Страница 44 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине на 18° больше угла при основании.

109. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине на $18^\circ$ больше угла при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим величину одного угла при основании за $x$. Тогда и второй угол при основании будет равен $x$.

Согласно условию, угол при вершине на $18°$ больше угла при основании. Это означает, что угол при вершине равен $x + 18°$.

Сумма всех углов в любом треугольнике равна $180°$. Мы можем составить уравнение, сложив все три угла нашего треугольника: два угла при основании и один угол при вершине.

$x + x + (x + 18°) = 180°$

Теперь решим полученное уравнение:

$3x + 18° = 180°$

Вычтем $18°$ из обеих частей уравнения:

$3x = 180° - 18°$

$3x = 162°$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{162°}{3}$

$x = 54°$

Таким образом, мы нашли, что угол при основании равен $54°$. Так как в равнобедренном треугольнике два угла при основании, то оба они равны по $54°$.

Теперь найдем угол при вершине:

Угол при вершине = $x + 18° = 54° + 18° = 72°$.

Итак, углы треугольника равны $54°$, $54°$ и $72°$.

Выполним проверку: $54° + 54° + 72° = 108° + 72° = 180°$. Сумма углов верна.

Ответ: $54°$, $54°$, $72°$.

110. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как $3 : 5 : 7$.

110. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как $3 : 5 : 7$.

Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

По условию задачи, градусные меры углов треугольника относятся как $3:5:7$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда величины углов можно выразить следующим образом:
Первый угол: $3x$
Второй угол: $5x$
Третий угол: $7x$

Составим уравнение, исходя из того, что сумма этих углов равна $180^\circ$:
$3x + 5x + 7x = 180$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:
$15x = 180$
$x = \frac{180}{15}$
$x = 12$

Зная коэффициент пропорциональности, мы можем вычислить градусную меру каждого угла:
Первый угол = $3 \cdot 12 = 36^\circ$
Второй угол = $5 \cdot 12 = 60^\circ$
Третий угол = $7 \cdot 12 = 84^\circ$

Для проверки можно сложить полученные углы: $36^\circ + 60^\circ + 84^\circ = 180^\circ$. Сумма верна.

Ответ: $36^\circ, 60^\circ, 84^\circ$.

111. Один из углов треугольника равен $74^{\circ}$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным: 1) $75^{\circ}$; 2) $70^{\circ}$?

111. Один из углов треугольника равен $74^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным: 1) $75^\circ$; 2) $70^\circ$?

Согласно свойству внешнего угла треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Также из этого следует, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

В данной задаче один из внутренних углов равен $74^\circ$. Рассматриваемый внешний угол не является смежным с ним. Это означает, что данный угол $74^\circ$ является одним из двух внутренних углов, сумма которых равна этому внешнему углу. Следовательно, искомый внешний угол должен быть строго больше $74^\circ$.

1) 75°

Проверим, может ли внешний угол быть равен $75^\circ$. Сравним это значение с величиной не смежного с ним внутреннего угла: $75^\circ > 74^\circ$. Поскольку внешний угол больше внутреннего, не смежного с ним, такая ситуация возможна. В этом случае второй внутренний угол, не смежный с внешним, будет равен $75^\circ - 74^\circ = 1^\circ$. Третий внутренний угол (смежный с внешним) будет равен $180^\circ - (74^\circ + 1^\circ) = 105^\circ$. Треугольник с углами $74^\circ$, $1^\circ$, $105^\circ$ существует.

Ответ: да, может.

2) 70°

Проверим, может ли внешний угол быть равен $70^\circ$. Сравним это значение с величиной не смежного с ним внутреннего угла: $70^\circ > 74^\circ$. Это неравенство неверно ($70^\circ < 74^\circ$), что противоречит свойству внешнего угла треугольника. Следовательно, такая ситуация невозможна. Если бы мы предположили, что это возможно, то второй внутренний угол, не смежный с внешним, должен был бы быть равен $70^\circ - 74^\circ = -4^\circ$, что невозможно, так как мера угла в треугольнике не может быть отрицательной.

