Страница 40 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Перерисуйте в тетрадь рисунок 105. Проведите через точку $M$ прямые, параллельные прямым $a$ и $b$.

Рис. 105

89. Перерисуйте в тетрадь рисунок 105. Проведите через точку $M$ прямые, параллельные прямым $a$ и $b$.

Рис. 105

Для построения прямых, параллельных данным, необходимо сохранить их угол наклона. На клетчатой бумаге это удобно делать, определяя смещение по горизонтали и вертикали (шаг) для каждой прямой и повторяя его от заданной точки $M$.

Прямая, параллельная a

1. Определим наклон (шаг) прямой $a$. Выберем на ней две точки, расположенные в узлах сетки. Мы видим, что при смещении на 4 клетки вправо, прямая $a$ опускается на 1 клетку вниз.
2. Теперь построим новую прямую с таким же наклоном через точку $M$. Отложим от точки $M$ 4 клетки вправо и 1 клетку вниз — получим первую точку для новой прямой. Затем отложим от точки $M$ 4 клетки влево и 1 клетку вверх — получим вторую точку.
3. Соединим полученные точки прямой линией. Эта прямая, обозначим ее $a'$, будет проходить через точку $M$ и будет параллельна прямой $a$.
Ответ: Прямая, параллельная $a$, проведена через точку $M$.

Прямая, параллельная b

1. Определим наклон (шаг) прямой $b$. Мы видим, что при смещении на 4 клетки вправо, прямая $b$ поднимается на 1 клетку вверх.
2. Построим новую прямую с таким же наклоном через точку $M$. Отложим от точки $M$ 4 клетки вправо и 1 клетку вверх — получим первую точку. Затем отложим от точки $M$ 4 клетки влево и 1 клетку вниз — получим вторую точку.
3. Соединим полученные точки прямой линией. Эта прямая, обозначим ее $b'$, будет проходить через точку $M$ и будет параллельна прямой $b$.
Ответ: Прямая, параллельная $b$, проведена через точку $M$.

Результат построений показан на рисунке ниже. Искомые прямые ($a'$ и $b'$) выделены красным цветом.

90. На рисунке 106 $AB = BC$, $AD = DC$, $\angle BAC = \angle BCA$, $EK = KF$, $\angle EKP = \angle FKP$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 106

90. На рисунке 106 $AB = BC$, $AD = DC$, $\angle BAC = \angle BCA$, $EK = KF$, $\angle EKP = \angle FKP$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 106

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. Согласно условию задачи, $ AB = BC $. Это означает, что треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным с основанием $ AC $. В условии также указано, что $ AD = DC $, следовательно, точка $ D $ — это середина основания $ AC $. Отрезок $ BD $, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, является медианой.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $ BD \perp AC $. Так как прямая $ a $ проходит через отрезок $ BD $, то прямая $ a $ перпендикулярна прямой $ AC $.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle EKF $. По условию, $ EK = KF $. Это означает, что треугольник $ \triangle EKF $ также является равнобедренным с основанием $ EF $. Отрезок $ KP $ делит угол $ \angle EKF $ на два равных угла, так как $ \angle EKP = \angle FKP $. Следовательно, $ KP $ — это биссектриса угла $ \angle EKF $.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $ KP \perp EF $. Так как прямая $ b $ проходит через отрезок $ KP $, то прямая $ b $ перпендикулярна прямой $ EF $.

3. Точки $ A, D, C, E, P, F $ лежат на одной прямой, которую можно обозначить как $ AF $. Мы доказали, что прямая $ a \perp AF $ и прямая $ b \perp AF $.

Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны друг другу.

Таким образом, из того, что $ a \perp AF $ и $ b \perp AF $, следует, что $ a \parallel b $, что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $ a $ и $ b $ доказана.

91. Докажите, что прямые $b$ и $c$ параллельны (рис. 107).

Рис. 107

91. Докажите, что прямые $b$ и $c$ параллельны (рис. 107).

Рис. 107

Для доказательства того, что прямые b и c параллельны, воспользуемся свойствами параллельных и перпендикулярных прямых.

1. Рассмотрим прямые a и b, пересеченные секущей m. Из рисунка видно, что прямая m перпендикулярна прямой a (обозначено символом прямого угла), то есть $a \perp m$. Также прямая m перпендикулярна прямой b, то есть $b \perp m$.
Существует теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как прямые a и b перпендикулярны одной и той же прямой m, то они параллельны друг другу: $a \parallel b$.

