Страница 24 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. На рисунке 60 точка O — центр окружности, $ \angle ABC = 32^\circ $. Найдите $ \angle AOC $.

153. На рисунке 60 точка O — центр окружности, $\angle ABC = 32^\circ$. Найдите $\angle AOC$.

Рис. 60

По условию задачи, точка $O$ — центр окружности. Угол $ \angle ABC $ является вписанным углом, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Величина вписанного угла $ \angle ABC $ равна $32^\circ$.

Угол $ \angle AOC $, который необходимо найти, является центральным углом, так как его вершина находится в центре окружности $O$.

И вписанный угол $ \angle ABC $, и центральный угол $ \angle AOC $ опираются на одну и ту же дугу $AC$.

Согласно свойству углов в окружности, градусная мера центрального угла в два раза больше градусной меры вписанного угла, если они опираются на одну и ту же дугу.

Математически это можно выразить следующей формулой:

$ \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC $

Подставим в эту формулу известное значение угла $ \angle ABC $:

$ \angle AOC = 2 \cdot 32^\circ $

Выполним умножение:

$ \angle AOC = 64^\circ $

Ответ: $64^\circ$.

154. В окружности с центром $O$ проведены диаметр $AB$ и хорда $AC$. Найдите $\angle ABC$, если $\angle ACO = 52^\circ$.

154. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Найдите $\angle ABC$, если $\angle ACO = 52^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOC$. Так как $O$ — центр окружности, а точки $A$ и $C$ лежат на окружности, отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами. Следовательно, $OA = OC$.

Это означает, что треугольник $AOC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OAC = \angle ACO$.

Из условия задачи известно, что $\angle ACO = 52^\circ$, значит, и $\angle OAC = 52^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $\angle ACB$ вписан в окружность и опирается на диаметр $AB$. По свойству, вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle ACB = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$:

$\angle BAC + \angle ABC = 90^\circ$

Угол $\angle BAC$ совпадает с углом $\angle OAC$, поэтому $\angle BAC = 52^\circ$.

Подставим известное значение в уравнение:

$52^\circ + \angle ABC = 90^\circ$

Выразим искомый угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$.

Ответ: $38^\circ$.

155. На рисунке 61 хорда CD пересекает диаметр AB в точке K, $\angle DEK = \angle CFK = 90^{\circ}$, $\angle DKA = 60^{\circ}$, $EF = 10$ см. Найдите хорду CD.

Рис. 61

155. На рисунке 61 хорда CD пересекает диаметр AB в точке K, $\angle DEK = \angle CFK = 90^\circ$, $\angle DKA = 60^\circ$, $EF = 10$ см. Найдите хорду CD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta DEK$. Он является прямоугольным, так как по условию $\angle DEK = 90^\circ$. Угол $\angle DKE$ совпадает с углом $\angle DKA$, так как точки E, K, A лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle DKE = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла. Для $\Delta DEK$ катет $EK$ прилежит к углу $\angle DKE$, а гипотенузой является $DK$. Таким образом:

$EK = DK \cdot \cos(\angle DKE) = DK \cdot \cos(60^\circ)$

Зная, что значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$EK = \frac{1}{2} DK$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta CFK$. Он является прямоугольным, так как по условию $\angle CFK = 90^\circ$. Углы $\angle CKF$ и $\angle DKA$ являются вертикальными, а значит, они равны:

$\angle CKF = \angle DKA = 60^\circ$

Аналогично для $\Delta CFK$ найдем катет $FK$, который прилежит к углу $\angle CKF$. Гипотенузой является $CK$.

