Страница 51 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

175. Перерисуйте в тетрадь рисунок 132. Постройте окружность, проходящую через точки A, B и C.

Рис. 132

175. Перерисуйте в тетрадь рисунок 132. Постройте окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $C$.

Рис. 132

Чтобы построить окружность, проходящую через три точки A, B и C, которые не лежат на одной прямой, нужно найти центр этой окружности. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Построение выполняется следующим образом:

1. Соединим точки A, B и C отрезками, чтобы получить треугольник ABC.

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку AC. Для этого с помощью циркуля из точек A и C как из центров проведем две дуги окружности одинакового радиуса (больше половины длины отрезка AC) так, чтобы они пересеклись. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром $m$ к отрезку AC. Поскольку на рисунке точки A и C расположены на одной вертикальной линии сетки, их серединный перпендикуляр будет представлять собой горизонтальную прямую, проходящую ровно посередине между ними.

3. Аналогичным образом построим серединный перпендикуляр $n$ к отрезку BC. Из точек B и C как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (больше половины длины отрезка BC), а затем через точки их пересечения проведем прямую $n$.

4. Найдем точку O, в которой пересекаются построенные перпендикуляры $m$ и $n$. Эта точка O и будет центром искомой окружности, так как она по свойству серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника A, B и C.

5. Установим ножку циркуля в найденный центр O, а грифель — в любую из точек A, B или C. Проведем окружность. Эта окружность пройдет через все три заданные точки, а ее радиус будет равен расстоянию от центра O до любой из этих точек, то есть $R = OA = OB = OC$.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB, BC или AC, и радиус, равный расстоянию от этого центра до любой из точек A, B или C.

176. Постройте касательную к данной окружности, образующую с данной прямой угол $30^\circ$. Сколько решений имеет задача?

176. Постройте касательную к данной окружности, образующую с данной прямой угол $30^\circ$. Сколько решений имеет задача?

Для построения воспользуемся свойством, что угол между двумя прямыми равен углу между их перпендикулярами.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке O и прямая $a$. Алгоритм построения следующий:

1. Провести через центр окружности O прямую $n$, перпендикулярную данной прямой $a$.
2. Поскольку искомая касательная $t$ должна образовывать с прямой $a$ угол $30^\circ$, то радиус $OT$, проведенный в точку касания $T$ (и перпендикулярный касательной $t$), должен образовывать с прямой $n$ (перпендикулярной прямой $a$) угол также в $30^\circ$.
3. Построить две прямые $r_1$ и $r_2$, проходящие через центр O и образующие с прямой $n$ угол $30^\circ$.
4. Найти точки пересечения прямых $r_1$ и $r_2$ с окружностью. Таких точек будет четыре: $T_1, T_2, T_3, T_4$.
5. В каждой из этих четырех точек провести прямую, перпендикулярную соответствующему радиусу. Эти четыре прямые и являются искомыми касательными.

Ответ: построение производится по шагам, описанным выше.

Проанализируем количество решений, которое дает предложенный алгоритм. Данный алгоритм построения всегда выполним, независимо от взаимного расположения окружности и прямой.

• Построение перпендикуляра $n$ к прямой $a$ через точку O всегда возможно и результат единственен.
• Построение двух прямых ($r_1$ и $r_2$), образующих с $n$ угол $30^\circ$, всегда возможно и дает ровно две прямые.
• Каждая из этих прямых, проходя через центр, пересекает окружность в двух точках. Всего получаем 4 различные точки касания.
• В каждой точке на окружности можно провести ровно одну касательную.

Таким образом, существует ровно 4 прямые, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 4.

177. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе треугольника, проведённой из вершины угла при основании, и углу при вершине.

177. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе треугольника, проведённой из вершины угла при основании, и углу при вершине.

