Страница 5 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Укажите все отрезки, изображённые на рисунке 4.

Рис. 4

а

Отрезки: $AB$, $AC$, $BC$, $AD$, $CD$.

б

Отрезки: $EM$, $MF$, $FK$, $KP$.

5. Укажите все отрезки, изображённые на рисунке 4.

Рис. 4

а

Отрезки: $BA$, $AC$, $BC$, $AD$.

б

Отрезки: $EM$, $MF$, $FK$, $KP$.

а Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. На рисунке а точки $B$, $A$ и $C$ лежат на одной прямой, что позволяет выделить три отрезка на этой прямой: $AB$, $AC$ и $BC$ (состоящий из двух предыдущих). Также есть отрезок $AD$, который соединяет точку $A$ на прямой с точкой $D$ вне её. Таким образом, на рисунке изображены четыре отрезка. Ответ: $AB, AC, BC, AD$.

б На рисунке б изображена ломаная линия $EFMKP$. Отрезками являются её звенья, то есть части, соединяющие последовательно вершины ломаной. Перечислим все звенья этой ломаной: $EF$, $FM$, $MK$ и $KP$. Всего четыре отрезка. Ответ: $EF, FM, MK, KP$.

6. Точка D лежит между точками K и F. Найдите:

1) отрезок KF, если $KD = 2,7 \text{ см}$, $DF = 11,6 \text{ см}$;

2) отрезок FD, если $DK = \frac{5}{6} \text{ дм}$, $KF = 4 \text{ дм}$.

6. Точка $D$ лежит между точками $K$ и $F$. Найдите:

1) отрезок $KF$, если $KD = 2,7$ см, $DF = 11,6$ см;

2) отрезок $FD$, если $DK = \frac{5}{6}$ дм, $KF = 4$ дм.

Поскольку точка D лежит между точками K и F, это означает, что все три точки лежат на одной прямой, и длина большего отрезка KF равна сумме длин составляющих его отрезков KD и DF. Это можно записать в виде формулы:

$KF = KD + DF$

1) отрезок KF, если KD = 2,7 см, DF = 11,6 см;

Для нахождения длины отрезка KF воспользуемся свойством сложения длин отрезков. Подставим в формулу известные значения:

$KF = 2,7 \text{ см} + 11,6 \text{ см}$

$KF = 14,3 \text{ см}$

Ответ: $14,3$ см.

2) отрезок FD, если DK = 5/6 дм, KF = 4 дм.

Из основной формулы $KF = KD + DF$ выразим длину искомого отрезка FD (что то же самое, что и DF). Для этого из длины всего отрезка KF вычтем длину известной части DK:

$FD = KF - DK$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$FD = 4 \text{ дм} - \frac{5}{6} \text{ дм}$

Чтобы выполнить вычитание, представим целое число 4 в виде дроби со знаменателем 6:

$4 = \frac{24}{6}$

Теперь произведем вычитание дробей:

$FD = \frac{24}{6} \text{ дм} - \frac{5}{6} \text{ дм} = \frac{24 - 5}{6} \text{ дм} = \frac{19}{6} \text{ дм}$

Для удобства преобразуем неправильную дробь $\frac{19}{6}$ в смешанное число:

$\frac{19}{6} = 3 \frac{1}{6}$

Таким образом, длина отрезка FD равна $3 \frac{1}{6}$ дм.

Ответ: $3 \frac{1}{6}$ дм.

7. Лежит ли точка $A$ между точками $B$ и $C$, если $AB = 3,7$ см, $AC = 4,7$ см, $BC = 8,3$ см? Ответ обоснуйте.

7. Лежит ли точка А между точками В и С, если $AB = 3,7$ см, $AC = 4,7$ см, $BC = 8,3$ см? Ответ обоснуйте.

Для того чтобы точка A лежала на отрезке BC (то есть между точками B и C), необходимо, чтобы выполнялось равенство, следующее из аксиомы измерения отрезков: $AB + AC = BC$.

Проверим, выполняется ли это равенство для данных в условии значений:

Дано:

$AB = 3,7$ см

$AC = 4,7$ см

$BC = 8,3$ см

Найдем сумму длин отрезков $AB$ и $AC$:

$AB + AC = 3,7 \text{ см} + 4,7 \text{ см} = 8,4 \text{ см}$

Теперь сравним полученную сумму с длиной отрезка $BC$:

$8,4 \text{ см} \neq 8,3 \text{ см}$

Так как $AB + AC \neq BC$, то точка A не лежит между точками B и C. Более того, поскольку $AB + AC > BC$, точки A, B и C образуют треугольник.

