Страница 13 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. На рисунке 29 $AE = DC$, $\angle BDE = \angle BED$, $\angle A = \angle C$. Докажите, что $\angle ABD = \angle CBE$.

Рис. 29

66. На рисунке 29 $AE = DC$, $\angle BDE = \angle BED$, $\angle A = \angle C$. Докажите, что $\angle ABD = \angle CBE$.

Рис. 29

Для доказательства равенства углов $\angle ABD$ и $\angle CBE$ мы докажем, что треугольники, содержащие эти углы, а именно $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$, равны между собой.

1. Рассмотрим $\triangle BDE$. По условию задачи дано, что $\angle BDE = \angle BED$. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, треугольник $BDE$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $BD = BE$.

2. Рассмотрим больший треугольник $\triangle ABC$. По условию $\angle A = \angle C$. Это означает, что $\triangle ABC$ также является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив этих углов, равны: $AB = CB$.

3. Проанализируем отрезки на основании $AC$. По условию $AE = DC$. Отрезок $AE$ можно представить как сумму отрезков $AD$ и $DE$, то есть $AE = AD + DE$. Аналогично, отрезок $DC$ можно представить как $DC = DE + EC$. Так как $AE = DC$, то мы можем записать равенство: $AD + DE = DE + EC$. Вычитая из обеих частей этого равенства общий отрезок $DE$, получаем $AD = EC$.

4. Теперь сравним треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$. Мы установили равенство трёх пар их соответствующих сторон:

• $AB = CB$ (доказано в пункте 2).
• $BD = BE$ (доказано в пункте 1).
• $AD = EC$ (доказано в пункте 3).

Таким образом, $\triangle ABD = \triangle CBE$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle ABD$ в треугольнике $ABD$ лежит напротив стороны $AD$, а угол $\angle CBE$ в треугольнике $CBE$ лежит напротив стороны $EC$. Так как стороны $AD$ и $EC$ равны, то и противолежащие им углы также равны. Следовательно, $\angle ABD = \angle CBE$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $\angle ABD = \angle CBE$ доказано.

67. На рисунке 30 $AO = OC$, $BO = OD$. Докажите, что $\triangle AOE = \triangle COF$.

Рис. 30

67. На рисунке 30 $AO = OC$, $BO = OD$. Докажите, что $\triangle AOE = \triangle COF$.

Рис. 30

Для доказательства того, что $\triangle AOE = \triangle COF$, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Докажем, что $\triangle AOB = \triangle COD$

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$.

- $AO = OC$ (по условию задачи).
- $BO = OD$ (по условию задачи).
- $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOB = \triangle COD$.

2. Докажем, что $\triangle AOE = \triangle COF$

Из того, что $\triangle AOB = \triangle COD$, следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle OAB$ равен углу $\angle OCD$. Поскольку точки $E$ и $F$ лежат на прямых $AB$ и $CD$ соответственно, то можно записать это равенство как $\angle EAO = \angle FCO$.

Теперь рассмотрим треугольники $AOE$ и $COF$.

- $AO = OC$ (по условию задачи).
- $\angle EAO = \angle FCO$ (доказано в предыдущем пункте).
- $\angle AOE = \angle COF$ (как вертикальные углы).

Таким образом, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle AOE = \triangle COF$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle AOE$ и $\triangle COF$ доказано.

68. На рисунке 31 $BO = OD$, $AB = CD$, $\angle ABD = \angle BDC$. Докажите, что $\triangle MOD = \triangle KOB$.

Рис. 31

68. На рисунке 31 $BO = OD$, $AB = CD$, $\angle ABD = \angle BDC$. Докажите, что $\Delta MOD = \Delta KOB$.

Рис. 31

Для доказательства того, что $\Delta MOD = \Delta KOB$, необходимо последовательно доказать равенство нескольких пар треугольников.