2. Теперь рассмотрим прямые a и c, пересеченные секущей n. Аналогично, из рисунка следует, что $a \perp n$ и $c \perp n$.
Применяя ту же теорему, заключаем, что прямые a и c параллельны, так как обе перпендикулярны прямой n: $a \parallel c$.

3. Из первых двух пунктов мы получили, что $b \parallel a$ и $c \parallel a$.
Согласно свойству транзитивности параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), следует, что прямая b параллельна прямой c.

Таким образом, мы доказали, что прямые b и c параллельны.
Ответ: Утверждение доказано, прямые $b$ и $c$ параллельны ($b \parallel c$).

92. На рисунке 108 укажите все пары разносторонних, односторонних и соответственных углов.

Рис. 108

Разносторонние углы:

Внутренние:

$(\angle AEF, \angle DFE)$

$(\angle BEF, \angle CFE)$

Внешние:

$(\angle PEA, \angle DFK)$

$(\angle PEB, \angle CFK)$

Односторонние углы:

Внутренние:

$(\angle AEF, \angle CFE)$

$(\angle BEF, \angle DFE)$

Внешние:

$(\angle PEA, \angle CFK)$

$(\angle PEB, \angle DFK)$

Соответственные углы:

$(\angle PEA, \angle CFE)$

$(\angle PEB, \angle DFE)$

$(\angle AEF, \angle CFK)$

$(\angle BEF, \angle DFK)$

92. На рисунке 108 укажите все пары разносторонних, односторонних и соответственных углов.

Рис. 108

Внутренние:

• $\angle AEF$ и $\angle DFE$
• $\angle BEF$ и $\angle CFE$

Внешние:

• $\angle AEP$ и $\angle DFK$
• $\angle PEB$ и $\angle CFK$

Односторонние углы:

Внутренние:

• $\angle AEF$ и $\angle CFE$
• $\angle BEF$ и $\angle DFE$

Внешние:

• $\angle AEP$ и $\angle CFP$
• $\angle PEB$ и $\angle DFK$

Соответственные углы:

• $\angle AEP$ и $\angle CFE$
• $\angle AEF$ и $\angle CFK$
• $\angle PEB$ и $\angle EFD$
• $\angle FEB$ и $\angle DFK$

На рисунке изображены две прямые AB и CD, пересеченные третьей прямой (секущей) PK в точках E и F соответственно. При этом образуются различные пары углов, которые мы классифицируем ниже.

Это пары углов, которые лежат по разные стороны от секущей PK. Они делятся на внутренние (расположенные между прямыми AB и CD) и внешние (расположенные вне этих прямых).

• Внутренние разносторонние углы (или накрест лежащие): $∠AEF$ и $∠EFD$; $∠BEF$ и $∠EFC$.
• Внешние разносторонние углы: $∠AEP$ и $∠DFK$; $∠BEP$ и $∠CFK$.

Ответ: Пары разносторонних углов: ($∠AEF$, $∠EFD$), ($∠BEF$, $∠EFC$), ($∠AEP$, $∠DFK$), ($∠BEP$, $∠CFK$).

Это пары углов, которые лежат по одну сторону от секущей PK. Они также делятся на внутренние и внешние.

• Внутренние односторонние углы: $∠AEF$ и $∠EFC$; $∠BEF$ и $∠EFD$.
• Внешние односторонние углы: $∠AEP$ и $∠CFK$; $∠BEP$ и $∠DFK$.

Ответ: Пары односторонних углов: ($∠AEF$, $∠EFC$), ($∠BEF$, $∠EFD$), ($∠AEP$, $∠CFK$), ($∠BEP$, $∠DFK$).

Это пары углов, которые занимают одинаковое относительное положение при каждом пересечении. Один угол из пары является внутренним, а другой — внешним, и они лежат по одну сторону от секущей.

• $∠AEP$ и $∠EFC$ (оба угла "верхние левые" относительно своих пересечений).
• $∠AEF$ и $∠CFK$ (оба угла "верхние правые").
• $∠BEP$ и $∠EFD$ (оба угла "нижние левые").
• $∠BEF$ и $∠DFK$ (оба угла "нижние правые").

Ответ: Пары соответственных углов: ($∠AEP$, $∠EFC$), ($∠AEF$, $∠CFK$), ($∠BEP$, $∠EFD$), ($∠BEF$, $∠DFK$).

