Страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $K$. Найдите $BK$, если $AC = 6 \text{ см}$, а периметр треугольника $ABC$ равен $16 \text{ см}$.

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $K$. Найдите $BK$, если $AC = 6$ см, а периметр треугольника $ABC$ равен $16$ см.

Для решения задачи воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной вершины. Согласно этому свойству, длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $K$ и $N$ соответственно. Тогда справедливы следующие равенства:

• $AM = AN$ (касательные из вершины A)
• $BM = BK$ (касательные из вершины B)
• $CK = CN$ (касательные из вершины C)

Периметр треугольника $P_{ABC}$ — это сумма длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Выразим длины сторон через отрезки касательных:

$P_{ABC} = (AM + MB) + (BK + KC) + (AN + NC)$.

Используя равенства длин отрезков касательных, сделаем замену:

$P_{ABC} = (AN + BK) + (BK + CN) + (AN + CN)$.

Сгруппировав подобные слагаемые, получим:

$P_{ABC} = 2 \cdot AN + 2 \cdot BK + 2 \cdot CN = 2 \cdot (AN + BK + CN)$.

Полупериметр треугольника, обозначаемый как $p$, равен половине периметра:

$p = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{2 \cdot (AN + BK + CN)}{2} = AN + BK + CN$.

По условию задачи, периметр $P_{ABC} = 16$ см, следовательно, полупериметр равен:

$p = \frac{16}{2} = 8$ см.

Из выражения для полупериметра $p = AN + BK + CN$ можно сгруппировать слагаемые $AN$ и $CN$:

$p = (AN + CN) + BK$.

Сумма $AN + CN$ равна длине стороны $AC$. По условию, $AC = 6$ см.

Подставим известные значения в полученную формулу:

$8 = 6 + BK$.

Отсюда находим искомую длину отрезка $BK$:

$BK = 8 - 6 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

175. Перерисуйте в тетрадь рисунок 66. Постройте окружность, проходящую через точки $D$, $E$ и $F$.

Рис. 66

175. Перерисуйте в тетрадь рисунок 66. Постройте окружность, проходящую через точки $D$, $E$ и $F$.

Для построения окружности, проходящей через три точки D, E и F, которые не лежат на одной прямой, необходимо найти её центр и радиус. Центр такой окружности является точкой, равноудаленной от всех трёх данных точек. Геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, центр искомой окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим данные точки (например, DE и EF).

Алгоритм построения:

1. Соединить точки отрезками, чтобы получились, например, отрезки DE и EF.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку DE. Для этого:
   • Из точек D и E как из центров описать две дуги окружности одинакового радиуса $R_1$, который должен быть больше половины длины отрезка DE ($R_1 > \frac{1}{2}DE$).
   • Через две точки пересечения этих дуг провести прямую. Эта прямая и будет серединным перпендикуляром к отрезку DE.
3. Аналогичным образом построить серединный перпендикуляр к отрезку EF.
   • Из точек E и F как из центров описать две дуги окружности одинакового радиуса $R_2$, который должен быть больше половины длины отрезка EF ($R_2 > \frac{1}{2}EF$).
   • Через две точки пересечения этих дуг провести прямую, которая будет серединным перпендикуляром к отрезку EF.
4. Найти точку пересечения построенных серединных перпендикуляров. Обозначим эту точку буквой O. Эта точка O и будет центром искомой окружности, так как она равноудалена от точек D, E и F ($OD = OE = OF$).
5. Установить иглу циркуля в точку O, а грифель — в любую из точек D, E или F. Расстояние от O до любой из этих точек (например, OD) будет радиусом окружности.
6. Начертить окружность с центром в точке O и радиусом $R = OD$. Эта окружность пройдет через все три заданные точки.

Ответ: Искомая окружность построена. Её центр — это точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам DE и EF, а радиус равен расстоянию от этого центра до любой из точек D, E или F.

176. Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярную данной прямой. Сколько решений имеет задача?

176. Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярную данной прямой. Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи проведем анализ, который приведет к алгоритму построения и ответу на вопрос о количестве решений.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и некоторая прямая $l$. Требуется построить касательную $t$ к окружности, которая будет перпендикулярна прямой $l$.

Анализ

По определению, касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Если $A$ — точка касания искомой касательной $t$, то радиус $OA$ перпендикулярен касательной $t$. Запишем это как $OA \perp t$.

По условию задачи, касательная $t$ должна быть перпендикулярна прямой $l$. Запишем это как $t \perp l$.

Мы имеем две прямые ($OA$ и $l$), которые перпендикулярны одной и той же прямой $t$. Из этого следует, что прямые $OA$ и $l$ параллельны друг другу: $OA \parallel l$.

