямая a параллельна прямой b:

$ a \parallel b $

2. Далее рассмотрим прямые b и c, пересеченные той же секущей m. Углы $ \angle 2 $ и $ \angle 3 $ являются накрест лежащими углами. По условию задачи также дано, что $ \angle 2 = \angle 3 $. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, прямая b параллельна прямой c:

$ b \parallel c $

3. На основе предыдущих шагов мы установили, что $ a \parallel b $ и $ b \parallel c $. В евклидовой геометрии существует теорема (свойство транзитивности параллельности), которая гласит: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Поскольку и прямая a, и прямая c параллельны одной и той же прямой b, они должны быть параллельны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что $ a \parallel c $.

Ответ: Параллельность прямых a и c доказана.

95. На рисунке 45 $AB = BC$, $A_1B_1 = B_1C_1$, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Докажите, что прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны.

Рис. 45

95. На рисунке 45 $AB = BC$, $A_1B_1 = B_1C_1$, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Докажите, что прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны.

Рис. 45

Дано:

$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$

$AB = BC$

$A_1B_1 = B_1C_1$

$\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$

Доказать:

$BC \parallel B_1C_1$

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию $AB = BC$, следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA$.

2. Рассмотрим $\triangle A_1B_1C_1$. По условию $A_1B_1 = B_1C_1$, следовательно, $\triangle A_1B_1C_1$ является равнобедренным с основанием $A_1C_1$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1$.

3. Из условия задачи мы знаем, что $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Используя равенства, полученные в пунктах 1 и 2, мы можем составить следующую цепочку равенств:

$\angle BCA = \angle BAC$ (из равнобедренного $\triangle ABC$)

$\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (по условию)

$\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1$ (из равнобедренного $\triangle A_1B_1C_1$)

Из этой цепочки следует, что $\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$.

4. Углы $\angle BCA$ и $\angle B_1C_1A_1$ являются соответственными углами при пересечении прямых $BC$ и $B_1C_1$ секущей $AC_1$.

Поскольку соответственные углы равны ($\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$), то по признаку параллельности прямых, прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $BC$ и $B_1C_1$ доказана.

96. На рисунке 46 $FN = NE$, $\angle MEP = \angle BEP$. Докажите, что прямые $EB$ и $FN$ параллельны.

Рис. 46

96. На рисунке 46 $FN = NE$, $\angle MEP = \angle BEP$. Докажите, что прямые $EB$ и $FN$ параллельны.

Рис. 46

Рассмотрим треугольник $△FNE$. По условию задачи стороны $FN$ и $NE$ равны ($FN = NE$), следовательно, треугольник $△FNE$ является равнобедренным с основанием $FE$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $∠NFE = ∠NEF$.

Углы $∠MEP$ и $∠FEN$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $PF$ и $MN$. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠MEP = ∠FEN$.

Согласно условию задачи, $∠MEP = ∠BEP$.

Сопоставив два последних равенства, получаем, что $∠FEN = ∠BEP$.

Теперь объединим все равенства. Мы установили, что $∠NFE = ∠NEF$ (это тот же угол, что и $∠FEN$) и $∠FEN = ∠BEP$. Из этого следует, что $∠NFE = ∠BEP$.

Рассмотрим прямые $EB$ и $FN$ и секущую $PF$. Углы $∠NFE$ и $∠BEP$ являются соответственными углами при этих прямых и секущей.

Поскольку соответственные углы $∠NFE$ и $∠BEP$ равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $EB$ и $FN$ параллельны.

Таким образом, $EB || FN$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано; прямые $EB$ и $FN$ параллельны.

97. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из этих углов равен $72^\circ$.

97. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из этих углов равен $72^{\circ}$.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется восемь углов. Эти углы можно разделить на две группы равных между собой углов. Если один из углов равен $\alpha$, то остальные семь углов будут равны либо $\alpha$, либо $180^\circ - \alpha$.

По условию, нам дан один угол, равный $72^\circ$.

1. Угол, вертикальный данному, также равен $72^\circ$, так как вертикальные углы равны.

2. Углы, смежные с данным углом, в сумме с ним составляют $180^\circ$. Следовательно, их величина равна:
$180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.
В каждой точке пересечения есть два таких угла.

3. Так как прямые параллельны, то соответственные, накрест лежащие и другие углы, образованные при второй прямой, будут равны уже найденным углам. Например, соответственные углы равны, поэтому при втором пересечении также будут углы $72^\circ$ и $108^\circ$.

Таким образом, из восьми образовавшихся углов четыре будут равны $72^\circ$ (два в первой точке пересечения и два во второй), а остальные четыре будут равны $108^\circ$.

Ответ: Четыре угла равны $72^\circ$ и четыре угла равны $108^\circ$.