Страница 7 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Запишите все углы, изображённые на рисунке 8.

Рис. 8

а

$\angle EFM$

б

$\angle AOC$

$\angle COB$

$\angle AOD$

$\angle DOB$

$\angle COD$

$\angle AOB$

21. Запишите все углы, изображённые на рисунке 8.

Рис. 8

а) $ \angle EFM $

$ \angle EFT $

$ \angle MFT $

б) $ \angle AOC $

$ \angle AOD $

$ \angle BOC $

$ \angle BOD $

$ \angle COD $

$ \angle AOB $

а На рисунке "а" изображены три луча (FE, FM, FT), выходящие из общей вершины F. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Перечислим все возможные комбинации пар лучей, образующих углы:
1. Лучи FE и FM образуют угол $\angle EFM$ (или $\angle MFE$).
2. Лучи FM и FT образуют угол $\angle MFT$ (или $\angle TFM$).
3. Лучи FE и FT образуют угол $\angle EFT$ (или $\angle TFE$). Этот угол состоит из двух предыдущих углов.
Таким образом, на рисунке изображено 3 угла.
Ответ: $\angle EFM$, $\angle MFT$, $\angle EFT$.

б На рисунке "б" изображены четыре луча (OA, OC, OD, OB), выходящие из общей вершины O. Лучи OA и OB являются противоположными, то есть лежат на одной прямой и образуют развернутый угол. Перечислим все углы, образованные этими лучами:
1. Угол, образованный лучами OA и OC: $\angle AOC$.
2. Угол, образованный лучами OC и OD: $\angle COD$.
3. Угол, образованный лучами OD и OB: $\angle DOB$ (или $\angle BOD$).
Кроме этих трех углов, можно выделить углы, которые являются их комбинациями, а также развернутый угол:
4. Угол, образованный лучами OA и OD: $\angle AOD$. Он состоит из углов $\angle AOC$ и $\angle COD$.
5. Угол, образованный лучами OC и OB: $\angle COB$. Он состоит из углов $\angle COD$ и $\angle DOB$.
6. Развернутый угол, образованный лучами OA и OB: $\angle AOB$.
Таким образом, на рисунке изображено 6 углов.
Ответ: $\angle AOC$, $\angle COD$, $\angle DOB$, $\angle AOD$, $\angle COB$, $\angle AOB$.

22. Начертите угол $MOF$ и проведите лучи $OK$ и $OP$ между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.

22. Начертите угол $\angle MOF$ и проведите лучи $OK$ и $OP$ между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.

1. Сначала начертим угол $MOF$. Это угол с вершиной в точке $O$ и сторонами, которые являются лучами $OM$ и $OF$.

2. Затем проведем лучи $OK$ и $OP$ из вершины $O$ так, чтобы они располагались между сторонами $OM$ и $OF$. В результате мы получаем четыре луча, исходящих из одной точки: $OM$, $OK$, $OP$ и $OF$. Предположим для определенности, что они идут в таком порядке: $OM, OK, OP, OF$.

3. Теперь нужно записать все углы, образованные этими лучами. Угол образуется парой лучей, выходящих из одной вершины. Систематически перечислим все возможные пары лучей и соответствующие им углы:

• Лучи $OM$ и $OK$ образуют угол $\angle MOK$.
• Лучи $OM$ и $OP$ образуют угол $\angle MOP$.
• Лучи $OM$ и $OF$ образуют угол $\angle MOF$.
• Лучи $OK$ и $OP$ образуют угол $\angle KOP$.
• Лучи $OK$ и $OF$ образуют угол $\angle KOF$.
• Лучи $OP$ и $OF$ образуют угол $\angle POF$.

Таким образом, всего образовалось 6 различных углов.

Ответ: $\angle MOK$, $\angle MOP$, $\angle MOF$, $\angle KOP$, $\angle KOF$, $\angle POF$.

23. Пользуясь транспортиром, найдите градусные меры углов, изображённых на рисунке 9. Укажите вид каждого угла.

Рис. 9

$ \angle MOE $$ \angle NPK $$ \angle QFR $$ \angle LTA $$ \angle ABC $

23. Пользуясь транспортиром, найдите градусные меры углов, изображённых на рисунке 9. Укажите вид каждого угла.

Рис. 9

Угол $\angle MOE$

Угол $\angle NPK$

Угол $\angle QFR$

Угол $\angle LTB$

Угол $\angle ACD$

Для определения градусной меры и вида каждого угла воспользуемся транспортиром. Поочередно измерим каждый угол.