Таким образом, задача сводится к нахождению на окружности таких точек $A$, радиусы в которые параллельны данной прямой $l$. Касательные, проведенные в этих точках, и будут искомыми.

Построение

1. Через центр окружности $O$ проводим прямую $m$, параллельную данной прямой $l$.
2. Прямая $m$ является диаметром окружности и пересекает ее в двух точках. Обозначим эти точки $A_1$ и $A_2$.
3. Через точку $A_1$ проводим прямую $t_1$, перпендикулярную прямой $m$ (и, следовательно, радиусу $OA_1$).
4. Через точку $A_2$ проводим прямую $t_2$, перпендикулярную прямой $m$ (и, следовательно, радиусу $OA_2$).

Построенные прямые $t_1$ и $t_2$ являются касательными к окружности в точках $A_1$ и $A_2$. Так как они перпендикулярны прямой $m$, а прямая $m$ параллельна $l$, то прямые $t_1$ и $t_2$ перпендикулярны и прямой $l$. Таким образом, они удовлетворяют всем условиям задачи.

Количество решений

Алгоритм построения всегда выполним. Прямая $m$, проведенная через центр окружности, всегда пересекает ее ровно в двух диаметрально противоположных точках. Это означает, что всегда существуют ровно две точки касания, а значит, и две искомые касательные ($t_1$ и $t_2$). Эти две касательные параллельны друг другу.

Ответ: задача всегда имеет два решения. Для построения необходимо провести диаметр, параллельный данной прямой, и построить касательные в точках пересечения этого диаметра с окружностью.

177. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе треугольника, проведённой из вершины угла при основании, и углу при основании.

177. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе треугольника, проведённой из вершины угла при основании, и углу при основании.

Пусть искомый равнобедренный треугольник – это $ABC$ с основанием $BC$, так что $AB=AC$. Пусть $\alpha$ – данный угол при основании, то есть $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$. Пусть $l$ – данная длина биссектрисы, проведённой из вершины угла при основании. Без ограничения общности, пусть это будет биссектриса $BD$ угла $\angle ABC$ (точка $D$ лежит на стороне $AC$).

Анализ

В искомом треугольнике $ABC$ должны выполняться следующие условия:

• Углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$.
• Угол при вершине: $\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha$.
• $BD$ – биссектриса угла $\angle ABC$, поэтому $\angle ABD = \angle DBC = \alpha/2$.
• Длина $BD$ равна данной длине $l$.

Рассмотрим треугольник $BDC$. Мы можем определить все его углы и одну сторону через данные величины:

• Сторона $BD = l$.
• Угол $\angle DBC = \alpha/2$.
• Угол $\angle BCD = \angle ACB = \alpha$.
• Следовательно, третий угол $\angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle BCD) = 180^\circ - (\alpha/2 + \alpha) = 180^\circ - 3\alpha/2$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $BDC$ по стороне $BD$ и двум прилежащим к ней углам. После построения этого треугольника мы найдём вершины $B$ и $C$. Вершина $A$ будет лежать на продолжении отрезка $CD$ за точку $D$. Чтобы найти точку $A$, мы построим луч из точки $B$, составляющий с лучом $BD$ угол $\angle ABD$, равный $\alpha/2$. Пересечение этого луча с прямой $CD$ и даст нам вершину $A$.

Построение

Пусть дан отрезок длины $l$ и угол $\alpha$.

1. С помощью циркуля и линейки построим угол, равный $\alpha/2$, разделив данный угол $\alpha$ пополам (построение биссектрисы).
2. Построим угол $3\alpha/2$, приложив угол $\alpha/2$ к углу $\alpha$. Затем построим смежный с ним угол, равный $180^\circ - 3\alpha/2$.
3. Построим отрезок $BD$ равный по длине $l$.
4. От луча $BD$ в одной полуплоскости отложим угол $\angle DBC$, равный $\alpha/2$.
5. От луча $DB$ в той же полуплоскости отложим угол $\angle BDC$, равный $180^\circ - 3\alpha/2$.
6. Лучи, построенные на шагах 4 и 5, пересекутся в точке $C$. Треугольник $BDC$ построен.
7. Проведём прямую через точки $C$ и $D$.
8. От луча $DB$ в полуплоскость, не содержащую точку $C$, отложим угол $\angle ABD$, равный $\alpha/2$.
9. Проведём луч из точки $B$, образующий этот угол. Точка пересечения этого луча с прямой $CD$ будет вершиной $A$.
10. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• По построению, отрезок $BD$ имеет заданную длину $l$.
• По построению, $\angle ABD = \angle DBC = \alpha/2$. Следовательно, $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, и величина этого угла равна $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$.
• В треугольнике $BDC$, построенном на шагах 3-6, углы $\angle DBC$ и $\angle BDC$ равны $\alpha/2$ и $180^\circ - 3\alpha/2$ соответственно. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $\angle BCD = 180^\circ - (\alpha/2 + 180^\circ - 3\alpha/2) = \alpha$.
• Таким образом, в треугольнике $ABC$ углы при стороне $BC$ равны: $\angle ABC = \alpha$ и $\angle ACB = \angle BCD = \alpha$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Все условия задачи выполнены, построенный треугольник является искомым.