Задача на построение равнобедренного треугольника по биссектрисе угла при основании и углу при вершине решается в четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый равнобедренный треугольник $ABC$ построен. Пусть $AC = BC$, $AB$ — основание. Угол при вершине $\angle C = \beta$ и биссектриса угла при основании $AD = l$ — известные величины.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle CAB + \angle CBA + \angle C = 180^\circ$. Отсюда $2\angle CAB + \beta = 180^\circ$, и мы можем выразить угол при основании через известный угол при вершине: $$ \angle CAB = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2} $$

Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle CAB$, она делит его на два равных угла: $$ \angle CAD = \angle DAB = \frac{\angle CAB}{2} = \frac{1}{2}\left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) = 45^\circ - \frac{\beta}{4} $$

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. В нем нам известна сторона $AD = l$ и два угла: $\angle C = \beta$ и $\angle CAD = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$. Третий угол $\angle ADC$ также можно найти: $$ \angle ADC = 180^\circ - (\angle C + \angle CAD) = 180^\circ - \left(\beta + 45^\circ - \frac{\beta}{4}\right) = 135^\circ - \frac{3\beta}{4} $$

Таким образом, мы можем построить треугольник $ADC$ по стороне $AD$ и двум прилежащим к ней углам $\angle CAD$ и $\angle ADC$. После того как треугольник $ADC$ будет построен, мы найдем вершины $A$ и $C$. Вершина $B$ искомого треугольника $ABC$ лежит на прямой, проходящей через точки $C$ и $D$. Также вершина $B$ лежит на луче, выходящем из точки $A$ и образующем с $AD$ угол $\angle DAB = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$. Точка $B$ — это точка пересечения этих двух прямых.

Ответ:

Построение

Пусть нам даны отрезок длины $l$ и угол $\beta$.

1. Построим вспомогательные углы, необходимые для построения треугольника $ADC$. Используя циркуль и линейку, построим биссектрисы, чтобы получить углы $\frac{\beta}{2}$ и $\frac{\beta}{4}$. Также построим прямой угол ($90^\circ$) и его биссектрису, чтобы получить угол $45^\circ$.
2. Построим угол $\angle CAD = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$ путем вычитания угла $\frac{\beta}{4}$ из угла $45^\circ$.
3. Построим угол $\angle ADC = 135^\circ - \frac{3\beta}{4}$. Это можно сделать, например, построив угол $135^\circ$ ($=90^\circ+45^\circ$) и вычтя из него угол $\frac{3\beta}{4}$ ($=\frac{\beta}{2}+\frac{\beta}{4}$).
4. На произвольной прямой отложим отрезок $AD$, равный $l$.
5. От луча $AD$ в одной полуплоскости отложим угол, равный $\angle CAD$, и проведем луч $AM$.
6. От луча $DA$ в той же полуплоскости отложим угол, равный $\angle ADC$, и проведем луч $DN$.
7. Точка $C$, в которой пересекаются лучи $AM$ и $DN$, является третьей вершиной треугольника $ADC$.
8. Проведем прямую через точки $C$ и $D$.
9. От луча $AD$ в ту же полуплоскость отложим угол, равный $\angle DAB = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$ так, чтобы он примыкал к стороне $AD$, но не совпадал с $\angle CAD$. Проведем луч $AK$.
10. Точка $B$, в которой пересекаются прямая $CD$ и луч $AK$, является третьей вершиной искомого треугольника.
11. Треугольник $ABC$ построен.

Ответ:

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ по построению равен $l$.

По построению $\angle CAD = \angle DAB = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$, следовательно, $AD$ является биссектрисой угла $\angle CAB$.

Величина угла $\angle CAB$ равна $\angle CAD + \angle DAB = (45^\circ - \frac{\beta}{4}) + (45^\circ - \frac{\beta}{4}) = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.

Угол $\angle C$ в треугольнике $ADC$ был построен так, что $\angle C = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - (45^\circ - \frac{\beta}{4}) - (135^\circ - \frac{3\beta}{4}) = \beta$.

Теперь найдем угол $\angle CBA$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому: $$ \angle CBA = 180^\circ - \angle CAB - \angle C = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) - \beta = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\beta}{2} - \beta = 90^\circ - \frac{\beta}{2} $$

Поскольку $\angle CAB = \angle CBA = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Исследование

Задача имеет решение, если возможно построить треугольник $ADC$. Для этого необходимо, чтобы все его углы были положительными.

• $\angle C = \beta > 0$.
• $\angle CAD = 45^\circ - \frac{\beta}{4} > 0 \implies 180^\circ > \beta$.
• $\angle ADC = 135^\circ - \frac{3\beta}{4} > 0 \implies 540^\circ > 3\beta \implies 180^\circ > \beta$.

