Страница 14 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 84 см, а основание в 3 раза меньше боковой стороны.

74. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 84 см, а основание в 3 раза меньше боковой стороны.

Пусть длина основания равнобедренного треугольника равна $x$ см.

По условию задачи, основание в 3 раза меньше боковой стороны. Это означает, что боковая сторона в 3 раза больше основания. Следовательно, длина боковой стороны равна $3x$ см.

Так как треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны равны. Таким образом, стороны треугольника равны $x$ см, $3x$ см и $3x$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 84 см. Составим уравнение:$x + 3x + 3x = 84$

Теперь решим это уравнение:$7x = 84$$x = \frac{84}{7}$$x = 12$

Мы нашли, что длина основания равна $x = 12$ см.

Теперь найдем длину боковой стороны:$3x = 3 \cdot 12 = 36$ см.

Таким образом, стороны треугольника: основание — 12 см, боковые стороны — 36 см и 36 см.

Проверка: $12 + 36 + 36 = 84$ см. Условие выполняется.

Ответ: боковые стороны равны по 36 см, основание равно 12 см.

75. На рисунке 33 $AB = BC$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 33

75. На рисунке 33 $AB = BC$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 33

Дано:

$\triangle ABC$, в котором $AB = BC$.

Доказать:

$\angle 1 = \angle 2$.

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию задачи дано, что сторона $AB$ равна стороне $BC$. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$.

2. Одним из основных свойств равнобедренного треугольника является то, что углы при его основании равны. В данном случае это означает, что $\angle BAC = \angle BCA$.

3. Угол $\angle 1$ и угол $\angle BAC$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых (прямой, содержащей сторону $AB$, и прямой $AC$). По свойству вертикальных углов, они равны между собой. Таким образом, $\angle 1 = \angle BAC$.

4. Аналогично, угол $\angle 2$ и угол $\angle BCA$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых (прямой, содержащей сторону $BC$, и прямой $AC$). Следовательно, $\angle 2 = \angle BCA$.

5. Сопоставим полученные равенства:

• $\angle 1 = \angle BAC$ (из п. 3)
• $\angle 2 = \angle BCA$ (из п. 4)
• $\angle BAC = \angle BCA$ (из п. 2)

Из этих равенств следует, что $\angle 1 = \angle 2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle 1 = \angle 2$ доказано.

76. В равнобедренном треугольнике DEF ($DE = EF$) провели высоту EO, длина которой равна 8 см. Найдите периметр треугольника DEF, если периметр треугольника DEO равен 43 см.

76. В равнобедренном треугольнике DEF ($DE = EF$) провели высоту EO, длина которой равна 8 см. Найдите периметр треугольника DEF, если периметр треугольника DEO равен 43 см.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $DEF$, в котором боковые стороны равны: $DE = EF$. Высота $EO$ проведена к основанию $DF$.

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также и медианой. Это означает, что точка $O$ — середина основания $DF$, и, следовательно, $DO = OF$. Тогда длина всего основания $DF$ равна удвоенной длине отрезка $DO$:

$DF = DO + OF = DO + DO = 2 \cdot DO$

Периметр треугольника $DEF$ ($P_{DEF}$) равен сумме длин всех его сторон:

$P_{DEF} = DE + EF + DF$

Заменим $EF$ на $DE$ (так как они равны) и $DF$ на $2 \cdot DO$:

$P_{DEF} = DE + DE + 2 \cdot DO = 2 \cdot DE + 2 \cdot DO = 2(DE + DO)$

Теперь рассмотрим треугольник $DEO$. Его периметр ($P_{DEO}$) задан по условию и равен 43 см. Периметр этого треугольника вычисляется как:

$P_{DEO} = DE + DO + EO$

Нам известны значения $P_{DEO} = 43$ см и $EO = 8$ см. Подставим их в формулу, чтобы найти сумму длин сторон $DE$ и $DO$:

$43 = DE + DO + 8$

$DE + DO = 43 - 8$

$DE + DO = 35$ см

Теперь, зная сумму $DE + DO$, мы можем найти периметр исходного треугольника $DEF$:

$P_{DEF} = 2(DE + DO) = 2 \cdot 35 = 70$ см.

Ответ: 70 см.