$FK = CK \cdot \cos(\angle CKF) = CK \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$FK = \frac{1}{2} CK$

Из рисунка видно, что длина отрезка $EF$ равна сумме длин отрезков $EK$ и $FK$:

$EF = EK + FK$

Подставим найденные выражения для $EK$ и $FK$ в это равенство:

$EF = \frac{1}{2} DK + \frac{1}{2} CK = \frac{1}{2} (DK + CK)$

Точка $K$ является точкой пересечения хорды $CD$ и диаметра $AB$, следовательно, она лежит на хорде $CD$. Длина хорды $CD$ равна сумме длин ее частей $DK$ и $CK$:

$CD = DK + CK$

Теперь подставим это выражение в формулу для $EF$:

$EF = \frac{1}{2} CD$

По условию задачи дано, что $EF = 10$ см. Используем это для нахождения длины хорды $CD$:

$10 = \frac{1}{2} CD$

Умножив обе части уравнения на 2, получим:

$CD = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

156. Дан отрезок $AB$ длиной 3 см. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $A$ и $B$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой $AB$.

156. Дан отрезок $AB$ длиной 3 см. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $A$ и $B$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой $AB$.

Для решения задачи необходимо найти пересечение двух геометрических мест точек (ГМТ).

1. Первое ГМТ — это множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка, то есть от точек A и B. Таким ГМТ является серединный перпендикуляр к отрезку AB. Обозначим эту прямую как $m$. Каждая точка на прямой $m$ находится на одинаковом расстоянии от A и B.

2. Второе ГМТ — это множество всех точек, находящихся на расстоянии 2 см от прямой AB. Таким ГМТ являются две прямые, параллельные прямой AB и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии 2 см каждая. Обозначим эти прямые как $p_1$ и $p_2$.

Искомое ГМТ — это точки, которые принадлежат обоим множествам одновременно, то есть являются пересечением первого и второго ГМТ. Нам нужно найти точки пересечения прямой $m$ с парой прямых $p_1$ и $p_2$.

По определению, серединный перпендикуляр $m$ к отрезку AB перпендикулярен прямой, содержащей этот отрезок. Прямые $p_1$ и $p_2$, в свою очередь, параллельны прямой AB. Следовательно, прямая $m$ перпендикулярна и прямым $p_1$, и $p_2$.

Так как прямая $m$ не параллельна прямым $p_1$ и $p_2$, она пересекает каждую из них ровно в одной точке. Точка пересечения прямой $m$ с прямой $p_1$ и точка пересечения прямой $m$ с прямой $p_2$ будут удовлетворять обоим условиям задачи.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из двух точек.

Ответ: Искомое ГМТ — это две точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку AB и удаленные от прямой AB на расстояние 2 см.

157. На одной из сторон острого угла отмечены точки $A$ и $B$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $A$ и $B$ и находящихся на расстоянии $1,5$ см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

157. На одной из сторон острого угла отмечены точки $A$ и $B$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $A$ и $B$ и находящихся на расстоянии 1,5 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

Искомое геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих одновременно двум заданным условиям. Рассмотрим каждое условие отдельно.

1. Первое условие: точки должны быть равноудалены от точек $A$ и $B$. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Обозначим эту прямую как $m$. Прямая $m$ перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину.

2. Второе условие: точки должны находиться на расстоянии 1,5 см от прямой, содержащей вторую сторону угла. Пусть прямая $l$ содержит вторую сторону угла. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии (в данном случае 1,5 см) от некоторой прямой, представляет собой две прямые, параллельные данной прямой и расположенные по разные стороны от неё на этом расстоянии. Обозначим эти две параллельные прямые как $p_1$ и $p_2$.

Искомое ГМТ является пересечением множеств точек, найденных для каждого из условий. То есть, мы ищем точки пересечения прямой $m$ с парой прямых $p_1$ и $p_2$.

Проанализируем взаимное расположение этих прямых. Пусть первая сторона угла, на которой лежат точки $A$ и $B$, находится на прямой $k$. Тогда, по определению, серединный перпендикуляр $m$ перпендикулярен прямой $k$ ($m \perp k$). Прямые $p_1$ и $p_2$ по построению параллельны прямой $l$, содержащей вторую сторону угла ($p_1 \parallel l$ и $p_2 \parallel l$).