Все эти условия сводятся к одному: $0^\circ < \beta < 180^\circ$. Это естественное ограничение для угла в треугольнике. Если это условие выполнено, то все углы для построения определены однозначно, и все шаги построения выполнимы и приводят к единственному (с точностью до конгруэнтности) решению.

Ответ:

178. Постройте равнобедренный треугольник по высоте, проведённой к боковой стороне и углу, который эта высота образует с основанием.

178. Постройте равнобедренный треугольник по высоте, проведённой к боковой стороне и углу, который эта высота образует с основанием.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$ построен. Пусть $AH$ — высота, проведённая к боковой стороне $BC$, и её длина равна заданному отрезку $h$. Пусть угол, который эта высота образует с основанием $AC$, равен заданному углу $\alpha$, то есть $\angle HAC = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В нём $\angle AHC = 90^\circ$, так как $AH$ — высота. Нам известны катет $AH = h$ и прилежащий к нему острый угол $\angle HAC = \alpha$. По катету и прилежащему острому углу прямоугольный треугольник можно построить однозначно. Таким образом, мы можем построить $\triangle AHC$.

После построения $\triangle AHC$ у нас будут определены вершины $A$ и $C$ искомого треугольника, а также его основание $AC$. В этом же треугольнике мы можем определить угол $\angle C$: $\angle C = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - \alpha$.

Поскольку $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = \angle C = 90^\circ - \alpha$.

Теперь задача сводится к построению треугольника $ABC$ по известной стороне $AC$ и двум прилежащим к ней равным углам. Это стандартная задача на построение, что доказывает возможность решения.

Построение

Пусть дан отрезок длины $h$ и угол $\alpha$.

1. Построим прямоугольный треугольник $AHC$.
а) Проведём произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $H$.
б) Восстановим перпендикуляр к прямой $l$ в точке $H$. На этом перпендикуляре отложим отрезок $HA$ длиной $h$.
в) От луча $HA$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$, так, чтобы вторая сторона угла пересекла прямую $l$. Точку пересечения обозначим $C$. В результате получим прямоугольный $\triangle AHC$.

2. Построим искомый равнобедренный треугольник $ABC$.
а) Вершины $A$ и $C$ уже построены. Отрезок $AC$ является основанием.
б) Угол $\angle BCA$ ($\angle HCA$) также уже построен.
в) С помощью циркуля и линейки построим угол $\angle CAB$, равный углу $\angle BCA$, отложив его от луча $AC$ в ту же полуплоскость относительно прямой $AC$, в которой лежит точка $H$.
г) Продлим луч, являющийся второй стороной построенного угла $\angle CAB$, до пересечения с прямой $l$. Точку пересечения обозначим $B$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный $\triangle ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.
1. По построению, $AH \perp BC$, так как прямая $l$ содержит сторону $BC$. Следовательно, $AH$ — высота, проведённая к боковой стороне. Её длина $AH = h$ по построению.
2. Угол между высотой $AH$ и основанием $AC$ равен $\alpha$ по построению ($\angle HAC = \alpha$).
3. В треугольнике $ABC$ углы при стороне $AC$ равны по построению: $\angle BAC = \angle BCA$. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$.

Все условия задачи выполнены, значит, построенный треугольник является искомым.

Исследование

Задача имеет решение, если описанные построения выполнимы.
Построение $\triangle AHC$ возможно, если луч, построенный в пункте 1(в), пересечет прямую $l$. Это произойдет тогда и только тогда, когда угол $\alpha$ является острым, то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Углы построенного треугольника $ABC$ будут равны: $\angle A = \angle C = 90^\circ - \alpha$ и $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - 2(90^\circ - \alpha) = 2\alpha$.
Для существования треугольника необходимо, чтобы все его углы были положительными. $\angle A = \angle C > 0 \implies 90^\circ - \alpha > 0 \implies \alpha < 90^\circ$.
$\angle B > 0 \implies 2\alpha > 0 \implies \alpha > 0$.
Таким образом, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при условии $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Ответ: План построения и доказательство его верности приведены выше.

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по отрезку, соединяющему середины его катетов.

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по отрезку, соединяющему середины его катетов.

Пусть дан отрезок $MN$, соединяющий середины катетов искомого равнобедренного прямоугольного треугольника.