93. Параллельны ли прямые $m$ и $n$ на рисунке 109? Ответ обоснуйте.

Рис. 109

На рисунке показаны две прямые $m$ и $n$, пересеченные третьей прямой. Указаны углы:

• Верхний угол на прямой $m$: $116^\circ$
• Нижний угол на прямой $n$: $64^\circ$

Чтобы определить, параллельны ли прямые $m$ и $n$, можно рассмотреть сумму внутренних односторонних углов или другие пары углов.

Смежный угол к $116^\circ$ на прямой $m$ равен $180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.

Этот угол в $64^\circ$ и угол в $64^\circ$ на прямой $n$ являются внутренними накрест лежащими углами. Так как они равны ($64^\circ = 64^\circ$), то прямые $m$ и $n$ параллельны.

Или, можно рассмотреть внутренние односторонние углы. Угол, смежный с $116^\circ$, равен $180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$. Этот угол является внутренним односторонним с углом $64^\circ$ на прямой $n$. Их сумма составляет $64^\circ + 64^\circ = 128^\circ$. Поскольку сумма внутренних односторонних углов не равна $180^\circ$, это означает, что прямые НЕ параллельны. Моя предыдущая логика была неверной.

Перепроверим:Внутренние односторонние углы:Угол, смежный с $116^\circ$ и находящийся с той же стороны, что и $64^\circ$, равен $180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.Сумма внутренних односторонних углов: $64^\circ + 64^\circ = 128^\circ$.Так как $128^\circ \ne 180^\circ$, прямые $m$ и $n$ не параллельны.

Альтернативный подход:Соответственные углы. Угол, соответственный к $116^\circ$ на прямой $n$, будет находиться над прямой $n$ справа. Угол, вертикальный к $64^\circ$, равен $64^\circ$. Угол, смежный с $64^\circ$ на прямой $n$, равен $180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$. Этот угол является внутренним накрест лежащим углом к $116^\circ$ на прямой $m$.Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В данном случае, внутренние накрест лежащие углы равны $116^\circ$ и $116^\circ$ (смежный к $64^\circ$).Так, прямые $m$ и $n$ параллельны.

Обоснование:

Обозначим угол $116^\circ$ как $\alpha$ и угол $64^\circ$ как $\beta$.

Рассмотрим угол, смежный с $\beta$. Он равен $180^\circ - \beta = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

Этот угол ($116^\circ$) и угол $\alpha$ ($116^\circ$) являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $m$ и $n$ секущей.

По теореме о признаках параллельности прямых: если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Поскольку $116^\circ = 116^\circ$, прямые $m$ и $n$ параллельны.

93. Параллельны ли прямые $m$ и $n$ на рисунке 109? Ответ обоснуйте.

Рис. 109

$m$

$116^\circ$

$n$

$64^\circ$

Для того чтобы определить, параллельны ли прямые $m$ и $n$, необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллельности двух прямых при пересечении их третьей прямой (секущей). Основные признаки параллельности:

• внутренние накрест лежащие углы равны;
• соответственные углы равны;
• сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.

Проверим эти условия, используя данные с рисунка.

Способ 1. По внутренним накрест лежащим углам.

На рисунке даны два внутренних угла, расположенных по разные стороны от секущей — это внутренние накрест лежащие углы. Один из них равен $116^\circ$, а другой — $64^\circ$.
Согласно признаку параллельности, прямые были бы параллельны, если бы эти углы были равны.
Сравним их значения: $116^\circ \neq 64^\circ$.
Так как внутренние накрест лежащие углы не равны, прямые $m$ и $n$ не параллельны.

Способ 2. По внутренним односторонним углам.

Рассмотрим угол, смежный с углом $116^\circ$. Он также является внутренним и находится на той же прямой $m$. Его величина равна $180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.
Этот угол ($64^\circ$) и данный на рисунке угол при прямой $n$ ($64^\circ$) являются внутренними односторонними, так как они лежат по одну сторону от секущей.
Согласно признаку параллельности, прямые были бы параллельны, если бы сумма этих углов равнялась $180^\circ$.
Найдем их сумму: $64^\circ + 64^\circ = 128^\circ$.
Так как $128^\circ \neq 180^\circ$, прямые $m$ и $n$ не параллельны.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Прямые $m$ и $n$ не параллельны.