Примечание: Задача имеет решение, если все углы в построении являются положительными. В частности, угол при вершине искомого треугольника $\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha$ должен быть больше нуля, что означает $2\alpha < 180^\circ$, или $\alpha < 90^\circ$. То есть, данный угол при основании должен быть острым.

Ответ: Построение основано на анализе и построении вспомогательного треугольника $BDC$, где $B$ и $C$ - вершины при основании искомого треугольника $ABC$, а $D$ - точка на боковой стороне $AC$. Этот треугольник строится по стороне $BD$ (равной данной биссектрисе $l$) и двум прилежащим к ней углам: $\angle DBC = \alpha/2$ и $\angle BDC = 180^\circ - 3\alpha/2$, где $\alpha$ - данный угол при основании. После построения $\triangle BDC$ третья вершина $A$ находится как пересечение прямой $CD$ и луча, выходящего из $B$ под углом $\alpha/2$ к $BD$ (с другой стороны от $BC$).

178. Постройте равнобедренный треугольник по углу при вершине и высоте, проведённой к боковой стороне.

178. Постройте равнобедренный треугольник по углу при вершине и высоте, проведённой к боковой стороне.

Пусть дан угол $ \alpha $ — угол при вершине равнобедренного треугольника, и отрезок $ h_b $ — высота, проведённая к боковой стороне. Требуется построить равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $ с вершиной $ A $, так что $ AB = AC $, $ \angle BAC = \alpha $, и высота из вершины $ C $ на сторону $ AB $ равна $ h_b $.

Пусть искомый треугольник $ \triangle ABC $ построен. $ A $ — его вершина, $ AB = AC $ — боковые стороны, $ \angle BAC = \alpha $. Пусть $ CD $ — высота, опущенная из вершины $ C $ на прямую, содержащую сторону $ AB $. Тогда $ CD = h_b $ и $ \angle CDA = 90^\circ $.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ADC $. В нём известен катет $ CD = h_b $ и противолежащий ему угол $ \angle CAD = \alpha $. Из соотношений в прямоугольном треугольнике гипотенуза $ AC $ (боковая сторона искомого треугольника) равна $ AC = \frac{h_b}{\sin(\alpha)} $.
Таким образом, задача сводится к построению боковой стороны, а затем и всего треугольника. Более прямой метод построения основан на определении положения вершин. Сначала строится угол $ \alpha $, а затем находится положение вершины $ C $ на одной из его сторон, используя тот факт, что её расстояние до другой стороны равно $ h_b $.

1. Строим произвольный луч $ AX $.
2. От луча $ AX $ откладываем данный угол $ \alpha $, строя луч $ AY $. Таким образом, $ \angle XAY = \alpha $. На лучах $ AX $ и $ AY $ будут лежать боковые стороны искомого треугольника.
3. Теперь необходимо найти вершины $ B $ и $ C $. Вершина $ C $ должна находиться на луче $ AY $ на расстоянии $ h_b $ от луча $ AX $. Для нахождения точки $ C $ строим прямую $ l $, параллельную $ AX $ и отстоящую от неё на расстояние $ h_b $. Для этого: а) выбираем на луче $ AX $ произвольную точку $ P $; б) восстанавливаем в точке $ P $ перпендикуляр к лучу $ AX $; в) на этом перпендикуляре откладываем отрезок $ PQ $, равный данной высоте $ h_b $; г) через точку $ Q $ проводим прямую $ l $, параллельную $ AX $.
4. Прямая $ l $ пересекает луч $ AY $ в некоторой точке. Эта точка и есть вершина $ C $ искомого треугольника.
5. Теперь известна длина боковой стороны $ AC $. Так как треугольник равнобедренный ($ AB = AC $), на луче $ AX $ откладываем отрезок $ AB $, равный отрезку $ AC $. Для этого проводим дугу окружности с центром в точке $ A $ и радиусом $ AC $. Точка пересечения этой дуги с лучом $ AX $ будет вершиной $ B $.
6. Соединяем точки $ B $ и $ C $ отрезком.
Треугольник $ \triangle ABC $ построен.