В условии сказано, что угол — острый. Это означает, что прямые $k$ и $l$ пересекаются под углом, не равным $90^\circ$. Поскольку $m \perp k$, а $k$ не перпендикулярна $l$, то прямая $m$ не может быть параллельна прямой $l$. Так как прямые $p_1$ и $p_2$ параллельны $l$, то прямая $m$ также не параллельна ни прямой $p_1$, ни прямой $p_2$.

Две непараллельные прямые на плоскости всегда пересекаются в одной-единственной точке. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $p_1$ ровно в одной точке и прямую $p_2$ также ровно в одной точке.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из двух точек.

Ответ: искомое геометрическое место точек состоит из двух точек, которые являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AB$ и двух прямых, параллельных второй стороне угла и удаленных от неё на 1,5 см.

158. Найдите ГМТ, расстояние от которых до центра данной окружности в 2 раза меньше её радиуса.

158. Найдите ГМТ, расстояние от которых до центра данной окружности в 2 раза меньше её радиуса.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), которые обозначим буквой $M$. Согласно условию задачи, расстояние от любой такой точки $M$ до центра $O$ должно быть в 2 раза меньше радиуса $R$ данной окружности.
Это условие можно записать в виде формулы: $|OM| = \frac{R}{2}$.
По определению, геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра), есть окружность. В нашем случае все искомые точки $M$ находятся на одинаковом расстоянии $r = \frac{R}{2}$ от центра $O$.
Следовательно, искомое ГМТ является окружностью с тем же центром $O$, что и у данной окружности, и с радиусом $r$, равным половине радиуса данной окружности ($r = \frac{R}{2}$). Такая окружность называется концентрической по отношению к данной.
Ответ: окружность, концентрическая данной, радиус которой в 2 раза меньше радиуса данной окружности.

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихся на расстоянии 1 см от прямой $a$ и 2 см от прямой $b$.

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихся на расстоянии 1 см от прямой $a$ и 2 см от прямой $b$.

Геометрическое место точек (ГМТ), находящихся на заданном расстоянии $d$ от некоторой прямой, представляет собой две прямые, параллельные данной, находящиеся по разные стороны от нее на расстоянии $d$.

В данной задаче искомые точки должны удовлетворять двум условиям одновременно:

1. Находиться на расстоянии 1 см от прямой $a$.
2. Находиться на расстоянии 2 см от прямой $b$.

ГМТ, удовлетворяющих первому условию, — это пара прямых, назовем их $a_1$ и $a_2$, которые параллельны прямой $a$ и расположены на расстоянии 1 см от нее с обеих сторон.

ГМТ, удовлетворяющих второму условию, — это пара прямых, назовем их $b_1$ и $b_2$, которые параллельны прямой $b$ и расположены на расстоянии 2 см от нее с обеих сторон.

Искомое ГМТ является пересечением этих двух множеств прямых. Так как исходные прямые $a$ и $b$ пересекаются, то любая прямая, параллельная $a$ (то есть $a_1$ или $a_2$), будет пересекать любую прямую, параллельную $b$ (то есть $b_1$ или $b_2$).

Следовательно, мы получим $2 \times 2 = 4$ точки пересечения:

• Точка пересечения прямых $a_1$ и $b_1$.
• Точка пересечения прямых $a_1$ и $b_2$.
• Точка пересечения прямых $a_2$ и $b_1$.
• Точка пересечения прямых $a_2$ и $b_2$.

Эти четыре точки являются вершинами параллелограмма, так как они лежат на пересечении двух пар параллельных прямых ($a_1 \parallel a_2$ и $b_1 \parallel b_2$). Центр симметрии этого параллелограмма совпадает с точкой пересечения прямых $a$ и $b$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это четыре точки, которые являются вершинами некоторого параллелограмма.

160. Даны точки $A$ и $B$. Найдите ГМТ вершин $C$ треугольников $ABC$ таких, что медиана $CM$ равна 2 см.

160.Даны точки $A$ и $B$. Найдите ГМТ вершин $C$ треугольников $ABC$ таких, что медиана $CM$ равна 2 см.