Ответ: нет, не может.

112. Один из внешних углов треугольника равен $146^\circ$, а один из углов треугольника, не смежный с ним, — $89^\circ$. Найдите второй угол треугольника, не смежный с данным внешним.

112. Один из внешних углов треугольника равен $146^\circ$, а один из углов треугольника, не смежный с ним, — $89^\circ$. Найдите второй угол треугольника, не смежный с данным внешним.

Согласно свойству внешнего угла треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

В условии задачи даны:

• Величина внешнего угла: $146^\circ$
• Величина одного из углов, не смежных с ним: $89^\circ$

Пусть искомый второй угол, не смежный с данным внешним, равен $x$.

Тогда, согласно свойству, мы можем составить следующее уравнение:
$146^\circ = 89^\circ + x$

Чтобы найти $x$, вычтем $89^\circ$ из $146^\circ$:
$x = 146^\circ - 89^\circ$
$x = 57^\circ$

Таким образом, второй угол треугольника, не смежный с данным внешним, равен $57^\circ$.

Ответ: $57^\circ$.

113. Один из внешних углов треугольника равен $126^\circ$. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из них на $22^\circ$ больше другого.

113. Один из внешних углов треугольника равен $126^\circ$. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из них на $22^\circ$ больше другого.

По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Пусть один из искомых углов равен $x$. Тогда второй угол, который на $22°$ больше, равен $x + 22°$.

Сумма этих двух углов равна величине внешнего угла, то есть $126°$. Составим уравнение:

$x + (x + 22°) = 126°$

$2x + 22° = 126°$

$2x = 126° - 22°$

$2x = 104°$

$x = \frac{104°}{2}$

$x = 52°$

Итак, один из углов равен $52°$.

Теперь найдем второй угол:

$52° + 22° = 74°$

Углы треугольника, не смежные с данным внешним углом, равны $52°$ и $74°$.

Ответ: $52°$ и $74°$.

114. Два внешних угла треугольника равны $107^\circ$ и $123^\circ$.

Найдите третий внешний угол треугольника.

114. Два внешних угла треугольника равны $107^\circ$ и $123^\circ$. Найдите третий внешний угол треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством о сумме внешних углов треугольника. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

По условию задачи, два внешних угла треугольника равны $107^\circ$ и $123^\circ$. Обозначим третий, неизвестный, внешний угол как $x$.

Согласно теореме о сумме внешних углов, мы можем составить следующее уравнение:

$107^\circ + 123^\circ + x = 360^\circ$

Сначала сложим известные углы:

$107^\circ + 123^\circ = 230^\circ$

Теперь подставим полученное значение обратно в уравнение:

$230^\circ + x = 360^\circ$

Чтобы найти $x$, вычтем $230^\circ$ из $360^\circ$:

$x = 360^\circ - 230^\circ$

$x = 130^\circ$

Таким образом, третий внешний угол треугольника равен $130^\circ$.

Ответ: $130^\circ$

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них на $18^\circ$ меньше другого. Сколько решений имеет задача?

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них на $18^\circ$ меньше другого. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике как минимум два угла равны (углы при основании). По условию, один из углов на $18^\circ$ меньше другого, следовательно, в треугольнике есть углы двух различных величин. Обозначим эти величины как $\alpha$ и $\beta$. Пусть $\alpha$ — больший угол, а $\beta$ — меньший. Тогда их связь выражается формулой $\alpha = \beta + 18^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике возможны два варианта распределения углов $\alpha$ и $\beta$.

Случай 1: Углы при основании меньше угла при вершине.

В этом случае два равных угла при основании равны $\beta$, а угол при вершине равен $\alpha$.

Сумма углов треугольника: $\beta + \beta + \alpha = 180^\circ$.