Анализ

Пусть $ABC$ — искомый равнобедренный прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$ и катеты $AC = BC$. Пусть $M$ — середина катета $AC$, а $N$ — середина катета $BC$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольник $MCN$. Так как $M$ и $N$ — середины равных сторон $AC$ и $BC$, то отрезки $MC = \frac{1}{2}AC$ и $NC = \frac{1}{2}BC$ равны между собой. Угол $\angle MCN$ совпадает с прямым углом $\angle ACB$. Следовательно, треугольник $MCN$ также является равнобедренным прямоугольным, а данный отрезок $MN$ — его гипотенуза.

Таким образом, задача сводится к построению равнобедренного прямоугольного треугольника $MCN$ по его гипотенузе $MN$, а затем к достроению его до треугольника $ABC$. Вершина прямого угла $C$ равноудалена от точек $M$ и $N$ и находится на окружности, построенной на $MN$ как на диаметре. Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $MN$ и этой окружности.

Построение

1. Построим серединный перпендикуляр к данному отрезку $MN$. Для этого из точек $M$ и $N$ как из центров проведем две дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина длины $MN$). Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром к $MN$. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с отрезком $MN$ как $O$.

2. С центром в точке $O$ построим окружность радиусом $OM$.

3. Серединный перпендикуляр пересечет окружность в двух точках. Выберем одну из них и обозначим ее буквой $C$.

4. Соединим точку $C$ с точками $M$ и $N$. Полученный треугольник $MCN$ является равнобедренным прямоугольным.

5. Проведем луч из точки $C$ через точку $M$. На этом луче отложим от точки $M$ отрезок $MA$, равный отрезку $MC$.

6. Проведем луч из точки $C$ через точку $N$. На этом луче отложим от точки $N$ отрезок $NB$, равный отрезку $NC$.

7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

По построению, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $MN$, следовательно, $CM = CN$. Также точка $C$ лежит на окружности с диаметром $MN$, следовательно, вписанный угол $\angle MCN$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Таким образом, $\triangle MCN$ — равнобедренный прямоугольный.

По построению, $M$ является серединой отрезка $AC$ (так как $AM = MC$), а $N$ — серединой отрезка $BC$ (так как $BN = NC$).

Поскольку $CM = CN$, то и целые катеты равны: $AC = 2 \cdot CM = 2 \cdot CN = BC$.

Угол $\angle ACB$ совпадает с углом $\angle MCN$, следовательно $\angle ACB = 90^\circ$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным, и $MN$ — это отрезок, соединяющий середины его катетов. Построение выполнено верно.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым равнобедренным прямоугольным треугольником.

180. Постройте равносторонний треугольник по отрезку, соединяющему середины двух его сторон.

180. Постройте равносторонний треугольник по отрезку, соединяющему середины двух его сторон.

Пусть дан отрезок $MN$. Требуется построить равносторонний треугольник $ABC$ такой, что точки $M$ и $N$ являются серединами двух его сторон, например, $AB$ и $BC$ соответственно.

Анализ

Предположим, что искомый равносторонний треугольник $ABC$ построен. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $BC$.

1. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.
2. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
3. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, все его стороны равны ($AB = BC = AC$), и все углы равны $60^\circ$.
4. Из этого следует, что длина каждой стороны треугольника $ABC$ вдвое больше длины отрезка $MN$: $AB = BC = AC = 2 \cdot MN$.
5. Рассмотрим треугольник $MBN$. Точка $M$ — середина $AB$, поэтому $MB = \frac{1}{2}AB$. Точка $N$ — середина $BC$, поэтому $BN = \frac{1}{2}BC$.
6. Так как $AB = BC$, то $MB = BN$. Следовательно, треугольник $MBN$ — равнобедренный.
7. Угол $\angle MBN$ совпадает с углом $\angle ABC$ и равен $60^\circ$.
8. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Таким образом, треугольник $MBN$ — равносторонний, и все его стороны равны: $MB = BN = MN$.

Из анализа следует, что для построения искомого треугольника $ABC$ необходимо сначала построить равносторонний треугольник $MBN$ на данном отрезке $MN$. Вершина $B$ этого треугольника будет также вершиной искомого треугольника $ABC$. Затем, зная, что $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, можно найти вершины $A$ и $C$, удвоив отрезки $BM$ и $BN$.

