Страница 19 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. Найдите угол треугольника, если два другие его угла равны $53^\circ$ и $62^\circ$.

104. Найдите угол треугольника, если два другие его угла равны $53^\circ$ и $62^\circ$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Пусть $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ – углы треугольника. Тогда их сумма равна:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

По условию задачи нам известны два угла, например, $\angle A = 53^\circ$ и $\angle B = 62^\circ$. Нам нужно найти третий угол, $\angle C$.

Сначала найдем сумму двух известных углов:

$53^\circ + 62^\circ = 115^\circ$

Теперь, чтобы найти третий угол, вычтем эту сумму из $180^\circ$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

$\angle C = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

Таким образом, третий угол треугольника равен $65^\circ$.

Ответ: $65^\circ$

105. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $48^\circ$. Найдите углы при основании этого треугольника.

105. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $48^\circ$. Найдите углы при основании этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника всегда составляет $180^{\circ}$.

Пусть $x$ — это градусная мера каждого из двух равных углов при основании. Угол при вершине, противолежащей основанию, по условию равен $48^{\circ}$.

Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, мы можем составить следующее уравнение:$x + x + 48^{\circ} = 180^{\circ}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:$2x + 48^{\circ} = 180^{\circ}$$2x = 180^{\circ} - 48^{\circ}$$2x = 132^{\circ}$$x = \frac{132^{\circ}}{2}$$x = 66^{\circ}$

Таким образом, каждый из углов при основании равнобедренного треугольника равен $66^{\circ}$.

Ответ: $66^{\circ}$.

106. Найдите на рисунке 51 неизвестные углы треугольника ABC.

Рис. 51

а

Внешний угол при вершине B: $136^\circ$, $\angle A = 23^\circ$.

б

Внешний угол при вершине B: $114^\circ$, $\angle C = 38^\circ$.

в

Внешний угол при вершине A: $147^\circ$, внешний угол при вершине B: $94^\circ$.

106. Найдите на рисунке 51 неизвестные углы треугольника ABC.

Рис. 51

a

$136^\circ$ B, $23^\circ$ A, C

б

B $114^\circ$, $38^\circ$ C, A

в

$94^\circ$ B, $147^\circ$ A, C

а

В треугольнике $ABC$ дан угол $\angle A = 23^\circ$ и внешний угол при вершине $B$, равный $136^\circ$. Необходимо найти неизвестные углы треугольника: $\angle ABC$ и $\angle ACB$.

1. Внутренний угол треугольника при вершине $B$ (угол $\angle ABC$) и данный внешний угол являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Следовательно, мы можем найти $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.

2. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Зная два угла ($\angle A$ и $\angle B$), мы можем найти третий угол, $\angle C$ ($\angle ACB$):

$\angle ACB = 180^\circ - (\angle CAB + \angle ABC)$

$\angle ACB = 180^\circ - (23^\circ + 44^\circ) = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$.

Ответ: $\angle ABC = 44^\circ, \angle ACB = 113^\circ$.

б

В треугольнике $ABC$ дан угол $\angle C = 38^\circ$ и внешний угол при вершине $B$, равный $114^\circ$. Требуется найти углы $\angle ABC$ и $\angle BAC$.

1. Внутренний угол $\angle ABC$ является смежным с внешним углом при вершине $B$. Их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle ABC = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$.

2. Теперь, зная два угла треугольника ($\angle B$ и $\angle C$), найдем третий угол $\angle A$ ($\angle BAC$), используя теорему о сумме углов треугольника:

$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB)$

$\angle BAC = 180^\circ - (66^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$.

Также можно было использовать свойство внешнего угла треугольника: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

$114^\circ = \angle BAC + \angle ACB$

$\angle BAC = 114^\circ - 38^\circ = 76^\circ$.

Ответ: $\angle ABC = 66^\circ, \angle BAC = 76^\circ$.

в

В треугольнике $ABC$ даны два внешних угла: при вершине $A$ равный $147^\circ$ и при вершине $B$ равный $94^\circ$. Найдем все три внутренних угла треугольника: $\angle BAC$, $\angle ABC$ и $\angle ACB$.

1. Внутренний угол $\angle BAC$ и внешний угол при вершине $A$ — смежные. Найдем $\angle BAC$:

$\angle BAC = 180^\circ - 147^\circ = 33^\circ$.

2. Аналогично, внутренний угол $\angle ABC$ и внешний угол при вершине $B$ являются смежными. Найдем $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$.

3. Зная два внутренних угла, найдем третий угол $\angle ACB$ из теоремы о сумме углов треугольника:

$\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC)$

$\angle ACB = 180^\circ - (33^\circ + 86^\circ) = 180^\circ - 119^\circ = 61^\circ$.

Ответ: $\angle BAC = 33^\circ, \angle ABC = 86^\circ, \angle ACB = 61^\circ$.

107. Найдите на рисунке 52 неизвестные углы равнобедренного треугольника ABC ($AB = AC$).

Рис. 52

а

$38^\circ$

$AB = AC$

б

$36^\circ$

$AC = BC$

107. Найдите на рисунке 52 неизвестные углы равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = AC$).

Рис. 52

В треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) внешний угол при вершине $A$ — $38^\circ$.

В треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) угол $\angle A$ — $36^\circ$.

В обоих случаях треугольник $ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AB$ и $AC$ ($AB = AC$), следовательно, углы при основании $BC$ равны: $\angle ABC = \angle ACB$.

На рисунке показан внешний угол треугольника при вершине $A$, равный $38^\circ$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае, внешний угол при вершине $A$ равен сумме углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$.