В построенном треугольнике $ \triangle ABC $: $ AB = AC $ по построению (как радиусы одной окружности), следовательно, треугольник является равнобедренным. Угол при вершине $ \angle BAC $ по построению равен данному углу $ \alpha $. Высота, опущенная из вершины $ C $ на прямую $ AB $ (то есть на луч $ AX $), равна расстоянию от точки $ C $ до прямой $ AX $. По построению точка $ C $ лежит на прямой $ l $, которая параллельна $ AX $ и находится на расстоянии $ h_b $ от неё. Следовательно, высота из $ C $ на $ AB $ равна $ h_b $. Таким образом, построенный треугольник $ \triangle ABC $ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет решение, если прямая $ l $, параллельная $ AX $, пересекает луч $ AY $. Лучи $ AX $ и $ AY $ образуют угол $ \alpha $. Если $ 0 < \alpha < 180^\circ $, то луч $ AY $ не параллелен лучу $ AX $. Прямая $ l $, будучи параллельной $ AX $, также не будет параллельна $ AY $. Следовательно, прямая $ l $ и луч $ AY $ пересекутся в единственной точке. Если $ \alpha = 180^\circ $ или $ \alpha = 0^\circ $, лучи лежат на одной прямой или совпадают, и пересечения не будет (при $ h_b > 0 $). Если $ h_b = 0 $, треугольник вырождается в отрезок. Таким образом, задача имеет единственное решение при $ 0 < \alpha < 180^\circ $ и $ h_b > 0 $.

Ответ: Алгоритм, описанный в разделе "Построение", позволяет однозначно построить искомый равнобедренный треугольник. Задача имеет единственное решение при условии, что заданный угол $ \alpha $ находится в пределах $ 0 < \alpha < 180^\circ $, а высота $ h_b > 0 $.

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по его высоте, проведённой к гипотенузе.

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по его высоте, проведённой к гипотенузе.

Задача состоит в построении равнобедренного прямоугольного треугольника по известной длине его высоты, проведённой к гипотенузе. Обозначим эту высоту как $h$.

Анализ

Пусть $\triangle ABC$ — искомый равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором $\angle C = 90^\circ$, а катеты $AC=BC$. В таком треугольнике углы при гипотенузе равны, то есть $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

Пусть $CH$ — высота, проведённая из вершины $C$ к гипотенузе $AB$, и её длина равна $h$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $H$ — середина гипотенузы $AB$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом, $CH = \frac{1}{2}AB$.

Так как $H$ — середина $AB$, то $AH = HB = \frac{1}{2}AB$. Из этих двух свойств следует ключевое для построения соотношение: $CH = AH = HB = h$.

Это означает, что высота $CH$ делит треугольник $\triangle ABC$ на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$.

Построение

1. Проведём произвольную прямую $a$. Отметим на ней произвольную точку $H$.
2. С помощью циркуля и линейки построим прямую $b$, проходящую через точку $H$ перпендикулярно прямой $a$.
3. На прямой $b$ отложим отрезок $HC$, равный данной высоте $h$.
4. Построим окружность с центром в точке $H$ и радиусом, равным длине отрезка $HC$.
5. Точки пересечения этой окружности с прямой $a$ обозначим как $A$ и $B$.
6. Соединим отрезками точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$.

Полученный треугольник $\triangle ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $\triangle ABC$.

По построению, отрезок $CH$ перпендикулярен стороне $AB$, следовательно, $CH$ является высотой треугольника, и её длина равна $h$.

Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $H$ и радиусом $HC$. Следовательно, $HA = HB = HC = h$.

В треугольнике $\triangle AHC$ угол $\angle AHC = 90^\circ$ и катеты $AH$ и $CH$ равны $h$. Значит, $\triangle AHC$ — равнобедренный прямоугольный, и его острые углы $\angle HAC = \angle HCA = 45^\circ$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle BHC$ угол $\angle BHC = 90^\circ$ и катеты $BH$ и $CH$ равны $h$. Значит, $\triangle BHC$ — равнобедренный прямоугольный, и его острые углы $\angle HBC = \angle HCB = 45^\circ$.

В итоговом треугольнике $\triangle ABC$ имеем:

• $\angle A = \angle HAC = 45^\circ$
• $\angle B = \angle HBC = 45^\circ$
• $\angle C = \angle HCA + \angle HCB = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

Поскольку углы при стороне $AB$ равны, то треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным. Поскольку угол $C$ равен $90^\circ$, треугольник является прямоугольным. Высота, проведённая к гипотенузе, по построению равна $h$. Следовательно, построенный треугольник $\triangle ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник, построенный по описанному алгоритму, является искомым равнобедренным прямоугольным треугольником.

180. Постройте равносторонний треугольник по его медиане.

180. Постройте равносторонний треугольник по его медиане.