По условию задачи даны две фиксированные точки $A$ и $B$. Необходимо найти геометрическое место точек (ГМТ) вершин $C$ для всех возможных треугольников $ABC$, у которых медиана $CM$ равна 2 см.

Медиана $CM$ треугольника $ABC$ — это отрезок, соединяющий вершину $C$ с серединой противолежащей стороны $AB$. Обозначим середину отрезка $AB$ буквой $M$.

Так как точки $A$ и $B$ являются фиксированными, то и отрезок $AB$, соединяющий их, также занимает фиксированное положение в пространстве. Следовательно, его середина — точка $M$ — также является фиксированной точкой.

Условие задачи гласит, что длина медианы $CM$ постоянна и равна 2 см. Это означает, что расстояние от искомой точки $C$ до фиксированной точки $M$ всегда равно 2 см, то есть $|CM| = 2$ см.

По определению, геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии (радиусе) от одной фиксированной точки (центра), является окружностью.

В данном случае, точка $C$ всегда находится на расстоянии 2 см от фиксированной точки $M$. Таким образом, искомое ГМТ является окружностью с центром в точке $M$ (середина отрезка $AB$) и радиусом $R = 2$ см.

Важно учесть, что точки $A$, $B$ и $C$ должны образовывать треугольник. Это возможно только в том случае, если они не лежат на одной прямой. Если точка $C$ будет лежать на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, то треугольник "вырождается" в отрезок. Прямая $AB$ проходит через центр $M$ найденной окружности. Следовательно, необходимо исключить из нашего ГМТ точки пересечения окружности с прямой $AB$. Таких точек будет две (если $A \neq B$).

Ответ: Искомое геометрическое место точек вершин $C$ — это окружность с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом 2 см, за исключением двух точек, принадлежащих прямой $AB$.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 4 см.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 4 см.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, расстояние между которыми равно $h = 2$ см. Пусть $M$ — произвольная точка на плоскости. Обозначим расстояние от точки $M$ до прямой $l_1$ как $d_1$, а расстояние до прямой $l_2$ как $d_2$. По условию задачи, мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), для которых выполняется равенство $d_1 + d_2 = 4$ см.

Рассмотрим возможные положения точки $M$ относительно данных прямых.

Если точка $M$ лежит в полосе между прямыми $l_1$ и $l_2$, то сумма расстояний от нее до этих прямых всегда равна расстоянию между самими прямыми: $d_1 + d_2 = h = 2$ см. Так как $2 \neq 4$, в полосе между данными прямыми искомых точек нет.

Если точка $M$ лежит вне полосы, образованной прямыми $l_1$ и $l_2$, то возможны два варианта.
1. Точка $M$ находится по ту сторону от прямой $l_1$, где не лежит прямая $l_2$. Тогда расстояние до дальней прямой $l_2$ выражается через расстояние до ближней прямой $l_1$ как $d_2 = d_1 + h = d_1 + 2$. Подставим это выражение в заданное условие:
$d_1 + (d_1 + 2) = 4$
$2d_1 + 2 = 4$
$2d_1 = 2$
$d_1 = 1$ см.
Следовательно, все точки в этом случае образуют прямую, параллельную прямой $l_1$ и находящуюся на расстоянии 1 см от нее с внешней стороны полосы.

2. Точка $M$ находится по ту сторону от прямой $l_2$, где не лежит прямая $l_1$. Аналогично, расстояние до дальней прямой $l_1$ равно $d_1 = d_2 + h = d_2 + 2$. Подставляя в условие, получим:
$(d_2 + 2) + d_2 = 4$
$2d_2 = 2$
$d_2 = 1$ см.
Эти точки также образуют прямую, параллельную прямой $l_2$ и находящуюся на расстоянии 1 см от нее с внешней стороны полосы.

Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух прямых.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две прямые, параллельные данным. Каждая из этих прямых расположена на расстоянии 1 см от ближайшей к ней из данных прямых, с внешней стороны от полосы, образованной данными прямыми.