Составим уравнение, используя свойство внешнего угла и равенство углов при основании:

$\angle ABC + \angle ACB = 38^\circ$

$2 \cdot \angle ACB = 38^\circ$

Отсюда находим углы при основании:

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{38^\circ}{2} = 19^\circ$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла, найдем третий угол при вершине $A$:

$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (19^\circ + 19^\circ) = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$

Ответ: $\angle BAC = 142^\circ$, $\angle ABC = 19^\circ$, $\angle ACB = 19^\circ$.

На рисунке показан угол, равный $36^\circ$. Этот угол является внешним при вершине $A$, так как он образован стороной $AC$ и продолжением стороны $BA$ за вершину $A$.

По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Таким образом, внешний угол при вершине $A$ равен сумме углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$.

Запишем уравнение:

$\angle ABC + \angle ACB = 36^\circ$

Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то $\angle ABC = \angle ACB$. Подставим это в уравнение:

$2 \cdot \angle ABC = 36^\circ$

Вычислим углы при основании:

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{36^\circ}{2} = 18^\circ$

Теперь найдем угол при вершине $A$, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (18^\circ + 18^\circ) = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$

Ответ: $\angle BAC = 144^\circ$, $\angle ABC = 18^\circ$, $\angle ACB = 18^\circ$.

108. Найдите углы треугольника DEF, если $\angle D + \angle E = 70^{\circ}$, $\angle E + \angle F = 150^{\circ}$.

108. Найдите углы треугольника DEF, если $\angle D + \angle E = 70^{\circ}$, $\angle E + \angle F = 150^{\circ}$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $DEF$ это означает, что $\angle D + \angle E + \angle F = 180^\circ$.

По условию задачи нам даны два равенства:

1) $\angle D + \angle E = 70^\circ$

2) $\angle E + \angle F = 150^\circ$

Мы можем использовать эти данные для последовательного нахождения всех углов треугольника.

Нахождение угла F

Возьмём основное свойство суммы углов треугольника $\angle D + \angle E + \angle F = 180^\circ$. Мы можем заменить сумму $(\angle D + \angle E)$ на известное нам значение из первого условия, то есть на $70^\circ$.

$(\angle D + \angle E) + \angle F = 180^\circ$

$70^\circ + \angle F = 180^\circ$

Теперь найдём $\angle F$:

$\angle F = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

Нахождение угла E

Теперь, когда мы знаем величину угла $F$, мы можем использовать второе условие задачи ($\angle E + \angle F = 150^\circ$) для нахождения угла $E$. Подставим в это равенство найденное значение $\angle F = 110^\circ$.

$\angle E + 110^\circ = 150^\circ$

Найдём $\angle E$:

$\angle E = 150^\circ - 110^\circ = 40^\circ$

Нахождение угла D

Зная величину угла $E$, мы можем использовать первое условие задачи ($\angle D + \angle E = 70^\circ$) для нахождения угла $D$. Подставим в это равенство найденное значение $\angle E = 40^\circ$.

$\angle D + 40^\circ = 70^\circ$

Найдём $\angle D$:

$\angle D = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ$

Проверим, выполняется ли равенство суммы углов 180°:

$\angle D + \angle E + \angle F = 30^\circ + 40^\circ + 110^\circ = 180^\circ$

Равенство выполняется, следовательно, углы найдены верно.

Ответ: $\angle D = 30^\circ, \angle E = 40^\circ, \angle F = 110^\circ$.

109. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании на $36^\circ$ больше угла при вершине.

109. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании на $36^\circ$ больше угла при вершине.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть величина угла при вершине равна $x$. Тогда, согласно условию задачи, каждый из двух углов при основании будет равен $x + 36^\circ$.

Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. На основе этого составим уравнение:

Угол при вершине + Угол при основании 1 + Угол при основании 2 = $180^\circ$

$x + (x + 36^\circ) + (x + 36^\circ) = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение:

$3x + 72^\circ = 180^\circ$

$3x = 180^\circ - 72^\circ$

$3x = 108^\circ$

$x = \frac{108^\circ}{3}$

$x = 36^\circ$

Мы нашли угол при вершине, он равен $36^\circ$.

Теперь найдем углы при основании, подставив значение $x$:

Угол при основании = $x + 36^\circ = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ$.

Таким образом, углы треугольника равны $36^\circ$, $72^\circ$ и $72^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.

110. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как $3:4:5$.

110. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как $3 : 4 : 5$.

Решение

Пусть углы треугольника равны $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. По условию задачи, их градусные меры относятся как $3 : 4 : 5$. Это означает, что мы можем представить углы в виде:

$ \alpha = 3x $

$ \beta = 4x $

$ \gamma = 5x $

где $x$ – это коэффициент пропорциональности, который равен градусной мере одной "части" в данном соотношении.

Известно, что сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Составим и решим уравнение, используя это свойство:

$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

Подставим выражения для углов через $x$:

$ 3x + 4x + 5x = 180^\circ $

Сложим все члены, содержащие $x$:

$ (3 + 4 + 5)x = 180^\circ $

$ 12x = 180^\circ $

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 12:

$ x = \frac{180^\circ}{12} $

$ x = 15^\circ $

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти градусную меру каждого угла треугольника:

Первый угол: $ \alpha = 3x = 3 \cdot 15^\circ = 45^\circ $

Второй угол: $ \beta = 4x = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ $

Третий угол: $ \gamma = 5x = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ $

Для проверки сложим полученные углы: $ 45^\circ + 60^\circ + 75^\circ = 180^\circ $. Сумма верна.

Ответ: $45^\circ$, $60^\circ$, $75^\circ$.