Для построения равностороннего треугольника по его медиане, необходимо воспользоваться ключевыми свойствами такого треугольника. Основное свойство заключается в том, что в равностороннем треугольнике медиана, проведенная к любой из сторон, является также высотой и биссектрисой.

Пусть нам дан равносторонний треугольник $\triangle ABC$ и его медиана $AM$ длиной $m$. Так как $AM$ является также высотой, то она перпендикулярна стороне $BC$, образуя прямой угол $\angle AMB = 90^\circ$. Так как $AM$ является и биссектрисой угла $\angle BAC$, а в равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, то $\angle BAM = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Таким образом, медиана $AM$ делит равносторонний треугольник $\triangle ABC$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle AMB$ и $\triangle AMC$. В каждом из этих треугольников мы знаем:

• Катет $AM = m$ (данная медиана).
• Прилежащий к нему острый угол $\angle MAB = 30^\circ$.
• Противолежащий ему острый угол $\angle ABM = 60^\circ$.

Задача сводится к построению прямоугольного треугольника $AMB$ по катету $m$ и прилежащему острому углу $30^\circ$. Построив его, мы найдем вершины $A$ и $B$, а также середину $M$ стороны $BC$. Вершина $C$ находится симметрично вершине $B$ относительно точки $M$.

Пусть дан отрезок, равный по длине медиане $m$.

1. Начертим произвольную прямую $l$. На ней выберем точку $M$. Эта прямая будет содержать основание $BC$ искомого треугольника.
2. Через точку $M$ проведем прямую $h$, перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $h$ отложим от точки $M$ отрезок $MA$, равный данной медиане $m$.
4. Построим угол $\angle MAB = 30^\circ$. Для этого с вершиной в точке $A$ сначала построим угол $60^\circ$. Проведем дугу окружности с центром в $A$ и произвольным радиусом, которая пересечет луч $AM$ в точке $K$. Затем с центром в $K$ и тем же радиусом проведем вторую дугу до пересечения с первой в точке $P$. Угол $\angle PAK$ будет равен $60^\circ$.
5. Построим биссектрису угла $\angle PAK$. Полученный луч $AD$ образует с лучом $AM$ угол $\angle MAD = 30^\circ$.
6. Найдем точку пересечения луча $AD$ с прямой $l$. Обозначим эту точку как $B$.
7. На прямой $l$ отложим от точки $M$ в сторону, противоположную $B$, отрезок $MC$ равный отрезку $MB$.
8. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$.

Треугольник $\triangle ABC$ является искомым равносторонним треугольником.

Проверим, что построенный $\triangle ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

• Отрезок $AM$ является медианой $\triangle ABC$, так как $M$ — середина стороны $BC$ по построению ($MB=MC$). Длина медианы $AM$ равна $m$ по построению.
• Отрезок $AM$ является высотой $\triangle ABC$, так как прямая $h$ (содержащая $AM$) перпендикулярна прямой $l$ (содержащей $BC$) по построению.
• Поскольку в $\triangle ABC$ отрезок $AM$ является одновременно медианой и высотой, то $\triangle ABC$ — равнобедренный, с $AB = AC$.
• В прямоугольном $\triangle AMB$ ($\angle AMB = 90^\circ$), угол $\angle MAB$ построен равным $30^\circ$. Следовательно, третий угол $\angle ABM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
• В равнобедренном $\triangle ABC$ углы при основании равны: $\angle ACB = \angle ABC = 60^\circ$.
• Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.
• Так как все углы $\triangle ABC$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.

Таким образом, построенный треугольник является равносторонним, и его медиана имеет заданную длину $m$.

Ответ: Искомый равносторонний треугольник строится на основе прямоугольного треугольника, образованного медианой, половиной стороны искомого треугольника и одной из его сторон. Построение подробно описано выше.

181. Постройте треугольник $ABC$ по стороне $AC$, медиане $BM$ и углу $BMC$.

181. Постройте треугольник $ABC$ по стороне $AC$, медиане $BM$ и углу $BMC$.

Задача на построение треугольника $ABC$ по стороне $AC$, медиане $BM$ и углу $BMC$ решается методом построения вспомогательного треугольника.

Анализ и план построения

По определению, медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой $M$ стороны $AC$. Следовательно, точка $M$ делит отрезок $AC$ на два равных отрезка: $AM = MC = \frac{1}{2}AC$. Так как длина стороны $AC$ нам известна, мы можем легко найти длину отрезка $MC$ и построить его.

Теперь рассмотрим треугольник $BMC$. В этом треугольнике нам известны два элемента: длина стороны $BM$ (заданная медиана) и величина угла $\angle BMC$ (заданный угол). Третьим известным элементом является сторона $MC$, длина которой, как мы выяснили, равна половине длины $AC$. Таким образом, мы можем построить треугольник $BMC$ по двум сторонам ($BM$ и $MC$) и углу между ними ($\angle BMC$).