Построение

1. На данном отрезке $MN$ строим равносторонний треугольник $MBN$. Для этого проводим две дуги окружностей с центрами в точках $M$ и $N$ и радиусом, равным длине отрезка $MN$. Точку их пересечения обозначаем $B$.
2. Проводим луч $BM$. На этом луче от точки $M$ откладываем отрезок $MA$, равный $MB$ (а значит, и $MN$), так, чтобы точка $M$ лежала между $A$ и $B$. Точка $A$ — одна из вершин искомого треугольника.
3. Аналогично проводим луч $BN$. На этом луче от точки $N$ откладываем отрезок $NC$, равный $NB$ (а значит, и $MN$), так, чтобы точка $N$ лежала между $B$ и $C$. Точка $C$ — третья вершина искомого треугольника.
4. Соединяем точки $A$ и $C$ отрезком.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

1. По построению, треугольник $MBN$ — равносторонний, следовательно, $MB = BN = MN$ и $\angle MBN = 60^\circ$.
2. По построению, $M$ — середина отрезка $AB$, так как $AM = MB$ и точки $A, M, B$ лежат на одной прямой. Значит, $AB = 2 \cdot MB$.
3. По построению, $N$ — середина отрезка $BC$, так как $NC = NB$ и точки $B, N, C$ лежат на одной прямой. Значит, $BC = 2 \cdot BN$.
4. Так как $MB = BN$, то $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.
5. Угол при вершине этого равнобедренного треугольника $\angle ABC$ совпадает с углом $\angle MBN$, который равен $60^\circ$.
6. Равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $60^\circ$, является равносторонним.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является равносторонним, а отрезок $MN$ соединяет середины двух его сторон, что и требовалось.

Ответ: Построение выполнено. Алгоритм и доказательство корректности приведены выше.

181. Постройте треугольник $ABC$ по его биссектрисе $AD$, углу $\angle BAC$ и углу $\angle ADC$.

181. Постройте треугольник $ABC$ по его биссектрисе $AD$, углу $BAC$ и углу $ADC$.

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по трем элементам: длине биссектрисы $AD$, углу при вершине $A$ ($\angle BAC$) и углу $\angle ADC$. Решение задачи включает в себя анализ, описание шагов построения, доказательство корректности и исследование условий, при которых задача имеет решение.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, точка $D$ лежит на стороне $BC$. По условию нам даны длина отрезка $AD$, величина угла $\angle BAC = \alpha$ и величина угла $\angle ADC = \delta$.

Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, она делит его на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. В этом треугольнике нам известны:

1. Длина стороны $AD$.
2. Величина угла $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.
3. Величина угла $\angle ADC = \delta$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ADC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. После того как треугольник $ADC$ будет построен, мы будем знать положение вершин $A$ и $C$, а также точки $D$. Вершина $B$ искомого треугольника $ABC$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она лежит на прямой, проходящей через точки $C$ и $D$.
2. Она лежит на луче, выходящем из точки $A$ так, что $\angle DAB = \frac{\alpha}{2}$, и этот луч находится в другой полуплоскости относительно прямой $AD$, чем луч $AC$.

Точка $B$ является точкой пересечения этих прямой и луча. На этом и основан план построения.

Построение

1. Построим угол, равный данному углу $\alpha$, и проведем его биссектрису с помощью циркуля и линейки, чтобы получить угол, равный $\frac{\alpha}{2}$.
2. На произвольной прямой отложим отрезок $AD$, равный данной длине биссектрисы.
3. От луча $AD$ отложим угол $\angle DAC$, равный построенному углу $\frac{\alpha}{2}$. Получим луч $l_1$.
4. От луча $DA$ в ту же полуплоскость отложим угол $\angle ADC$, равный данному углу $\delta$. Получим луч $l_2$.
5. Точка пересечения лучей $l_1$ и $l_2$ является вершиной $C$. Таким образом, треугольник $ADC$ построен.
6. Проведем прямую через точки $C$ и $D$.
7. От луча $AD$ в полуплоскость, не содержащую точку $C$, отложим угол $\angle DAB$, равный $\frac{\alpha}{2}$. Получим луч $l_3$.
8. Точка пересечения прямой $CD$ и луча $l_3$ является вершиной $B$.
9. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Искомый треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$:

• Отрезок $AD$ имеет заданную длину по построению (шаг 2).
• Угол $\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$ (по шагам 3 и 7).
• Так как $\angle BAD = \angle CAD$, то $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.
• Угол $\angle ADC$ равен $\delta$ по построению (шаг 4).
• Точка $D$ лежит на стороне $BC$ по построению (шаги 6 и 8).