Подставим $\alpha = \beta + 18^\circ$ в уравнение:

$2\beta + (\beta + 18^\circ) = 180^\circ$

$3\beta + 18^\circ = 180^\circ$

$3\beta = 180^\circ - 18^\circ$

$3\beta = 162^\circ$

$\beta = 54^\circ$

Теперь найдем второй угол $\alpha$:

$\alpha = 54^\circ + 18^\circ = 72^\circ$

Таким образом, углы треугольника равны $54^\circ, 54^\circ$ и $72^\circ$.

Проверка: $54^\circ + 54^\circ + 72^\circ = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ$. Условие, что углы при основании ($\beta=54^\circ$) меньше угла при вершине ($\alpha=72^\circ$), выполняется.

Ответ: $54^\circ, 54^\circ, 72^\circ$.

Случай 2: Углы при основании больше угла при вершине.

В этом случае два равных угла при основании равны $\alpha$, а угол при вершине равен $\beta$.

Сумма углов треугольника: $\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ$.

Подставим $\beta = \alpha - 18^\circ$ в уравнение:

$2\alpha + (\alpha - 18^\circ) = 180^\circ$

$3\alpha - 18^\circ = 180^\circ$

$3\alpha = 180^\circ + 18^\circ$

$3\alpha = 198^\circ$

$\alpha = 66^\circ$

Теперь найдем второй угол $\beta$:

$\beta = 66^\circ - 18^\circ = 48^\circ$

Таким образом, углы треугольника равны $66^\circ, 66^\circ$ и $48^\circ$.

Проверка: $66^\circ + 66^\circ + 48^\circ = 132^\circ + 48^\circ = 180^\circ$. Условие, что углы при основании ($\alpha=66^\circ$) больше угла при вершине ($\beta=48^\circ$), выполняется.

Ответ: $66^\circ, 66^\circ, 48^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Мы рассмотрели все возможные случаи и получили два различных набора углов, удовлетворяющих условиям задачи. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: задача имеет 2 решения.

116. Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ABC$, если $\angle AOC = 125^\circ$.

116. Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ABC$, если $\angle AOC = 125^\circ$.

Пусть $AO$ и $CO$ — биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$. Точка $O$ — точка их пересечения.

Рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, для треугольника $AOC$ справедливо равенство:

$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$

По условию задачи, $\angle AOC = 125^\circ$. Подставим это значение в формулу и найдем сумму углов $\angle OAC$ и $\angle OCA$:

$\angle OAC + \angle OCA = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$

Так как $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно, то они делят эти углы пополам:

$\angle OAC = \frac{1}{2}\angle A$

$\angle OCA = \frac{1}{2}\angle C$

Подставим эти выражения в найденную сумму:

$\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle C = 55^\circ$

Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\frac{1}{2}(\angle A + \angle C) = 55^\circ$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму углов $A$ и $C$ в треугольнике $ABC$:

$\angle A + \angle C = 2 \cdot 55^\circ = 110^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^\circ$

Мы уже нашли, что $\angle A + \angle C = 110^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$\angle ABC + 110^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим искомый угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Ответ: $70^\circ$.

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $134^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен 134°. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть дан равнобедренный треугольник. Его углы можно обозначить как $\alpha$, $\alpha$ и $\beta$, где $\alpha$ — углы при основании, а $\beta$ — угол при вершине. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $2\alpha + \beta = 180^\circ$.При пересечении двух прямых (в данном случае биссектрис) образуются две пары вертикальных углов. Один из этих углов по условию равен $134^\circ$. Это тупой угол. Смежный с ним угол будет равен $180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$. Это острый угол.Рассмотрим различные случаи расположения биссектрис.