После построения треугольника $BMC$ мы определим положение вершин $B$, $C$ и точки $M$. Так как $M$ является серединой стороны $AC$, вершина $A$ должна лежать на прямой $CM$ на таком же расстоянии от $M$, что и точка $C$, но с другой стороны. Построив точку $A$, мы сможем завершить построение искомого треугольника $ABC$.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в следующей последовательности. Сначала строим отрезок $AC$ заданной длины. Затем находим его середину $M$, построив серединный перпендикуляр к $AC$. Далее от луча $MC$ откладываем угол, равный заданному углу $\angle BMC$, и на его стороне строим луч $MK$. На луче $MK$ откладываем отрезок $MB$, равный по длине заданной медиане. Наконец, соединяем точку $B$ с точками $A$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ имеет заданную длину по построению. Отрезок $BM$ является медианой, так как точка $M$ по построению является серединой стороны $AC$. Длина самой медианы $BM$ и величина угла $\angle BMC$ также равны заданным величинам по построению. Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Задача имеет единственное решение, если заданные длины $AC > 0$, $BM > 0$ и угол $\angle BMC$ находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Ответ: Построение треугольника возможно и единственно при заданных условиях; алгоритм построения описан выше.

182. Даны прямая $a$ и принадлежащая ей точка $B$. Постройте точку, удалённую от точки $B$ на 4 см и от прямой $a$ на 3 см. Сколько решений имеет задача?

182. Даны прямая $a$ и принадлежащая ей точка $B$. Постройте точку, удалённую от точки $B$ на 4 см и от прямой $a$ на 3 см. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка должна одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Находиться на расстоянии 4 см от точки B.
2. Находиться на расстоянии 3 см от прямой a.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от точки B на 4 см, — это окружность с центром в точке B и радиусом $R = 4$ см.

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от прямой a на 3 см, — это две прямые, параллельные прямой a и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии 3 см.

Искомые точки являются точками пересечения этих двух ГМТ: окружности и двух параллельных прямых. Для того чтобы найти количество решений, необходимо определить, сколько точек пересечения имеют эти фигуры.

Построение:

• Проводим прямую a и отмечаем на ней точку B.
• С помощью циркуля строим окружность с центром в точке B и радиусом 4 см.
• Через точку B проводим прямую, перпендикулярную прямой a.
• На этой перпендикулярной прямой откладываем от точки B в обе стороны отрезки длиной по 3 см.
• Через концы этих отрезков проводим две прямые, параллельные прямой a.
• Точки пересечения построенной окружности и двух параллельных прямых являются искомыми точками.

Анализ количества решений:

Центр окружности (точка B) лежит на прямой a. Параллельные прямые находятся на расстоянии 3 см от прямой a, следовательно, и от центра окружности. Радиус окружности равен 4 см.

Поскольку расстояние от центра окружности до каждой из параллельных прямых ($d=3$ см) меньше радиуса окружности ($R=4$ см), то окружность будет пересекать каждую из этих прямых в двух точках.

Это можно также проверить аналитически. Пусть искомая точка — M, а ее проекция на прямую a — H. Тогда MH — расстояние от точки M до прямой a, то есть $MH = 3$ см. Расстояние от M до B по условию равно $MB = 4$ см. Точка B лежит на прямой a. Таким образом, точки M, H и B образуют прямоугольный треугольник MBH с гипотенузой MB.

По теореме Пифагора:

$BH^2 + MH^2 = MB^2$

$BH^2 + 3^2 = 4^2$

$BH^2 + 9 = 16$

$BH^2 = 7$

$BH = \sqrt{7}$ см.

Это означает, что проекции искомых точек на прямую a находятся на расстоянии $\sqrt{7}$ см от точки B. Таких проекций (точек H) две — по одну и по другую сторону от B. Для каждой из этих двух проекций существуют две искомые точки M, расположенные на перпендикуляре к прямой a на расстоянии 3 см (по разные стороны от прямой a).

Таким образом, окружность пересекает одну параллельную прямую в двух точках и вторую параллельную прямую также в двух точках. Всего получается 4 точки пересечения, которые и являются решениями задачи.

Ответ: Задача имеет 4 решения.

183. Дан треугольник $CDM$. Постройте точку, равноудалённую от точек $C$ и $D$ и находящуюся на расстоянии 2 см от точки $M$. Сколько решений может иметь задача?

183. Дан треугольник CDM. Постройте точку, равноудалённую от точек C и D и находящуюся на расстоянии 2 см от точки M. Сколько решений может иметь задача?