Угол MOE. Совместим центр транспортира с вершиной угла $O$, а одну из сторон, например $OM$, с нулевой отметкой шкалы. Другая сторона $OE$ покажет величину угла. Измерение показывает, что $∠MOE = 65°$. Так как градусная мера угла больше $0°$, но меньше $90°$ ($0° < 65° < 90°$), то этот угол является острым.
Ответ: $∠MOE = 65°$, острый.

Угол KPN. Совместим центр транспортира с вершиной $P$, а сторону $PK$ — с нулевой отметкой. Сторона $PN$ пересечет шкалу транспортира на отметке $135°$. Так как $90° < 135° < 180°$, то угол $∠KPN$ является тупым.
Ответ: $∠KPN = 135°$, тупой.

Угол QFR. Измерим угол с вершиной в точке $F$. Градусная мера угла $∠QFR$ составляет $30°$. Поскольку $0° < 30° < 90°$, этот угол — острый.
Ответ: $∠QFR = 30°$, острый.

Угол ALT. Проведем измерение угла $∠ALT$ с вершиной в точке $L$. Его градусная мера равна $110°$. Так как $90° < 110° < 180°$, то угол $∠ALT$ является тупым.
Ответ: $∠ALT = 110°$, тупой.

Угол BCD. Измерим угол $∠BCD$ с вершиной в точке $C$. Его градусная мера составляет $120°$. Поскольку $90° < 120° < 180°$, данный угол является тупым.
Ответ: $∠BCD = 120°$, тупой.

24. Начертите угол, градусная мера которого равна:

1) $73^\circ$;

2) $91^\circ$;

3) $90^\circ$;

4) $152^\circ$.

Укажите вид каждого угла.

24. Начертите угол, градусная мера которого равна:

1) $73^\circ$;

2) $91^\circ$;

3) $90^\circ$;

4) $152^\circ$.

Укажите вид каждого угла.

Для построения углов используется транспортир. Сначала чертится луч, который будет одной из сторон угла. Затем центр транспортира совмещается с начальной точкой луча (вершиной будущего угла), а нулевая отметка на шкале транспортира — с самим лучом. После этого на шкале находится нужное градусное значение, ставится точка, и через эту точку и вершину угла проводится второй луч.

Виды углов определяются по их градусной мере:

• Острый угол: от $0^\circ$ до $90^\circ$ (не включая $0^\circ$ и $90^\circ$).
• Прямой угол: ровно $90^\circ$.
• Тупой угол: от $90^\circ$ до $180^\circ$ (не включая $90^\circ$ и $180^\circ$).
• Развернутый угол: ровно $180^\circ$.

1) 73°

Градусная мера угла равна $73^\circ$.
Так как значение угла находится в промежутке $0^\circ < 73^\circ < 90^\circ$, то этот угол является острым.
Ответ: острый угол.

2) 91°

Градусная мера угла равна $91^\circ$.
Так как значение угла находится в промежутке $90^\circ < 91^\circ < 180^\circ$, то этот угол является тупым.
Ответ: тупой угол.

3) 90°

Градусная мера угла равна $90^\circ$.
Угол, градусная мера которого равна $90^\circ$, называется прямым.
Ответ: прямой угол.

4) 152°

Градусная мера угла равна $152^\circ$.
Так как значение угла находится в промежутке $90^\circ < 152^\circ < 180^\circ$, то этот угол является тупым.
Ответ: тупой угол.

25. Начертите угол $AOB$, равный $54^\circ$. Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису.

25. Начертите угол $AOB$, равный $54^\circ$. Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису.

Для выполнения этого задания необходимо последовательно выполнить два построения с помощью линейки и транспортира.

1. Начертите угол AOB, равный 54°
a. С помощью линейки проведите на бумаге произвольный луч с началом в точке О. Обозначьте на луче точку А. Это будет одна из сторон угла — ОА.
b. Приложите транспортир к лучу ОА так, чтобы центр транспортира совпал с точкой О (вершиной угла), а его прямое основание прошло точно по лучу ОА.
c. Найдите на шкале транспортира отметку 54°. Важно использовать ту шкалу (внешнюю или внутреннюю), которая начинается с 0° на луче ОА.
d. Поставьте карандашом точку напротив отметки 54°. Назовем эту точку В.
e. Уберите транспортир и с помощью линейки соедините точку О и точку В, проведя луч ОВ.
В результате вы получите угол АОВ, градусная мера которого равна 54°.

2. Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису
Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Чтобы провести биссектрису угла АОВ, нужно сначала вычислить, какую градусную меру будет иметь каждый из этих двух равных углов.
$ 54^\circ \div 2 = 27^\circ $
Следовательно, биссектриса разделит угол АОВ на два угла по 27° каждый. Теперь построим ее:
a. Снова приложите транспортир к углу АОВ так, чтобы его центр был в точке О, а основание совпадало с лучом ОА.
b. Найдите на той же шкале транспортира отметку 27°.
c. Поставьте точку напротив этой отметки. Назовем эту точку С.
d. Проведите луч ОС из вершины О через точку С.
Полученный луч ОС является биссектрисой угла АОВ, так как он делит его на два равных угла: $ \angle AOC = \angle COB = 27^\circ $.

Ответ: Чтобы провести биссектрису угла в 54° с помощью транспортира, нужно разделить его градусную меру пополам ($54^\circ \div 2 = 27^\circ$), а затем отложить от одной из сторон угла (например, ОА) угол в 27° и провести луч из вершины.

26. Луч BD проходит между сторонами угла ABC. Найдите угол DBC, если $\angle ABC = 63^\circ$, $\angle ABD = 51^\circ$.

26. Луч BD проходит между сторонами угла ABC. Найдите угол DBC, если $\angle ABC = 63^{\circ}$, $\angle ABD = 51^{\circ}$.

По условию задачи, луч $BD$ проходит между сторонами угла $ABC$. Это означает, что угол $ABC$ складывается из двух углов: $∠ABD$ и $∠DBC$.

Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

$∠ABC = ∠ABD + ∠DBC$

Чтобы найти неизвестный угол $∠DBC$, нужно из величины всего угла $∠ABC$ вычесть величину известной его части $∠ABD$:

$∠DBC = ∠ABC - ∠ABD$

Подставим данные из условия задачи: $∠ABC = 63°$ и $∠ABD = 51°$.

$∠DBC = 63° - 51° = 12°$

Ответ: $12°$.

27. Луч $DA$ проходит между сторонами угла $EDN$, равного $112^\circ$. Найдите углы $EDA$ и $NDA$, если угол $EDA$ в 6 раз меньше угла $NDA$.

27. Луч DA проходит между сторонами угла EDN, равного $112^\circ$. Найдите углы EDA и NDA, если угол EDA в 6 раз меньше угла NDA.

По условию, луч $DA$ проходит между сторонами угла $EDN$. Это означает, что угол $EDN$ состоит из двух углов: $EDA$ и $NDA$. Следовательно, сумма этих углов равна углу $EDN$:

$\angle EDA + \angle NDA = \angle EDN$

Нам известно, что $\angle EDN = 112^\circ$, а угол $EDA$ в 6 раз меньше угла $NDA$.

Примем градусную меру угла $EDA$ за $x$. Тогда $\angle EDA = x$.

Поскольку угол $EDA$ в 6 раз меньше угла $NDA$, то угол $NDA$ в 6 раз больше угла $EDA$. Значит, градусная мера угла $NDA$ будет равна $6x$. Тогда $\angle NDA = 6x$.

Теперь мы можем составить уравнение, подставив выражения для углов в исходную формулу:

$x + 6x = 112^\circ$

Решим это уравнение:

$7x = 112^\circ$

$x = \frac{112}{7}$

$x = 16^\circ$

Таким образом, мы нашли градусную меру угла $EDA$:

$\angle EDA = x = 16^\circ$

Теперь найдем градусную меру угла $NDA$:

$\angle NDA = 6x = 6 \cdot 16^\circ = 96^\circ$

Проверим: $16^\circ + 96^\circ = 112^\circ$. Решение верное.

Ответ: $\angle EDA = 16^\circ$, $\angle NDA = 96^\circ$.

28. Прямой угол разделили на 3 угла, градусные меры которых относятся как $2 : 3 : 5$. Найдите величины этих углов.

28. Прямой угол разделили на 3 угла, градусные меры которых относятся как $2 : 3 : 5$. Найдите величины этих углов.

Прямой угол равен $90^\circ$. По условию задачи, его разделили на три угла, градусные меры которых относятся как $2:3:5$.

Пусть $x$ — это коэффициент пропорциональности, то есть градусная мера одной части. Тогда величины трех углов можно выразить как $2x$, $3x$ и $5x$.

Сумма этих трех углов должна быть равна величине прямого угла, то есть $90^\circ$. Составим уравнение:

$2x + 3x + 5x = 90$

Сложим все члены с $x$ в левой части уравнения:

$10x = 90$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 10:

$x = \frac{90}{10} = 9$

Зная коэффициент пропорциональности, найдем величину каждого угла:

Первый угол: $2x = 2 \cdot 9 = 18^\circ$
Второй угол: $3x = 3 \cdot 9 = 27^\circ$
Третий угол: $5x = 5 \cdot 9 = 45^\circ$

Для проверки можно сложить полученные углы: $18^\circ + 27^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $18^\circ, 27^\circ, 45^\circ$.