Случай 1: Пересечение биссектрис двух внутренних углов при основании
Пусть биссектрисы проведены из углов при основании $\alpha$. Они пересекаются в точке $O$, образуя вместе с основанием треугольника новый равнобедренный треугольник. Углы при основании этого нового треугольника равны $\frac{\alpha}{2}$. Угол при вершине $O$ (обозначим его $\theta_O$) равен $180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - \alpha$.Этот угол $\theta_O$ является одним из углов, образованных при пересечении биссектрис. Он должен быть равен либо $134^\circ$, либо $46^\circ$.1. Если $\theta_O = 134^\circ$:$134^\circ = 180^\circ - \alpha \implies \alpha = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$.Углы при основании равны $46^\circ$. Тогда угол при вершине $\beta = 180^\circ - 2 \cdot 46^\circ = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$.Получаем треугольник с углами $46^\circ, 46^\circ, 88^\circ$.2. Если $\theta_O = 46^\circ$:$46^\circ = 180^\circ - \alpha \implies \alpha = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$.Сумма двух углов при основании $2\alpha = 2 \cdot 134^\circ = 268^\circ$, что больше $180^\circ$. Такой треугольник невозможен.В этом случае есть только одно решение.
Ответ: Углы треугольника равны $46^\circ, 46^\circ, 88^\circ$.

Случай 2: Пересечение биссектрис внутреннего угла при основании и внутреннего угла при вершине
Пусть биссектрисы проведены из угла при основании $\alpha$ и угла при вершине $\beta$. Они пересекаются в точке $O$. В треугольнике, образованном двумя вершинами и точкой $O$, углы равны $\frac{\alpha}{2}$, $\frac{\beta}{2}$ и угол при вершине $O$, $\theta_O$.Сумма углов этого треугольника: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \theta_O = 180^\circ$.1. Если $\theta_O = 134^\circ$:$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ \implies \alpha + \beta = 92^\circ$.Получаем систему уравнений:$\begin{cases}\alpha + \beta = 92^\circ \\2\alpha + \beta = 180^\circ\end{cases}$Вычитая первое уравнение из второго, получаем: $\alpha = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$.Тогда $\beta = 92^\circ - 88^\circ = 4^\circ$.Получаем треугольник с углами $88^\circ, 88^\circ, 4^\circ$.2. Если $\theta_O = 46^\circ$:$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ \implies \alpha + \beta = 268^\circ$.Сумма двух углов треугольника не может превышать $180^\circ$. Такое решение невозможно.В этом случае также есть только одно решение.
Ответ: Углы треугольника равны $88^\circ, 88^\circ, 4^\circ$.

Случай 3: Пересечение биссектрисы внутреннего и внешнего углов
В условии задачи не уточнено, что биссектрисы должны быть внутренними. Рассмотрим случай пересечения биссектрисы внутреннего угла при основании и биссектрисы внешнего угла при другом основании.Пусть углы треугольника равны $\alpha, \alpha, \beta$. Угол, образованный биссектрисой внутреннего угла при одном основании и биссектрисой внешнего угла при другом, равен половине угла при вершине, то есть $\frac{\beta}{2}$.Этот угол должен быть равен $134^\circ$ или $46^\circ$.1. Если $\frac{\beta}{2} = 134^\circ$:$\beta = 268^\circ$, что невозможно для угла треугольника.2. Если $\frac{\beta}{2} = 46^\circ$:$\beta = 92^\circ$.Тогда углы при основании $\alpha = \frac{180^\circ - 92^\circ}{2} = \frac{88^\circ}{2} = 44^\circ$.Получаем треугольник с углами $44^\circ, 44^\circ, 92^\circ$.Эта интерпретация условия дает еще одно решение.
Ответ: Углы треугольника равны $44^\circ, 44^\circ, 92^\circ$.

Таким образом, задача имеет три возможных решения в зависимости от того, как проведены биссектрисы.

Ответ: Задача имеет 3 решения. Углы треугольника могут быть: 1) $46^\circ, 46^\circ, 88^\circ$; 2) $88^\circ, 88^\circ, 4^\circ$; 3) $44^\circ, 44^\circ, 92^\circ$.