1. Рассмотрим треугольники $\Delta ABD$ и $\Delta CDB$.
Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
- Сторона $AB$ равна стороне $CD$ ($AB = CD$).
- Угол $\angle ABD$ равен углу $\angle BDC$ ($\angle ABD = \angle BDC$).
- Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.
Таким образом, треугольник $\Delta ABD$ равен треугольнику $\Delta CDB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2. Найдем следствия из равенства $\Delta ABD$ и $\Delta CDB$.
Поскольку треугольники $\Delta ABD$ и $\Delta CDB$ равны, то равны и все их соответствующие элементы. В частности, равны углы, лежащие против равных сторон $AB$ и $CD$.
Следовательно, $\angle ADB = \angle CBD$.

3. Докажем равенство треугольников $\Delta MOD$ и $\Delta KOB$.
Теперь рассмотрим треугольники, равенство которых требуется доказать.
- Сторона $BO$ равна стороне $OD$ ($BO = OD$) по условию задачи.
- Угол $\angle KOB$ равен углу $\angle MOD$ ($\angle KOB = \angle MOD$), так как они являются вертикальными углами.
- Угол $\angle KBO$ равен углу $\angle MDO$ ($\angle KBO = \angle MDO$), так как это те же углы, что и $\angle CBD$ и $\angle ADB$, равенство которых мы установили в предыдущем пункте.
Таким образом, треугольник $\Delta MOD$ равен треугольнику $\Delta KOB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\Delta MOD$ и $\Delta KOB$ доказано.

69. На рисунке 32 $AB = BC$, $AD = CE$, $\angle BAD = \angle BCE$. Найдите длину отрезка $AE$, если $CD = 8 \text{ см}$.

Рис. 32

69. На рисунке 32 $AB = BC, AD = CE, \angle BAD = \angle BCE$. Найдите длину отрезка $AE$, если $CD = 8$ см.

Для нахождения длины отрезка $AE$ рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CBD$.

По условию задачи дано, что $AB = BC$. Точка $D$ лежит на отрезке $AB$, а точка $E$ — на отрезке $BC$. Это означает, что длины сторон $AB$ и $BC$ можно выразить через длины составляющих их отрезков:
$AB = AD + DB$
$BC = BE + EC$

Так как $AB = BC$, мы можем приравнять правые части этих выражений:
$AD + DB = BE + EC$

В условии также сказано, что $AD = CE$. Подставим это значение в полученное равенство:
$CE + DB = BE + CE$

Вычитая $CE$ из обеих частей уравнения, получаем, что $DB = BE$.

Теперь у нас есть достаточно данных для сравнения треугольников $\triangle ABE$ и $\triangle CBD$. Применим первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
1. $AB = CB$ (согласно условию).
2. $BE = BD$ (как было доказано выше).
3. Угол при вершине $B$, то есть $\angle ABC$, является общим для обоих треугольников. Следовательно, $\angle ABE = \angle CBD$.

На основании этих трех пунктов мы можем заключить, что треугольники равны: $\triangle ABE \cong \triangle CBD$.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. В $\triangle ABE$ сторона $AE$ лежит напротив угла $\angle ABE$. В $\triangle CBD$ сторона $CD$ лежит напротив угла $\angle CBD$. Поскольку углы $\angle ABE$ и $\angle CBD$ равны, то и противолежащие им стороны также равны: $AE = CD$.

По условию задачи нам известно, что $CD = 8$ см.

Таким образом, длина отрезка $AE$ также равна 8 см.

Ответ: 8 см.

70. Основание равнобедренного треугольника равно 9 см, а боковая сторона — 7 см. Найдите периметр треугольника.

70. Основание равнобедренного треугольника равно 9 см, а боковая сторона – 7 см. Найдите периметр треугольника.

По определению, равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

Из условия задачи мы знаем:
Длина основания = 9 см.
Длина боковой стороны = 7 см.

Поскольку у равнобедренного треугольника две боковые стороны имеют одинаковую длину, то длины сторон данного треугольника равны 9 см, 7 см и 7 см.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Чтобы найти периметр, сложим длины основания и двух боковых сторон:
$P = \text{основание} + \text{боковая сторона} + \text{боковая сторона}$
$P = 9 \text{ см} + 7 \text{ см} + 7 \text{ см}$

Выполним вычисление:
$P = 9 + 14 = 23 \text{ см}$

Ответ: 23 см.

