Страница 8 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. На рисунке 10 $\angle POT = 78^\circ$, $\angle FOM = 52^\circ$, $\angle POF = 39^\circ$.

Найдите угол $\angle TOM$.

Рис. 10

29. На рисунке 10 $\angle POT = 78^{\circ}$, $\angle FOM = 52^{\circ}$, $\angle POF = 39^{\circ}$.

Найдите угол $\angle TOM$.

Для решения задачи воспользуемся свойством сложения углов, основываясь на расположении лучей, показанном на рисунке. Подразумевается, что все углы лежат в одной плоскости.

1. Сначала найдем угол $∠FOT$. Из рисунка видно, что луч OF находится между лучами OP и OT. Это означает, что угол $∠POT$ является суммой углов $∠POF$ и $∠FOT$:

$∠POT = ∠POF + ∠FOT$

Подставим известные значения $∠POT = 78°$ и $∠POF = 39°$:

$78° = 39° + ∠FOT$

Выразим отсюда $∠FOT$:

$∠FOT = 78° - 39° = 39°$

2. Теперь, когда мы знаем величину угла $∠FOT$, мы можем найти искомый угол $∠TOM$. Из рисунка видно, что луч OT находится между лучами OF и OM. Это означает, что угол $∠FOM$ является суммой углов $∠FOT$ и $∠TOM$:

$∠FOM = ∠FOT + ∠TOM$

Подставим известные значения $∠FOM = 52°$ и вычисленное значение $∠FOT = 39°$:

$52° = 39° + ∠TOM$

Выразим отсюда $∠TOM$:

$∠TOM = 52° - 39° = 13°$

Ответ: $13°$

30. На рисунке 11 $\angle DCE = \angle KCP$, $\angle DCF = \angle FCP$. Докажите, что луч $CF$ — биссектриса угла $ECK$.

Рис. 11

30. На рисунке 11 $\angle DCE = \angle KCP$, $\angle DCF = \angle FCP$ Докажите, что луч $CF$ — биссектриса угла $ECK$.

Рис. 11

Чтобы доказать, что луч CF является биссектрисой угла ECK, необходимо установить, что он делит угол ECK на два равных угла, то есть $∠ECF = ∠FCK$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие равенства:
1. $∠DCE = ∠KCP$
2. $∠DCF = ∠FCP$

Рассмотрим угол $∠DCF$. Из рисунка видно, что он является суммой двух углов: $∠DCE$ и $∠ECF$.
Следовательно, $∠DCF = ∠DCE + ∠ECF$.

Аналогично, рассмотрим угол $∠FCP$. Он является суммой углов $∠FCK$ и $∠KCP$.
Следовательно, $∠FCP = ∠FCK + ∠KCP$.

Используя второе условие ($∠DCF = ∠FCP$), мы можем приравнять выражения для этих углов:
$∠DCE + ∠ECF = ∠FCK + ∠KCP$

Теперь воспользуемся первым условием ($∠DCE = ∠KCP$). Подставим в наше равенство $∠DCE$ вместо $∠KCP$:
$∠DCE + ∠ECF = ∠FCK + ∠DCE$

Вычтем из левой и правой частей уравнения равные углы $∠DCE$:
$(∠DCE + ∠ECF) - ∠DCE = (∠FCK + ∠DCE) - ∠DCE$
Получаем:
$∠ECF = ∠FCK$

Поскольку луч CF делит угол ECK на два равных угла, $∠ECF$ и $∠FCK$, то, по определению, CF является биссектрисой угла ECK.

Ответ: Что и требовалось доказать.

31. Луч $DC$ проходит между сторонами угла $ADK$. Луч $DM$ – биссектриса угла $ADC$, луч $DP$ – биссектриса угла $CDK$. Найдите угол $ADK$, если $\angle MDP = 82^\circ$.

31. Луч $DC$ проходит между сторонами угла $ADK$. Луч $DM$ — биссектриса угла $ADC$, луч $DP$ — биссектриса угла $CDK$. Найдите угол $ADK$, если $\angle MDP = 82^\circ$.

По условию задачи, луч $DC$ проходит между сторонами угла $ADK$. Это означает, что угол $ADK$ является суммой двух смежных углов $ADC$ и $CDK$.

$\angle ADK = \angle ADC + \angle CDK$

Луч $DM$ — биссектриса угла $ADC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, поэтому:

$\angle MDC = \frac{1}{2} \angle ADC$

Аналогично, луч $DP$ — биссектриса угла $CDK$, следовательно:

$\angle CDP = \frac{1}{2} \angle CDK$

Угол $MDP$ состоит из двух углов $MDC$ и $CDP$, так как луч $DC$ лежит между лучами $DM$ и $DP$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle MDP = \angle MDC + \angle CDP$

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $\angle MDC$ и $\angle CDP$ через углы $\angle ADC$ и $\angle CDK$:

$\angle MDP = \frac{1}{2} \angle ADC + \frac{1}{2} \angle CDK$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle MDP = \frac{1}{2} (\angle ADC + \angle CDK)$

Так как $\angle ADC + \angle CDK = \angle ADK$, мы можем заменить сумму в скобках на $\angle ADK$:

$\angle MDP = \frac{1}{2} \angle ADK$

По условию, $\angle MDP = 82^\circ$. Подставим это значение в полученную формулу:

$82^\circ = \frac{1}{2} \angle ADK$

Чтобы найти величину угла $ADK$, умножим обе части уравнения на 2:

$\angle ADK = 2 \times 82^\circ = 164^\circ$

Ответ: $164^\circ$.