118. В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и биссектриса $CM$. Найдите угол $HCM$, если $\angle BAC = 68^\circ$, $\angle ABC = 26^\circ$.

118. В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и биссектриса $CM$. Найдите угол $HCM$, если $\angle BAC = 68^{\circ}$, $\angle ABC = 26^{\circ}$.

Для решения задачи найдем последовательно несколько углов в треугольнике $ ABC $.

Сначала найдем величину третьего угла треугольника, $ \angle ACB $. Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $, следовательно:

$ \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC $

Подставим известные значения углов:

$ \angle ACB = 180^\circ - 68^\circ - 26^\circ = 86^\circ $.

По условию, $ CM $ является биссектрисой угла $ \angle ACB $. Это означает, что она делит угол $ \angle ACB $ на два равных угла: $ \angle ACM $ и $ \angle BCM $. Вычислим величину этих углов:

$ \angle ACM = \angle BCM = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{86^\circ}{2} = 43^\circ $.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ACH $. Он является прямоугольным, так как $ CH $ — высота, проведенная к стороне $ AB $, и, следовательно, $ \angle CHA = 90^\circ $. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $ 90^\circ $. Используя это свойство, найдем угол $ \angle ACH $:

$ \angle ACH = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ $.

Искомый угол $ \angle HCM $ — это разность между углами $ \angle ACM $ и $ \angle ACH $.

$ \angle HCM = \angle ACM - \angle ACH $

$ \angle HCM = 43^\circ - 22^\circ = 21^\circ $.

Ответ: $ 21^\circ $

119. Один из углов треугольника равен $110^\circ$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $30^\circ$. Найдите неизвестные углы треугольника.

119. Один из углов треугольника равен $110^\circ$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $30^\circ$. Найдите неизвестные углы треугольника.

Обозначим данный треугольник как $ \triangle ABC $, где $ \angle A = 110° $. Пусть $ AH $ — высота, а $ AL $ — биссектриса, проведённые из вершины $ A $. По условию, угол между ними $ \angle HAL = 30° $.

Сумма углов треугольника равна $ 180° $, следовательно, сумма двух других углов: $ \angle B + \angle C = 180° - \angle A = 180° - 110° = 70° $.

Биссектриса $ AL $ делит угол $ A $ пополам, поэтому: $ \angle CAL = \angle BAL = \frac{110°}{2} = 55° $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ACH $ (так как $ AH $ - высота, $ \angle AHC = 90° $). Сумма острых углов в нём равна $ 90° $, откуда: $ \angle CAH = 90° - \angle C $.

Угол между высотой и биссектрисой $ \angle HAL $ может быть найден как разность углов, которые они образуют с одной из сторон. В зависимости от соотношения углов $ \angle B $ и $ \angle C $ высота может оказаться по разные стороны от биссектрисы. Предположим, что высота $ AH $ лежит между биссектрисой $ AL $ и стороной $ AC $. Тогда: $ \angle HAL = \angle CAL - \angle CAH $ Подставим известные значения и полученные выражения: $ 30° = 55° - (90° - \angle C) $ $ 30° = 55° - 90° + \angle C $ $ 30° = -35° + \angle C $ $ \angle C = 30° + 35° = 65° $

Теперь найдём второй неизвестный угол $ \angle B $ из соотношения $ \angle B + \angle C = 70° $: $ \angle B = 70° - \angle C = 70° - 65° = 5° $.

Если бы высота $ AH $ лежала по другую сторону от биссектрисы (между стороной $AB$ и биссектрисой $AL$), расчёты привели бы к результату $ \angle B = 65° $ и $ \angle C = 5° $. В обоих случаях искомые углы одни и те же.

Ответ: неизвестные углы треугольника равны $ 5° $ и $ 65° $.

120. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $) проведена биссектриса $AD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $ \angle ADB = 102^\circ $.