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если построение выполнимо, то есть лучи, определяющие вершины $C$ и $B$, пересекаются, и образуют невырожденный треугольник.

1. Для существования треугольника $ADC$ необходимо, чтобы сумма двух его углов была меньше $180^\circ$: $\angle CAD + \angle ADC < 180^\circ$, то есть $\frac{\alpha}{2} + \delta < 180^\circ$. Если это условие выполняется, то третий угол $\angle C = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \delta)$ будет положительным.
2. Для существования треугольника $ABD$ рассмотрим его углы. $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$. Угол $\angle ADB$ является смежным с углом $\angle ADC$, поэтому $\angle ADB = 180^\circ - \delta$. Сумма этих двух углов должна быть меньше $180^\circ$: $\angle BAD + \angle ADB < 180^\circ$, то есть $\frac{\alpha}{2} + (180^\circ - \delta) < 180^\circ$. Упрощая, получаем $\frac{\alpha}{2} < \delta$. Если это условие выполняется, то третий угол $\angle B = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + 180^\circ - \delta) = \delta - \frac{\alpha}{2}$ будет положительным.

Таким образом, задача имеет единственное (с точностью до симметрии относительно прямой AD) решение при выполнении условий: $\frac{\alpha}{2} < \delta$ и $\frac{\alpha}{2} + \delta < 180^\circ$. Также по определению $\alpha > 0$ и $\delta > 0$.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника приведен в разделе Построение. Построение возможно и единственно при выполнении условий $\frac{\alpha}{2} < \delta < 180^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

182. Даны окружность радиуса $3 \text{ см}$ и принадлежащая ей точка M. Постройте точку, удалённую от точки M на $2 \text{ см}$ и от центра окружности на $1.5 \text{ см}$. Сколько решений имеет задача?

182. Даны окружность радиуса 3 см и принадлежащая ей точка M. Постройте точку, удалённую от точки M на 2 см и от центра окружности на 1,5 см. Сколько решений имеет задача?

Построение точки, удалённой от точки М на 2 см и от центра окружности на 1,5 см

Обозначим центр данной окружности буквой O. Её радиус по условию $R = 3$ см. Точка M принадлежит этой окружности, следовательно, расстояние от центра O до точки M равно радиусу: $OM = 3$ см.

Искомая точка, назовём её P, должна одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Расстояние от точки P до точки M должно быть равно 2 см. Геометрическим местом точек, удалённых от точки M на 2 см, является окружность с центром в точке M и радиусом $r_M = 2$ см.
2. Расстояние от точки P до центра O должно быть равно 1,5 см. Геометрическим местом точек, удалённых от точки O на 1,5 см, является окружность с центром в точке O и радиусом $r_O = 1,5$ см.

Таким образом, искомые точки P являются точками пересечения этих двух окружностей.

Алгоритм построения:

1. Строим окружность с центром в точке O и радиусом 3 см.
2. Выбираем на ней произвольную точку M.
3. Из точки M как из центра строим вторую окружность радиусом $r_M = 2$ см.
4. Из точки O как из центра строим третью окружность радиусом $r_O = 1,5$ см.
5. Точки пересечения второй и третьей окружностей являются искомыми.

Ответ: искомые точки находятся на пересечении двух окружностей: окружности с центром в M и радиусом 2 см и окружности с центром в O и радиусом 1,5 см.

Сколько решений имеет задача?

Количество решений задачи определяется количеством точек пересечения двух построенных вспомогательных окружностей: с центром M и радиусом $r_M = 2$ см и с центром O и радиусом $r_O = 1,5$ см.

Расстояние между центрами этих окружностей равно $d = OM = 3$ см.

Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами $d$ больше модуля разности их радиусов, но меньше их суммы. Проверим выполнение этого условия в виде неравенства: $$|r_M - r_O| < d < r_M + r_O$$

Вычислим сумму и разность радиусов:

• Сумма радиусов: $r_M + r_O = 2 + 1,5 = 3,5$ см.
• Модуль разности радиусов: $|r_M - r_O| = |2 - 1,5| = 0,5$ см.

