Страница 36 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Равные отрезки $MN$ и $KF$ пересекаются в точке $E$ так, что $ME : EN = KE : EF = 3 : 1$. Докажите, что $\triangle MEF = \triangle KEN$.

60. Равные отрезки MN и KF пересекаются в точке E так, что $ME : EN = KE : EF = 3 : 1$. Докажите, что $\Delta MEF = \Delta KEN$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MEF$ и $\triangle KEN$. Для доказательства их равенства воспользуемся данными из условия задачи.

По условию, отрезки $MN$ и $KF$ равны, то есть $MN = KF$.
Также известно, что точка $E$ делит эти отрезки в отношении $3:1$.

Для отрезка $MN$ имеем $ME : EN = 3 : 1$. Давайте введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $EN = x$, а $ME = 3x$. Длина всего отрезка $MN$ будет суммой его частей: $MN = ME + EN = 3x + x = 4x$.

Аналогично для отрезка $KF$ имеем $KE : EF = 3 : 1$. Введем коэффициент пропорциональности $y$, тогда $EF = y$, а $KE = 3y$. Длина всего отрезка $KF$ будет: $KF = KE + EF = 3y + y = 4y$.

Так как по условию $MN = KF$, мы можем приравнять выражения для их длин:
$4x = 4y$
Разделив обе части на 4, получим:
$x = y$

Это означает, что $EN = EF = x$ и $ME = KE = 3x$.

Теперь сравним элементы треугольников $\triangle MEF$ и $\triangle KEN$:

1. Сторона $ME$ треугольника $\triangle MEF$ равна стороне $KE$ треугольника $\triangle KEN$ ($ME = KE = 3x$).
2. Сторона $EF$ треугольника $\triangle MEF$ равна стороне $EN$ треугольника $\triangle KEN$ ($EF = EN = x$).
3. Угол $\angle MEF$ и угол $\angle KEN$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $MN$ и $KF$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle MEF = \angle KEN$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle MEF$ и $\triangle KEN$ две стороны и угол между ними соответственно равны. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), эти треугольники равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle MEF = \triangle KEN$ доказано на основании первого признака равенства треугольников, так как из условия следует, что $ME = KE$ и $EF = EN$, а углы $\angle MEF$ и $\angle KEN$ равны как вертикальные.

61. На рисунке 91 $AD = DC$, $\angle ADB = \angle CDB$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CBD$.

Рис. 91

61. На рисунке 91 $AD = DC$, $\angle ADB = \angle CDB$. Докажите, что $\Delta ABD = \Delta CBD$.

Чтобы доказать, что $ \triangle ABD = \triangle CBD $, рассмотрим эти два треугольника и сравним их соответствующие элементы.

Согласно условию задачи и данным на рисунке, мы имеем:

1. $ AD = DC $ (по условию, эти стороны отмечены одинаковыми штрихами).
2. $ \angle ADB = \angle CDB $ (по условию, эти углы отмечены одинаковыми дугами).
3. Сторона $ BD $ является общей для обоих треугольников, следовательно, она равна самой себе.

Таким образом, две стороны ($ AD $ и $ BD $) и угол между ними ($ \angle ADB $) в треугольнике $ \triangle ABD $ соответственно равны двум сторонам ($ DC $ и $ BD $) и углу между ними ($ \angle CDB $) в треугольнике $ \triangle CBD $.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), мы можем заключить, что $ \triangle ABD = \triangle CBD $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $ доказано на основании первого признака равенства треугольников.

62. На рисунке 92 серединные перпендикуляры $l_1$ и $l_2$ отрезков $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Найдите $OD$, если $OA = OC$ и $OB = 4$ см.

Рис. 92

62. На рисунке 92 серединные перпендикуляры $l_1$ и $l_2$ отрезков $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Найдите $OD$, если $OA = OC$ и $OB = 4$ см.

Рис. 92

По свойству серединного перпендикуляра, любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен.

1. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $l_1$ к отрезку $AB$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $OA = OB$.

2. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $l_2$ к отрезку $CD$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от точек $C$ и $D$, то есть $OC = OD$.

Согласно условию задачи, $OA = OC$ и $OB = 4$ см.

Объединим все полученные равенства в одну цепочку:

$OD = OC$ (по свойству серединного перпендикуляра $l_2$).

Так как по условию $OA = OC$, то $OD = OA$.

Так как $OA = OB$ (по свойству серединного перпендикуляра $l_1$), то $OD = OB$.

Поскольку $OB = 4$ см, то и $OD = 4$ см.

Ответ: 4 см.

63. Серединный перпендикуляр стороны $AB$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите сторону $AC$, если $BC = 12$ см, а периметр треугольника $АКС$ равен $18$ см.

63. Серединный перпендикуляр стороны $AB$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите сторону $AC$, если $BC = 12$ см, а периметр треугольника $AKC$ равен 18 см.

По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен. В данной задаче точка К лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB треугольника ABC. Следовательно, расстояние от точки К до вершины A равно расстоянию от точки К до вершины B.

Это означает, что длины отрезков AK и BK равны:

$AK = BK$

Периметр треугольника AKC ($P_{AKC}$) равен сумме длин всех его сторон:

$P_{AKC} = AC + KC + AK$

Согласно условию задачи, периметр треугольника AKC равен 18 см. Таким образом, мы можем записать уравнение:

$AC + KC + AK = 18$

Поскольку мы установили, что $AK = BK$, мы можем заменить $AK$ на $BK$ в уравнении периметра:

$AC + KC + BK = 18$

Точка K расположена на стороне BC, поэтому сумма длин отрезков $KC$ и $BK$ равна длине стороны $BC$:

$KC + BK = BC$

Из условия нам известно, что $BC = 12$ см. Подставим это значение в левую часть уравнения для периметра:

$AC + (KC + BK) = 18$

$AC + BC = 18$

Теперь подставим известную длину стороны BC:

$AC + 12 = 18$

Чтобы найти длину стороны AC, решим полученное уравнение:

$AC = 18 - 12$

$AC = 6$ см

Ответ: 6 см.

64. На рисунке 93 $BD = DE$, $\angle NBC = \angle DEF$. Докажите, что $\Delta ABD = \Delta FED$.

Рис. 93

64. На рисунке 93 $BD = DE$, $\angle NBC = \angle DEF$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle FED$.

Рис. 93

Для доказательства равенства треугольников $ΔABD$ и $ΔFED$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

1. Рассмотрим углы, образованные при пересечении прямых, на которых лежат отрезки $AC$ и $NE$. Углы $∠ABD$ и $∠NBC$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠ABD = ∠NBC$.

2. По условию задачи известно, что $∠NBC = ∠DEF$.

3. Из равенств $∠ABD = ∠NBC$ и $∠NBC = ∠DEF$ по свойству транзитивности следует, что $∠ABD = ∠DEF$.

4. Теперь рассмотрим углы, образованные при пересечении прямых, на которых лежат отрезки $AF$ и $NE$. Углы $∠ADB$ и $∠FDE$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они также равны: $∠ADB = ∠FDE$.

5. Теперь мы можем сравнить треугольники $ΔABD$ и $ΔFED$. Мы установили, что у них есть три пары соответственно равных элементов:
- $∠ABD = ∠DEF$ (по доказанному выше);
- $BD = DE$ (по условию);
- $∠ADB = ∠FDE$ (как вертикальные углы).

Сторона $BD$ и прилежащие к ней углы $∠ABD$ и $∠ADB$ в треугольнике $ΔABD$ соответственно равны стороне $DE$ и прилежащим к ней углам $∠DEF$ и $∠FDE$ в треугольнике $ΔFED$. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $ΔABD = ΔFED$.

Ответ: Равенство треугольников $ΔABD = ΔFED$ доказано.