Ответ: нет, точка A не лежит между точками B и C, так как сумма длин отрезков AB и AC не равна длине отрезка BC ($3,7 + 4,7 = 8,4$, что не равно $8,3$).

8. Точка $M$ принадлежит отрезку $KE$, длина которого равна 27 см. Найдите длины отрезков $MK$ и $ME$, если:

1) длина отрезка $MK$ на 7 см меньше длины отрезка $ME$;

2) длина отрезка $MK$ в 2 раза больше длины отрезка $ME$;

3) $MK : ME = 2 : 7$.

8. Точка M принадлежит отрезку KE, длина которого равна 27 см. Найдите длины отрезков MK и ME, если:

1) длина отрезка MK на 7 см меньше длины отрезка ME;

2) длина отрезка MK в 2 раза больше длины отрезка ME;

3) $MK : ME = 2 : 7$.

Поскольку точка $M$ принадлежит отрезку $KE$, то сумма длин отрезков $MK$ и $ME$ равна длине отрезка $KE$. Это можно записать в виде формулы: $MK + ME = KE$. По условию, длина отрезка $KE$ равна 27 см, следовательно, мы получаем основное уравнение для решения задачи: $MK + ME = 27$.

1) длина отрезка MK на 7 см меньше длины отрезка ME;
Пусть длина отрезка $ME$ равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина отрезка $MK$ будет равна $(x - 7)$ см. Подставим эти значения в наше основное уравнение и решим его:
$(x - 7) + x = 27$
$2x - 7 = 27$
$2x = 27 + 7$
$2x = 34$
$x = 17$
Таким образом, длина отрезка $ME$ равна 17 см. Теперь найдем длину отрезка $MK$:
$MK = 17 - 7 = 10$ см.
Проверим: $10 + 17 = 27$ см.
Ответ: $MK = 10$ см, $ME = 17$ см.

2) длина отрезка MK в 2 раза больше длины отрезка ME;
Пусть длина отрезка $ME$ равна $y$ см. Тогда, по условию, длина отрезка $MK$ будет равна $2y$ см. Составим и решим уравнение:
$2y + y = 27$
$3y = 27$
$y = 27 / 3$
$y = 9$
Следовательно, длина отрезка $ME$ равна 9 см. Найдем длину отрезка $MK$:
$MK = 2 \cdot 9 = 18$ см.
Проверим: $18 + 9 = 27$ см.
Ответ: $MK = 18$ см, $ME = 9$ см.

3) MK : ME = 2 : 7.
Данное соотношение означает, что отрезок $MK$ составляет 2 части, а отрезок $ME$ — 7 частей от некоторой общей меры. Весь отрезок $KE$ состоит из $2 + 7 = 9$ таких частей. Найдем длину одной части, разделив общую длину отрезка на количество частей:
$27 / 9 = 3$ см.
Теперь вычислим длины отрезков $MK$ и $ME$:
$MK = 2 \cdot 3 = 6$ см.
$ME = 7 \cdot 3 = 21$ см.
Проверим: $6 + 21 = 27$ см.
Ответ: $MK = 6$ см, $ME = 21$ см.

9. На прямой последовательно отмечены точки A, B, C и D так, что $AC = 8$ см, $BC = 3$ см, $BD = 6$ см. Найдите $AD$.

9. На прямой последовательно отмечены точки $A, B, C$ и $D$ так, что $AC = 8$ см, $BC = 3$ см, $BD = 6$ см. Найдите $AD$.

По условию задачи, точки A, B, C и D расположены на прямой последовательно. Это означает, что они лежат в следующем порядке: A, затем B, затем C, затем D. Длина всего отрезка AD будет равна сумме длин составляющих его отрезков.

Длину отрезка AD можно найти несколькими способами, например, как сумму длин отрезков AC и CD ($AD = AC + CD$) или как сумму длин отрезков AB и BD ($AD = AB + BD$).

Для начала найдем длины отрезков AB и CD, используя известные данные.

1. Найдем длину отрезка AB. Поскольку точка B находится между точками A и C, то справедливо равенство: $AC = AB + BC$.
Из условия мы знаем, что $AC = 8$ см и $BC = 3$ см.
Подставим эти значения в формулу: $8 = AB + 3$.
Выразим отсюда AB: $AB = 8 - 3 = 5$ см.

