Страница 34 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 2 раза больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 2 раза больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

Рис. 85

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Обозначим искомый угол как $∠1$. Углы, смежные с ним, это $∠2$ и $∠4$. Вертикальный ему угол — $∠3$.

Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма равна $180°$. Таким образом:
$∠1 + ∠2 = 180°$
$∠1 + ∠4 = 180°$

Из этих равенств следует, что $∠2 = 180° - ∠1$ и $∠4 = 180° - ∠1$. Заметим, что $∠2 = ∠4$ (как углы, смежные с одним и тем же углом, а также как вертикальные углы).

По условию задачи, один из углов в 2 раза больше суммы смежных с ним углов. Запишем это в виде уравнения, обозначив величину искомого угла $∠1$ через $x$:
$∠1 = 2 \cdot (∠2 + ∠4)$
$x = 2 \cdot ((180° - x) + (180° - x))$

Теперь решим полученное уравнение:
$x = 2 \cdot (360° - 2x)$
$x = 720° - 4x$
$x + 4x = 720°$
$5x = 720°$
$x = \frac{720°}{5}$
$x = 144°$

Проверим решение:
Искомый угол равен $144°$.
Смежные с ним углы равны $180° - 144° = 36°$.
Сумма смежных углов: $36° + 36° = 72°$.
Условие: $144° = 2 \cdot 72°$. Равенство верно.

Ответ: $144°$.

44. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 85). Найдите сумму углов 1 и 2, если $\angle 3 = 41^\circ$.

44. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 85). Найдите сумму углов 1 и 2, если $\angle 3 = 41^\circ$.

Рис. 85

Для решения задачи воспользуемся свойствами смежных и вертикальных углов.
Рассмотрим вертикальную прямую, изображенную на рисунке. Углы, расположенные по левую сторону от этой прямой, в сумме образуют развернутый угол, величина которого составляет $180^\circ$. Этими углами являются $\angle 1$, $\angle 3$ и угол, вертикальный углу $\angle 2$.
По свойству вертикальных углов, угол, вертикальный к $\angle 2$, равен самому углу $\angle 2$.
Таким образом, можно записать равенство, связывающее три этих угла:
$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$
Из этого равенства выразим искомую сумму углов $\angle 1$ и $\angle 2$:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ - \angle 3$
По условию задачи $\angle 3 = 41^\circ$. Подставим это значение в полученное выражение:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ - 41^\circ = 139^\circ$

Ответ: $139^\circ$.

45. На рисунке 86 $\angle ABK = \angle CDB.$

Докажите, что $\angle CBA = \angle BDF.$

Рис. 86

45. На рисунке 86 $\angle ABK = \angle CDB$.

Докажите, что $\angle CBA = \angle BDF$.

Рис. 86

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством смежных углов. Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

1. Рассмотрим углы $ \angle CBA $ и $ \angle ABK $. Из рисунка видно, что эти углы имеют общую вершину B и общую сторону BA, а стороны BK и BC лежат на одной прямой KC. Следовательно, углы $ \angle CBA $ и $ \angle ABK $ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$:

$ \angle CBA + \angle ABK = 180^\circ $

Из этого равенства выразим $ \angle CBA $:

$ \angle CBA = 180^\circ - \angle ABK $

2. Теперь рассмотрим углы $ \angle CDB $ и $ \angle BDF $. Они имеют общую вершину D и общую сторону DB, а стороны DC и DF лежат на одной прямой FC. Следовательно, эти углы также являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$:

$ \angle CDB + \angle BDF = 180^\circ $

Из этого равенства выразим $ \angle BDF $:

$ \angle BDF = 180^\circ - \angle CDB $

3. По условию задачи нам дано, что $ \angle ABK = \angle CDB $.

4. Сравним выражения для $ \angle CBA $ и $ \angle BDF $. Поскольку по условию $ \angle ABK = \angle CDB $, то правые части выражений $ (180^\circ - \angle ABK) $ и $ (180^\circ - \angle CDB) $ равны. Если равны правые части двух равенств, то равны и их левые части.