Для нахождения искомой точки необходимо определить геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих каждому из двух условий, а затем найти их пересечение.

Постройте точку, равноудалённую от точек C и D и находящуюся на расстоянии 2 см от точки М.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (C и D), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Обозначим этот серединный перпендикуляр к отрезку CD как прямую l.

2. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии (2 см) от данной точки (M), представляет собой окружность с центром в этой точке и радиусом, равным заданному расстоянию. Обозначим эту окружность с центром в M и радиусом $R = 2$ см как окружность k.

Искомая точка (или точки) является точкой пересечения серединного перпендикуляра l и окружности k.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки C и D отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр l к отрезку CD. Для этого из точек C и D как из центров провести две пары дуг окружности одинакового радиуса (большего половины длины отрезка CD) по обе стороны от отрезка до их взаимного пересечения. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром l.
3. Построить окружность k с центром в точке M и радиусом 2 см.
4. Точки, в которых прямая l пересекает окружность k, являются искомыми.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку CD и окружности с центром в точке M и радиусом 2 см.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи определяется количеством точек пересечения прямой l (серединного перпендикуляра к CD) и окружности k (с центром M и радиусом $R=2$ см). Это количество зависит от расстояния d от центра окружности M до прямой l.

Возможны три случая в зависимости от соотношения между расстоянием d и радиусом R:

• Если расстояние от точки M до прямой l больше радиуса окружности, то есть $d > 2$ см, то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений (0 решений).
• Если расстояние от точки M до прямой l равно радиусу окружности, то есть $d = 2$ см, то прямая касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние от точки M до прямой l меньше радиуса окружности, то есть $d < 2$ см, то прямая пересекает окружность в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.

Ответ: В зависимости от взаимного расположения точек C, D и M, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

184. Прямая $l$ пересекает стороны угла $ABC$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии 2 см от прямой $l$. Сколько решений может иметь задача?

184. Прямая $l$ пересекает стороны угла $ABC$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии 2 см от прямой $l$. Сколько решений может иметь задача?

Построение

Искомая точка должна удовлетворять двум геометрическим условиям:
1. Быть равноудалённой от сторон угла $ABC$. Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, является его биссектрисой. Обозначим биссектрису угла $ABC$ как луч $b$.
2. Находиться на расстоянии 2 см от прямой $l$. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от прямой, — это две параллельные прямые, расположенные по обе стороны от данной прямой на этом расстоянии.

Следовательно, искомые точки являются точками пересечения этих двух геометрических мест. Алгоритм построения следующий:
1. Построить луч $b$ — биссектрису угла $ABC$.
2. Построить две прямые, $m_1$ и $m_2$, параллельные прямой $l$ и находящиеся на расстоянии 2 см от неё. Для этого нужно выбрать произвольную точку на прямой $l$, провести через неё перпендикуляр к $l$ и отложить на нём в обе стороны отрезки длиной 2 см. Через концы этих отрезков провести прямые, параллельные $l$.
3. Точки пересечения луча $b$ с прямыми $m_1$ и $m_2$ и будут искомыми точками.
Ответ: Искомые точки — это точки пересечения биссектрисы угла $ABC$ с двумя прямыми, которые параллельны прямой $l$ и удалены от неё на 2 см.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи равно числу точек пересечения луча $b$ (биссектрисы угла) с парой параллельных прямых $m_1$ и $m_2$. Это число зависит от взаимного расположения угла $ABC$ (в частности, его вершины $B$ и биссектрисы $b$) и прямой $l$.

Рассмотрим возможные случаи:
1. 0 решений. Если биссектриса $b$ параллельна прямой $l$ (а значит, и прямым $m_1$ и $m_2$), то она не пересечёт ни одну из них, так как не совпадает с ними. В этом случае решений нет.
2. 1 решение. Если вершина угла $B$ находится между прямыми $m_1$ и $m_2$ (то есть расстояние от точки $B$ до прямой $l$ строго меньше 2 см), то луч $b$, исходящий из точки $B$, пересечёт только одну из этих двух прямых. В этом случае задача имеет одно решение.
3. 2 решения. Этот случай возможен в двух ситуациях:
а) Если вершина угла $B$ находится вне полосы, ограниченной прямыми $m_1$ и $m_2$ (расстояние от $B$ до $l$ больше 2 см). Так как по условию прямая $l$ пересекает стороны угла, луч $b$ будет направлен в сторону этой полосы и пересечёт последовательно обе прямые, $m_1$ и $m_2$.
б) Если вершина угла $B$ лежит на одной из прямых, $m_1$ или $m_2$ (расстояние от $B$ до $l$ равно 2 см). Тогда сама точка $B$ является одним решением. Луч $b$, выходя из точки $B$, пересечёт вторую параллельную прямую, что даст второе решение.