2. Найдем длину отрезка CD. Поскольку точка C находится между точками B и D, то справедливо равенство: $BD = BC + CD$.
Из условия мы знаем, что $BD = 6$ см и $BC = 3$ см.
Подставим эти значения в формулу: $6 = 3 + CD$.
Выразим отсюда CD: $CD = 6 - 3 = 3$ см.

3. Теперь, зная длины всех промежуточных отрезков, мы можем найти длину отрезка AD. Сложим длины отрезков AB, BC и CD: $AD = AB + BC + CD$.
$AD = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 11$ см.

Также можно выполнить проверку, используя другой способ расчета: $AD = AC + CD$.
$AD = 8 \text{ см} + 3 \text{ см} = 11$ см.
Результат совпадает, следовательно, вычисления верны.

Ответ: 11 см.

10. Точка $P$ лежит между точками $M$ и $F$, точки $E$ и $N$ – середины отрезков $MP$ и $PF$ соответственно. Найдите длину отрезка $MF$, если $EN = 4,7$ см.

10. Точка $P$ лежит между точками $M$ и $F$, точки $E$ и $N$ — середины отрезков $MP$ и $PF$ соответственно. Найдите длину отрезка $MF$, если $EN = 4,7$ см.

По условию задачи точка $P$ лежит между точками $M$ и $F$. Это означает, что отрезок $MF$ состоит из двух отрезков $MP$ и $PF$, и его длина равна их сумме:
$MF = MP + PF$

Точка $E$ является серединой отрезка $MP$. По определению середины отрезка, она делит его на две равные части. Следовательно, длина отрезка $EP$ равна половине длины отрезка $MP$:
$EP = \frac{1}{2}MP$

Аналогично, точка $N$ является серединой отрезка $PF$. Следовательно, длина отрезка $PN$ равна половине длины отрезка $PF$:
$PN = \frac{1}{2}PF$

Отрезок $EN$ состоит из отрезков $EP$ и $PN$. Его длина равна сумме длин этих отрезков:
$EN = EP + PN$

Теперь подставим выражения для $EP$ и $PN$ в эту формулу:
$EN = \frac{1}{2}MP + \frac{1}{2}PF$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$EN = \frac{1}{2}(MP + PF)$

Как мы установили вначале, сумма $MP + PF$ равна длине всего отрезка $MF$. Заменим выражение в скобках на $MF$:
$EN = \frac{1}{2}MF$

Из этого соотношения мы можем выразить длину искомого отрезка $MF$:
$MF = 2 \cdot EN$

По условию $EN = 4,7$ см. Подставим это значение в полученную формулу и вычислим длину $MF$:
$MF = 2 \cdot 4,7 = 9,4$ см.

Ответ: 9,4 см.

11. Отрезок длиной 10 см разделили на четыре отрезка. Расстояние между серединами средних отрезков равно 3 см. Найдите расстояние между серединами крайних отрезков.

11. Отрезок длиной 10 см разделили на четыре отрезка. Расстояние между серединами средних отрезков равно 3 см. Найдите расстояние между серединами крайних отрезков.

Пусть длины четырех отрезков, на которые разделили исходный отрезок, равны $l_1$, $l_2$, $l_3$ и $l_4$. Они расположены последовательно, поэтому их общая длина равна длине исходного отрезка:

$l_1 + l_2 + l_3 + l_4 = 10$ см.

Крайними отрезками являются $l_1$ и $l_4$, а средними — $l_2$ и $l_3$.

Расстояние между серединами двух соседних отрезков равно сумме половин их длин. По условию, расстояние между серединами средних отрезков ($l_2$ и $l_3$) равно 3 см. Это можно записать в виде формулы:

$\frac{l_2}{2} + \frac{l_3}{2} = 3$

Отсюда найдем сумму длин средних отрезков:

$l_2 + l_3 = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Теперь мы можем найти сумму длин крайних отрезков, используя общую длину:

$l_1 + l_4 = (l_1 + l_2 + l_3 + l_4) - (l_2 + l_3) = 10 - 6 = 4$ см.