71. Периметр равнобедренного треугольника равен 19 см, а основание — 7 см. Найдите боковую сторону треугольника.

71. Периметр равнобедренного треугольника равен 19 см, а основание — 7 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого основание равно $a$, а боковые стороны равны $b$.

По определению, равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, которые называются боковыми, и третью сторону — основание.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника формула периметра выглядит так:

$P = a + b + b = a + 2b$

Согласно условию задачи, нам известно:

Периметр $P = 19$ см.

Основание $a = 7$ см.

Подставим известные значения в формулу периметра, чтобы найти длину боковой стороны $b$:

$19 = 7 + 2b$

Чтобы найти сумму длин двух боковых сторон ($2b$), вычтем из периметра длину основания:

$2b = 19 - 7$

$2b = 12$

Так как боковые стороны равны, разделим их общую длину на 2:

$b = 12 / 2$

$b = 6$ см

Ответ: 6 см.

72. Периметр равнобедренного треугольника равен 58 см. Его основание является одной из сторон равностороннего треугольника, периметр которого равен 42 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника.

72. Периметр равнобедренного треугольника равен 58 см. Его основание является одной из сторон равностороннего треугольника, периметр которого равен 42 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти сторону равностороннего треугольника.
Равносторонний треугольник имеет три одинаковые стороны. Его периметр $P_{равн.}$ равен сумме длин этих трех сторон. Пусть длина одной стороны равна $a$.
Формула периметра: $P_{равн.} = 3 \cdot a$.
По условию, $P_{равн.} = 42$ см.
Найдем сторону $a$:
$a = P_{равн.} / 3 = 42 / 3 = 14$ см.

2. Найти основание равнобедренного треугольника.
В условии сказано, что основание равнобедренного треугольника является одной из сторон равностороннего треугольника. Следовательно, длина основания равнобедренного треугольника, обозначим ее $b$, равна 14 см.
$b = 14$ см.

3. Найти боковые стороны равнобедренного треугольника.
Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны (обозначим их длину как $c$) и основание $b$. Его периметр $P_{равноб.}$ вычисляется по формуле:
$P_{равноб.} = b + 2 \cdot c$.
По условию, $P_{равноб.} = 58$ см. Мы уже знаем, что $b = 14$ см. Подставим известные значения в формулу:
$58 = 14 + 2 \cdot c$
Теперь решим это уравнение, чтобы найти $c$:
$2c = 58 - 14$
$2c = 44$
$c = 44 / 2$
$c = 22$ см.

Таким образом, стороны равнобедренного треугольника: основание равно 14 см, а каждая из двух боковых сторон равна 22 см.

Ответ: стороны равнобедренного треугольника равны 14 см, 22 см и 22 см.

73. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 28 см, а основание на 8 см меньше боковой стороны.

73. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 28 см, а основание на 8 см меньше боковой стороны.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x$ см. Поскольку треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны равны, значит, их длины составляют по $x$ см.

Согласно условию задачи, основание на 8 см меньше боковой стороны. Следовательно, длина основания равна $(x - 8)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 28 см. Составим уравнение, приравняв сумму сторон к периметру:

$x + x + (x - 8) = 28$

Решим полученное уравнение:

$2x + x - 8 = 28$

$3x - 8 = 28$

$3x = 28 + 8$

$3x = 36$

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Таким образом, мы нашли длину боковой стороны — она равна 12 см.

Теперь найдем длину основания, подставив значение $x$:

$x - 8 = 12 - 8 = 4$ см.

Итак, стороны треугольника равны 12 см, 12 см и 4 см.

Проверим: периметр $P = 12 + 12 + 4 = 28$ см. Условие выполняется.

Ответ: две стороны по 12 см и одна сторона 4 см.