120. В прямоугольном треугольнике $ABC (\angle C = 90^\circ)$ проведена биссектриса $AD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle ADB = 102^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Угол $\angle ADB$ является внешним углом для этого треугольника при вершине $D$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Следовательно, $\angle ADB = \angle DAC + \angle C$.

Из условия задачи известно, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, то есть $\angle C = 90^\circ$, и $\angle ADB = 102^\circ$. Подставим эти значения в уравнение:

$102^\circ = \angle DAC + 90^\circ$

Выразим и найдем угол $\angle DAC$:

$\angle DAC = 102^\circ - 90^\circ = 12^\circ$

По условию, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $\angle A$ (или $\angle BAC$). Это означает, что он делит угол $\angle BAC$ на два равных угла, $\angle DAC$ и $\angle DAB$.

Таким образом, весь угол $\angle BAC$ равен удвоенному углу $\angle DAC$:

$\angle BAC = 2 \cdot \angle DAC = 2 \cdot 12^\circ = 24^\circ$

Мы нашли один из острых углов треугольника $ABC$. Второй острый угол, $\angle B$ (или $\angle ABC$), можно найти, используя свойство суммы острых углов в прямоугольном треугольнике, которая равна $90^\circ$.

$\angle BAC + \angle ABC = 90^\circ$

Подставим найденное значение $\angle BAC$:

$24^\circ + \angle ABC = 90^\circ$

$\angle ABC = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$

Таким образом, острые углы треугольника $ABC$ равны $24^\circ$ и $66^\circ$.

Ответ: $24^\circ$ и $66^\circ$.

121. Высота $CH$ и биссектриса $AK$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $M$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle CMK = 64^\circ$.

121. Высота $CH$ и биссектриса $AK$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $M$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle CMK = 64^\circ$.

Дано: $\triangle ABC$ — прямоугольный, $\angle C = 90^{\circ}$.
$CH$ — высота ($CH \perp AB$).
$AK$ — биссектриса $\angle A$.
$CH \cap AK = M$.
$\angle CMK = 64^{\circ}$.
Найти: $\angle A$ и $\angle B$.

Решение:

1. Рассмотрим углы при точке пересечения $M$. Углы $\angle AMH$ и $\angle CMK$ являются вертикальными, поэтому они равны.$\angle AMH = \angle CMK = 64^{\circ}$.

2. Рассмотрим треугольник $AMH$. Поскольку $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$, то $\angle CHA = 90^{\circ}$. Следовательно, $\triangle AMH$ является прямоугольным, так как $\angle AHM = 90^{\circ}$.

3. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $AMH$ равна $90^{\circ}$.$\angle MAH + \angle AMH = 90^{\circ}$ - это неверно, сумма всех углов равна $180^\circ$.Правильно будет так: сумма углов в $\triangle AMH$ равна $180^{\circ}$.$\angle MAH + \angle AHM + \angle AMH = 180^{\circ}$.

4. Найдем угол $\angle MAH$ из $\triangle AMH$:$\angle MAH = 180^{\circ} - \angle AHM - \angle AMH$$\angle MAH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 64^{\circ} = 26^{\circ}$.

5. По условию, $AK$ — биссектриса угла $\angle A$. Точка $M$ лежит на $AK$, а точка $H$ — на $AB$, поэтому $\angle MAH$ является половиной угла $\angle A$.$\angle MAH = \frac{1}{2}\angle CAB = \frac{1}{2}\angle A$.Отсюда находим величину угла $A$:$\angle A = 2 \cdot \angle MAH = 2 \cdot 26^{\circ} = 52^{\circ}$.

6. Поскольку $\triangle ABC$ — прямоугольный, сумма его острых углов $\angle A$ и $\angle B$ равна $90^{\circ}$.$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$.Найдем угол $\angle B$:$\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 52^{\circ} = 38^{\circ}$.

Ответ: острые углы треугольника $ABC$ равны $52^{\circ}$ и $38^{\circ}$.