Нам нужно найти расстояние между серединами крайних отрезков ($l_1$ и $l_4$). Это расстояние равно сумме половины длины первого отрезка, длин двух средних отрезков и половины длины четвертого отрезка:

Искомое расстояние = $\frac{l_1}{2} + l_2 + l_3 + \frac{l_4}{2}$

Сгруппируем слагаемые:

$(\frac{l_1}{2} + \frac{l_4}{2}) + (l_2 + l_3) = \frac{l_1 + l_4}{2} + (l_2 + l_3)$

Подставим найденные нами значения ($l_1 + l_4 = 4$ и $l_2 + l_3 = 6$):

$\frac{4}{2} + 6 = 2 + 6 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

12. На прямой последовательно отметили точки A, B, C, D и E так, что $AC = BD$ и $BC = DE$. Найдите $CE$, если $AC = 7 \text{ см}$.

12. На прямой последовательно отметили точки $A, B, C, D$ и $E$ так, что $AC = BD$ и $BC = DE$. Найдите $CE$, если $AC = 7 \text{ см}$.

Согласно условию, точки A, B, C, D, E расположены на одной прямой в указанном порядке. Нам нужно найти длину отрезка CE.

Длина отрезка CE складывается из длин отрезков CD и DE: $CE = CD + DE$.

Из условия задачи известно, что $BC = DE$. Мы можем подставить BC вместо DE в предыдущее равенство: $CE = CD + BC$.

Рассмотрим отрезок BD. Так как точки B, C, D лежат последовательно на прямой, его длина равна сумме длин отрезков BC и CD: $BD = BC + CD$.

Сравнивая выражения для CE и BD, мы видим, что они равны: $CE = CD + BC = BD$.

Также по условию нам дано, что $AC = BD$. А поскольку $AC = 7$ см, то и $BD = 7$ см.

Так как $CE = BD$, то длина отрезка CE также равна 7 см.

Ответ: 7 см.

13. Начертите прямую и отметьте на ней точки $M$ и $N$ так, чтобы длина отрезка $MN$ была равной 7 см. Отметьте на прямой $MN$ такую точку $P$, что $MP - PN = 3$ см.

13. Начертите прямую и отметьте на ней точки $M$ и $N$ так, чтобы длина отрезка $MN$ была равной 7 см. Отметьте на прямой $MN$ такую точку $P$, что $MP - PN = 3$ см.

По условию задачи, на прямой отмечены точки M и N так, что длина отрезка $MN = 7$ см. Необходимо найти на этой прямой такую точку P, для которой выполняется равенство $MP - PN = 3$ см, где MP и PN – длины соответствующих отрезков.

Для точки P на прямой MN возможны три варианта расположения относительно отрезка MN: P лежит между M и N; P лежит на продолжении отрезка за точкой N; P лежит на продолжении отрезка за точкой M.

Рассмотрим случай, когда точка P лежит на отрезке MN. В этом случае, сумма длин отрезков MP и PN равна длине всего отрезка: $MP + PN = MN = 7$ см. Вместе с условием из задачи $MP - PN = 3$ см, мы получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} MP + PN = 7 \\ MP - PN = 3 \end{cases}$

Сложив оба уравнения, получим: $(MP + PN) + (MP - PN) = 7 + 3$, что упрощается до $2 \cdot MP = 10$. Отсюда находим, что $MP = 5$ см. Подставив это значение в первое уравнение, получим $5 + PN = 7$, откуда $PN = 2$ см. Это решение непротиворечиво, так как $5 + 2 = 7$, и точка P находится между M и N.

Рассмотрим случаи, когда точка P лежит вне отрезка MN.

1. Если P лежит на прямой за точкой N (порядок точек M-N-P), то $MP = MN + PN = 7 + PN$. Подставив это в условие $MP - PN = 3$, получим $(7 + PN) - PN = 3$, или $7 = 3$, что является противоречием. Следовательно, такое расположение невозможно.

2. Если P лежит на прямой за точкой M (порядок точек P-M-N), то $PN = PM + MN = MP + 7$. Подставив это в условие $MP - PN = 3$, получим $MP - (MP + 7) = 3$, или $-7 = 3$, что также является противоречием. Такое расположение тоже невозможно.

Таким образом, существует только одно положение для точки P: она должна находиться на отрезке MN. Для ее построения необходимо начертить прямую, отметить на ней точку M, отложить от нее 7 см и отметить точку N. Затем от точки M в сторону точки N отложить 5 см и отметить искомую точку P.

Ответ: Точка P расположена на отрезке MN на расстоянии 5 см от точки M и 2 см от точки N.