Следовательно, $ \angle CBA = \angle BDF $. Углы, смежные с равными углами, равны между собой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ \angle CBA = \angle BDF $.

46. Угол между биссектрисой угла $AOC$ и лучом, дополнительным к стороне $OC$, равен $138^\circ$. Найдите угол $AOC$.

46. Угол между биссектрисой угла $AOC$ и лучом, дополнительным к стороне $OC$, равен $138^\circ$.

Найдите угол $AOC$.

Пусть $OM$ — биссектриса угла $AOC$, а $OD$ — луч, дополнительный к стороне $OC$.

По определению, биссектриса делит угол пополам, следовательно:
$\angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC$.

Луч $OD$, дополнительный к лучу $OC$, образует с ним развернутый угол. Это означает, что лучи $OC$ и $OD$ лежат на одной прямой и направлены в разные стороны от точки $O$. Величина развернутого угла $COD$ равна $180^\circ$:
$\angle COD = 180^\circ$.

По условию задачи, угол между биссектрисой $OM$ и лучом $OD$ равен $138^\circ$. То есть, $\angle MOD = 138^\circ$.

Углы $\angle MOC$ и $\angle MOD$ являются смежными, так как у них общая сторона $OM$, а стороны $OC$ и $OD$ являются дополнительными лучами. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:
$\angle MOC + \angle MOD = \angle COD$
$\angle MOC + 138^\circ = 180^\circ$

Найдем величину угла $\angle MOC$:
$\angle MOC = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$.

Так как $OM$ — биссектриса угла $AOC$, то угол $AOC$ в два раза больше угла $MOC$:
$\angle AOC = 2 \cdot \angle MOC$
$\angle AOC = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ$.

Ответ: $84^\circ$.

47. Какой угол образует биссектриса угла, равного $48^\circ$, с лучом, дополнительным к одной из его сторон?

47. Какой угол образует биссектриса угла, равного $48^\circ$, с лучом, дополнительным к одной из его сторон?

Пусть дан угол $\angle AOB$, величина которого равна $48^{\circ}$.

Проведем биссектрису $OC$ этого угла. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла. Следовательно, угол между биссектрисой и каждой из сторон исходного угла будет равен половине этого угла:

$\angle AOC = \angle BOC = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{48^{\circ}}{2} = 24^{\circ}$

Далее, построим луч $OA'$, который является дополнительным к стороне $OA$. Лучи $OA$ и $OA'$ лежат на одной прямой и образуют развернутый угол, равный $180^{\circ}$.

Требуется найти угол, который образует биссектриса $OC$ с лучом $OA'$, то есть величину угла $\angle A'OC$.

Углы $\angle A'OC$ и $\angle AOC$ являются смежными, так как у них общая сторона $OC$, а стороны $OA'$ и $OA$ являются дополнительными лучами. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$.

Таким образом, мы можем записать равенство:

$\angle A'OC + \angle AOC = 180^{\circ}$

Из этого равенства выразим искомый угол $\angle A'OC$:

$\angle A'OC = 180^{\circ} - \angle AOC$

Подставим известное значение $\angle AOC = 24^{\circ}$:

$\angle A'OC = 180^{\circ} - 24^{\circ} = 156^{\circ}$

Этот результат не зависит от того, к какой из сторон ($OA$ или $OB$) мы строим дополнительный луч.

Ответ: $156^{\circ}$

48. На рисунке 87 прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$. Луч $OE$ — биссектриса угла $AOD$. Найдите угол $AOF$, если $\angle AOD = 148^\circ$.

Рис. 87

48. На рисунке 87 прямые AB, CD и EF пересекаются в точке O. Луч OE — биссектриса угла AOD. Найдите угол AOF, если $\angle AOD = 148^\circ$.