77. Серединный перпендикуляр стороны $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 18$ см, а периметр треугольника $AFC$ равен $27$ см.

77. Серединный перпендикуляр стороны $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ $(AB = BC)$ пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 18$ см, а периметр треугольника $AFC$ равен $27$ см.

По условию задачи, нам дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны. Известно, что $AB = 18$ см, следовательно, $BC = 18$ см.

Пусть серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $F$.По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Так как точка $F$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, то расстояния от точки $F$ до точек $A$ и $B$ равны, то есть $AF = BF$.

Периметр треугольника $AFC$ равен сумме длин его сторон:$P_{AFC} = AF + FC + AC$.

По условию, $P_{AFC} = 27$ см. Заменим в формуле периметра $AF$ на равный ему отрезок $BF$:$BF + FC + AC = 27$.

Поскольку точка $F$ лежит на стороне $BC$, то сумма длин отрезков $BF$ и $FC$ равна длине стороны $BC$:$BF + FC = BC$.

Таким образом, равенство для периметра можно переписать в виде:$BC + AC = 27$.

Мы знаем, что $BC = AB = 18$ см. Подставим это значение в уравнение:$18 + AC = 27$.

Отсюда находим длину стороны $AC$:$AC = 27 - 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

78. В равнобедренном треугольнике $DFE$ на боковых сторонах $DF$ и $EF$ соответственно отметили точки $M$ и $K$ так, что $FM = FK$. Докажите, что $\angle DME = \angle DKE$.

78. В равнобедренном треугольнике $DFE$ на боковых сторонах $DF$ и $EF$ соответственно отметили точки $M$ и $K$ так, что $FM = FK$. Докажите, что $\angle DME = \angle DKE$.

Дано:

$\triangle DFE$ — равнобедренный,
$DF$ и $EF$ — боковые стороны, следовательно $DF = EF$,
$M \in DF$, $K \in EF$,
$FM = FK$.

Доказать:

$\angle DME = \angle DKE$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle DME$ и $\triangle DKE$.

1. Сторона $DE$ является общей для этих треугольников.

2. Так как по условию $\triangle DFE$ — равнобедренный с основанием $DE$, то углы при основании равны: $\angle FDE = \angle FED$. Поскольку точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $DF$ и $EF$ соответственно, то углы $\angle MDE$ и $\angle KED$ совпадают с углами $\angle FDE$ и $\angle FED$. Таким образом, $\angle MDE = \angle KED$.

3. Длина отрезка $DM$ равна разности длин отрезков $DF$ и $MF$, то есть $DM = DF - MF$. Аналогично, длина отрезка $EK$ равна разности длин отрезков $EF$ и $KF$, то есть $EK = EF - KF$.

Из условия задачи известно, что $DF = EF$ и $FM = FK$. Следовательно, вычитая из равных отрезков равные, получаем:

$DM = DF - MF = EF - FK = EK$.

4. Таким образом, для треугольников $\triangle DME$ и $\triangle DKE$ мы установили, что:

$DM = EK$ (доказано в п. 3),
$\angle MDE = \angle KED$ (доказано в п. 2),
$DE$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle DME \cong \triangle DKE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В $\triangle DME$ и $\triangle DKE$ сторона $DE$ общая, значит, противолежащие ей углы равны: $\angle DME = \angle DKE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle DME = \angle DKE$ доказано.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по медиане, проведённой к основанию, и углу при вершине.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по медиане, проведённой к основанию, и углу при вершине.

Пусть даны два равнобедренных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ с основаниями $ AC $ и $ A_1C_1 $ соответственно. Пусть $ BM $ и $ B_1M_1 $ — медианы, проведённые к основаниям.

Согласно условию задачи, медианы равны ($ BM = B_1M_1 $) и углы при вершине, противолежащей основанию, равны ($ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $).

Требуется доказать, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно высотой и биссектрисой.

Рассмотрим $ \triangle ABC $. Так как $ BM $ — медиана к основанию, то $ BM $ также является биссектрисой угла $ \angle ABC $ и высотой. Следовательно, $ \angle ABM = \frac{1}{2}\angle ABC $ и $ \angle BMA = 90^\circ $.