32. На рисунке 12 $\angle FOD = \angle MOK$ и $\angle MOD = \angle KOE$. Найдите угол $\angle EOD$, если $\angle FOD = 44^\circ$.

Рис. 12

32. На рисунке 12 $\angle FOD = \angle MOK$ и $\angle MOD = \angle KOE$. Найдите угол $EOD$, если $\angle FOD = 44^\circ$.

Рис. 12

По условию задачи нам даны следующие соотношения между углами:

1. $\angle FOD = \angle MOK$

2. $\angle MOD = \angle KOE$

Также известна величина угла $\angle FOD = 44^\circ$.

Требуется найти величину угла $\angle EOD$.

Из рисунка видно, что угол $\angle EOD$ является суммой двух смежных углов: $\angle EOK$ и $\angle KOD$.

$\angle EOD = \angle EOK + \angle KOD$

Воспользуемся вторым равенством из условия: $\angle KOE = \angle MOD$. Заметим, что $\angle EOK$ и $\angle KOE$ — это обозначения одного и того же угла. Заменим в нашей формуле $\angle EOK$ на равный ему угол $\angle MOD$:

$\angle EOD = \angle MOD + \angle KOD$

Теперь посмотрим на правую часть этого равенства. Сумма углов $\angle MOD$ и $\angle KOD$ образует угол $\angle MOK$, так как луч $OD$ проходит между лучами $OM$ и $OK$.

$\angle MOK = \angle MOD + \angle KOD$

Таким образом, мы приходим к выводу, что:

$\angle EOD = \angle MOK$

Из первого условия задачи мы знаем, что $\angle FOD = \angle MOK$. Сопоставив это с полученным нами результатом, получаем:

$\angle EOD = \angle FOD$

Так как по условию $\angle FOD = 44^\circ$, то:

$\angle EOD = 44^\circ$

Ответ: $44^\circ$.

33. На рисунке 13 луч FN – биссектриса угла KFD. Найдите угол NFT, если $\angle KFD = 54^{\circ}$.

Рис. 13

33. На рисунке 13 луч FN – биссектриса угла KFD. Найдите угол NFT, если $ \angle KFD = 54^\circ $.

Рис. 13

По условию задачи, луч FN является биссектрисой угла KFD. Это означает, что он делит угол KFD на два равных угла: $\angle KFN$ и $\angle NFD$.

Найдем величину этих углов:

$\angle KFN = \angle NFD = \frac{\angle KFD}{2}$

Поскольку $\angle KFD = 54^\circ$, то:

$\angle KFN = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ$

Из рисунка видно, что точки K, F и T лежат на одной прямой, следовательно, угол KFT является развернутым, и его величина равна $180^\circ$.

Угол KFT и угол NFT являются смежными углами с углом KFN. Сумма смежных углов $\angle KFN$ и $\angle NFT$ равна $180^\circ$:

$\angle KFN + \angle NFT = 180^\circ$

Чтобы найти $\angle NFT$, вычтем из $180^\circ$ величину угла $\angle KFN$:

$\angle NFT = 180^\circ - \angle KFN$

$\angle NFT = 180^\circ - 27^\circ = 153^\circ$

Ответ: $153^\circ$

34. На рисунке 14 луч $BM$ — биссектриса угла $CBN$. Найдите угол $CBN$, если $\angle ABM = 124^\circ$.

Рис. 14

34. На рисунке 14 луч BM — биссектриса угла CBN. Найдите угол CBN, если $\angle ABM = 124^\circ$.

Рис. 14

Углы $\angle ABM$ и $\angle MBC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол $\angle ABC$, величина которого составляет $180^\circ$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Зная, что $\angle ABM = 124^\circ$, мы можем найти величину угла $\angle MBC$:

$\angle MBC = 180^\circ - \angle ABM = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$.

Согласно условию, луч $BM$ является биссектрисой угла $\angle CBN$. Биссектриса делит угол на два равных угла. Это означает, что:

$\angle CBM = \angle MBN$.

Поскольку угол $\angle MBC$ и угол $\angle CBM$ — это один и тот же угол, то $\angle CBM = 56^\circ$.

Величина угла $\angle CBN$ равна сумме величин углов $\angle CBM$ и $\angle MBN$. Так как эти углы равны, мы можем записать:

$\angle CBN = \angle CBM + \angle MBN = 2 \cdot \angle CBM = 2 \cdot 56^\circ = 112^\circ$.

Ответ: $112^\circ$.