Рис. 87

По условию задачи, луч $OE$ является биссектрисой угла $AOD$. Биссектриса делит угол на два равных угла, следовательно, $\angle AOE = \angle EOD$. Зная, что $\angle AOD = 148^\circ$, можем найти величину угла $AOE$:

$\angle AOE = \frac{\angle AOD}{2} = \frac{148^\circ}{2} = 74^\circ$.

Поскольку прямые пересекаются в точке $O$, точки $E$, $O$ и $F$ лежат на одной прямой $EF$. Это означает, что угол $\angle EOF$ является развернутым и его величина составляет $180^\circ$.

Углы $\angle AOF$ и $\angle AOE$ являются смежными, так как у них есть общая сторона $OA$, а две другие их стороны, $OF$ и $OE$, образуют прямую линию. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

$\angle AOF + \angle AOE = 180^\circ$.

Чтобы найти искомый угол $\angle AOF$, выразим его из этого равенства и подставим найденное значение $\angle AOE$:

$\angle AOF = 180^\circ - \angle AOE = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$.

Ответ: $106^\circ$.

49. Проведите прямую $a$ и отметьте точку $M$, не принадлежащую ей. С помощью угольника проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямой $a$.

49. Проведите прямую $a$ и отметьте точку $M$, не принадлежащую ей. С помощью угольника проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямой $a$.

Для того чтобы с помощью угольника провести через точку $M$, не принадлежащую прямой $a$, прямую, перпендикулярную прямой $a$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертите прямую линию и обозначьте её буквой $a$.
2. Отметьте точку $M$ в любом месте на плоскости, но не на прямой $a$.
3. Возьмите чертёжный угольник, у которого есть прямой угол ($90^\circ$).
4. Приложите угольник к прямой $a$ так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол (катет), легла точно на прямую $a$.
5. Не меняя угла наклона, плавно перемещайте угольник вдоль прямой $a$ до тех пор, пока вторая сторона с прямым углом (второй катет) не окажется на одной линии с точкой $M$.
6. Крепко удерживая угольник, проведите вдоль этого второго катета прямую линию так, чтобы она прошла через точку $M$ и пересекла прямую $a$.

Построенная таким образом прямая будет проходить через точку $M$ и будет перпендикулярна прямой $a$. Если обозначить построенную прямую буквой $b$, то будет верно, что $b \perp a$.

Иллюстрация последовательности действий для построения перпендикуляра.

Ответ: Чтобы провести прямую, перпендикулярную прямой $a$ и проходящую через точку $M$, необходимо приложить одну из сторон прямого угла угольника к прямой $a$, затем сдвинуть угольник вдоль прямой $a$ до совмещения второй стороны прямого угла с точкой $M$ и провести по этой стороне прямую.

50. Прямые $c$ и $d$ перпендикулярны (рис. 88). Укажите пары перпендикулярных отрезков, изображённых на рисунке.

Рис. 88

50. Прямые $c$ и $d$ перпендикулярны (рис. 88). Укажите пары перпендикулярных отрезков, изображённых на рисунке.

Рис. 88

По условию задачи прямые c и d перпендикулярны. Это означает, что угол, образованный их пересечением в точке E, равен $90^{\circ}$. Перпендикулярность прямых обозначается как $c \perp d$.

Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Чтобы найти все пары перпендикулярных отрезков, нужно определить, какие отрезки лежат на прямой c и какие на прямой d.

На рисунке изображены следующие отрезки, концы которых обозначены буквами:

• На прямой c лежит отрезок EP.
• На прямой d лежат отрезки EK, KF и EF.

Поскольку прямая c перпендикулярна прямой d, то любой отрезок, принадлежащий прямой c, будет перпендикулярен любому отрезку, принадлежащему прямой d. Составим все возможные пары из отрезков на этих прямых:

• Отрезок EP (с прямой c) и отрезок EK (с прямой d).
• Отрезок EP (с прямой c) и отрезок KF (с прямой d).
• Отрезок EP (с прямой c) и отрезок EF (с прямой d).

Ответ: $EP \perp EK$; $EP \perp KF$; $EP \perp EF$.