Аналогично для $ \triangle A_1B_1C_1 $: медиана $ B_1M_1 $ является биссектрисой угла $ \angle A_1B_1C_1 $ и высотой. Следовательно, $ \angle A_1B_1M_1 = \frac{1}{2}\angle A_1B_1C_1 $ и $ \angle B_1M_1A_1 = 90^\circ $.

Поскольку по условию $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $, то равны и половины этих углов: $ \angle ABM = \angle A_1B_1M_1 $.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $. Они равны по катету и прилежащему острому углу, так как катет $ BM $ равен катету $ B_1M_1 $ (по условию) и прилежащий острый угол $ \angle ABM $ равен прилежащему острому углу $ \angle A_1B_1M_1 $ (как доказано выше).

Из равенства треугольников $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $ следует равенство их соответствующих сторон, в частности, гипотенуз: $ AB = A_1B_1 $.

Рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Они равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как:
1. $ AB = A_1B_1 $ (доказано выше).
2. $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $ (по условию).
3. $ BC = AB $ и $ B_1C_1 = A_1B_1 $ (так как треугольники равнобедренные). Следовательно, $ BC = B_1C_1 $.

Таким образом, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано.

80. На рисунке 34 $ \angle 1 = \angle 2 $. Докажите, что $ AB = BC $.

80. На рисунке 34 $ \angle 1 = \angle 2 $. Докажите, что $ AB = BC $.

Рис. 34

Рассмотрим углы, показанные на рисунке. Угол $∠1$ и угол $∠BAC$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол. Сумма смежных углов равна $180°$. Таким образом, мы можем выразить величину угла $∠BAC$ через $∠1$:

$∠BAC = 180° - ∠1$

Аналогично, угол $∠2$ и угол $∠BCA$ также являются смежными. Следовательно, их сумма равна $180°$, и мы можем выразить $∠BCA$ через $∠2$:

$∠BCA = 180° - ∠2$

По условию задачи нам дано, что $∠1 = ∠2$.

Если равны величины $∠1$ и $∠2$, то равны и разности $180° - ∠1$ и $180° - ∠2$. Из этого следует, что внутренние углы треугольника при основании $AC$ равны:

$∠BAC = ∠BCA$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. В этом треугольнике два угла ($∠BAC$ и $∠BCA$) равны. Согласно свойству равнобедренного треугольника (а точнее, его признаку), если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны, противолежащие равным углам, равны. Сторона $BC$ лежит напротив угла $∠BAC$, а сторона $AB$ — напротив угла $∠BCA$. Так как $∠BAC = ∠BCA$, то и противолежащие им стороны равны: $AB = BC$.

Таким образом, мы доказали, что $AB = BC$.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку внешние углы $∠1$ и $∠2$ равны по условию, то смежные с ними внутренние углы треугольника $∠BAC$ и $∠BCA$ также равны. Треугольник $ABC$, в котором углы при основании $AC$ равны, является равнобедренным, и, следовательно, его боковые стороны $AB$ и $BC$ равны.

81. На медиане $BM$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ отметили точку $O$. Докажите, что треугольник $AOC$ равнобедренный.

81. На медиане $BM$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ отметили точку $O$. Докажите, что треугольник $AOC$ равнобедренный.

По условию, в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена медиана $BM$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также его высотой и биссектрисой.

Поскольку $BM$ является высотой, то $BM \perp AC$. Это означает, что углы $\angle BMA$ и $\angle BMC$ прямые, то есть равны $90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COM$. Точка $O$ по условию лежит на медиане $BM$.

Для этих треугольников можно выделить следующие равные элементы:

1. $AM = MC$, так как $BM$ — медиана и делит сторону $AC$ пополам.

2. $\angle AMO = \angle CMO = 90^\circ$, поскольку $BM \perp AC$ и точка $O$ лежит на $BM$.

3. $OM$ — общая сторона.

Таким образом, треугольник $\triangle AOM$ равен треугольнику $\triangle COM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $AO$ треугольника $\triangle AOM$ равна соответствующей стороне $CO$ треугольника $\triangle COM$. Следовательно, $AO = CO$.

Так как в треугольнике $AOC$ две стороны ($AO$ и $CO$) равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $AOC$ является равнобедренным.