Таким образом, задача может иметь ноль, одно или два решения.
Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

185. Постройте прямоугольный треугольник по сумме катета и гипотенузы и углу, противолежащему второму катету.

185. Постройте прямоугольный треугольник по сумме катета и гипотенузы и углу, противолежащему второму катету.

Пусть дан отрезок $s$, равный сумме катета $a$ и гипотенузы $c$, и угол $\beta$, противолежащий второму катету $b$. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетами $AC = b$, $BC = a$, гипотенузой $AB = c$, и таким образом, чтобы $a+c=s$ и $\angle B = \beta$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На продолжении катета $BC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$ такой, что $CD = AB = c$. Тогда отрезок $BD = BC + CD = a + c = s$. Соединим точки $A$ и $D$. Получим треугольник $ACD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как по построению $CD = AB$, а $C$ лежит между $B$ и $D$, то треугольник $ABD$ не существует в таком виде. Изменим построение.

На продолжении катета $BC$ за точку $B$ отложим отрезок $BD$, равный гипотенузе $AB = c$. Тогда получим отрезок $CD = CB + BD = a + c = s$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $AB = BD$, он является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании $AD$ равны: $\angle BAD = \angle BDA$.

Угол $\angle ABC$ (который равен данному углу $\beta$) является внешним углом для треугольника $ABD$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ABC = \angle BAD + \angle BDA$. Так как $\angle BAD = \angle BDA$, то $\beta = 2 \cdot \angle BDA$, откуда $\angle BDA = \frac{\beta}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. В нем:

• $\angle C = 90^{\circ}$ (так как $AC \perp CD$).
• Сторона $CD = a+c = s$.
• Угол $\angle CDA = \frac{\beta}{2}$.

Этот треугольник можно построить по катету ($CD$) и прилежащему острому углу ($\angle D$). После построения треугольника $ACD$, мы можем найти вершину $B$. Точка $B$ лежит на отрезке $CD$. Кроме того, так как $AB=BD$, точка $B$ равноудалена от точек $A$ и $D$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения отрезка $CD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AD$.

Отсюда вытекает план построения.

Ответ: Анализ задачи показал, что для построения искомого треугольника можно сначала построить вспомогательный прямоугольный треугольник $ACD$ по катету $CD=s$ и прилежащему острому углу $\angle D = \frac{\beta}{2}$. Вершина $B$ искомого треугольника находится как пересечение стороны $CD$ и серединного перпендикуляра к стороне $AD$.

Построение

1. Построить данный угол $\beta$ и его биссектрису, чтобы получить угол, равный $\frac{\beta}{2}$.
2. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $C$.
3. На этой прямой от точки $C$ отложить отрезок $CD$, равный данной сумме $s$.
4. Восстановить в точке $C$ перпендикуляр к прямой $CD$.
5. В точке $D$ построить угол, равный $\frac{\beta}{2}$, так, чтобы одна его сторона лежала на прямой $CD$, а другая пересекала перпендикуляр, восстановленный из точки $C$.
6. Точку пересечения луча угла и перпендикуляра обозначить $A$. Получен треугольник $ACD$.
7. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AD$.
8. Точку пересечения этого серединного перпендикуляра с отрезком $CD$ обозначить $B$.
9. Соединить точки $A$ и $B$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен в соответствии с описанными шагами.

Доказательство

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. По построению, $\angle ACB = 90^{\circ}$, так как точка $A$ лежит на перпендикуляре к прямой $CD$, проведенном через точку $C$. Следовательно, $ABC$ — прямоугольный треугольник.

2. Точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, поэтому $AB = BD$.

3. Рассмотрим сумму катета $BC$ и гипотенузы $AB$. По построению, точка $B$ лежит на отрезке $CD$. Значит, $CD = CB + BD$. Так как мы доказали, что $AB = BD$, то $CD = CB + AB$. По построению $CD = s$, следовательно, $BC + AB = s$.

4. Найдем величину угла $\angle ABC$. Так как $AB = BD$, треугольник $ABD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAD = \angle BDA$. По построению, $\angle BDA = \frac{\beta}{2}$, значит, и $\angle BAD = \frac{\beta}{2}$. Угол $\angle ABC$ является внешним для треугольника $ABD$. Его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ABC = \angle BAD + \angle BDA = \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} = \beta$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является прямоугольным, угол, противолежащий катету $AC$, равен $\beta$, а сумма катета $BC$ и гипотенузы $AB$ равна $s$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение верное, так как построенный треугольник $ABC$ является прямоугольным, удовлетворяет условию $BC+AB=s$ и имеет угол $\angle B = \beta$.