Подставим известные значения в неравенство: $$0,5 \text{ см} < 3 \text{ см} < 3,5 \text{ см}$$

Неравенство является верным, следовательно, окружности пересекаются в двух различных точках. Это означает, что задача имеет два решения.

Ответ: задача имеет 2 решения.

183. Дан треугольник $FKP$. Постройте точку, равноудалённую от точек $F$ и $P$ и находящуюся на расстоянии 1,5 см от точки $K$. Сколько решений может иметь задача?

183. Дан треугольник $FKP$. Постройте точку, равноудалённую от точек $F$ и $P$ и находящуюся на расстоянии 1,5 см от точки $K$. Сколько решений может иметь задача?

Чтобы построить искомую точку, необходимо найти пересечение двух геометрических мест точек (ГМТ), удовлетворяющих заданным условиям.

1. Построение точки, равноудалённой от F и P

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек ($F$ и $P$), — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($FP$). Обозначим эту прямую как $m$.

Для построения прямой $m$ необходимо:

1. Соединить точки $F$ и $P$ отрезком.
2. Из точек $F$ и $P$ как из центров провести две дуги окружностей одинакового радиуса $R$, где $R > \frac{1}{2}FP$.
3. Через две точки пересечения этих дуг провести прямую. Эта прямая $m$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $FP$.

2. Построение точки, находящейся на расстоянии 1,5 см от K

Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии $r = 1,5$ см от данной точки $K$, — это окружность с центром в точке $K$ и радиусом $r = 1,5$ см.

Решение задачи и анализ количества решений

Искомая точка (или точки) должна удовлетворять обоим условиям, следовательно, она является точкой пересечения серединного перпендикуляра $m$ и окружности с центром в $K$ и радиусом 1,5 см.

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения прямой $m$ и этой окружности. Оно определяется расстоянием от центра окружности (точки $K$) до прямой $m$. Обозначим это расстояние как $d$.

• Если расстояние от $K$ до прямой $m$ меньше радиуса ($d < 1,5$ см), то прямая пересекает окружность в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.
• Если расстояние от $K$ до прямой $m$ равно радиусу ($d = 1,5$ см), то прямая касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние от $K$ до прямой $m$ больше радиуса ($d > 1,5$ см), то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Поскольку конкретный вид треугольника $FKP$ и, соответственно, расстояние от точки $K$ до серединного перпендикуляра отрезка $FP$ не заданы, возможен любой из трёх перечисленных случаев.

Ответ: В зависимости от вида треугольника $FKP$ задача может иметь два решения, одно решение или не иметь решений.

184. Прямая $a$ пересекает стороны угла $DEF$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии $1,5$ см от прямой $a$. Сколько решений может иметь задача?

184. Прямая $a$ пересекает стороны угла $DEF$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии $1{,}5 \text{ см}$ от прямой $a$. Сколько решений может иметь задача?

Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии 1,5 см от прямой а.

Для построения искомой точки используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Точка должна удовлетворять двум условиям:

1. Точка равноудалена от сторон угла $DEF$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, является биссектриса данного угла. Обозначим ее как луч $l$.
2. Точка находится на расстоянии 1,5 см от прямой $a$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, являются две прямые, $b_1$ и $b_2$, параллельные прямой $a$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии 1,5 см.

Следовательно, искомые точки являются точками пересечения луча $l$ с прямыми $b_1$ и $b_2$.

Алгоритм построения:

1. С помощью циркуля и линейки построить луч $l$ — биссектрису угла $DEF$.
2. Построить две прямые, $b_1$ и $b_2$, параллельные прямой $a$ и отстоящие от нее на 1,5 см. Для этого можно в двух точках прямой $a$ восставить перпендикуляры и отложить на них отрезки длиной 1,5 см в обе стороны. Затем через концы этих отрезков провести прямые, параллельные $a$.
3. Отметить точки пересечения луча $l$ с прямыми $b_1$ и $b_2$. Эти точки и будут искомыми.

Ответ: Построение искомой точки заключается в нахождении пересечения биссектрисы угла $DEF$ и пары прямых, параллельных прямой $a$ и отстоящих от неё на 1,5 см.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи равно количеству точек пересечения луча-биссектрисы $l$ с парой параллельных прямых $b_1$ и $b_2$. В зависимости от взаимного расположения прямой $a$ и угла $DEF$ (в частности, его вершины $E$ и биссектрисы $l$) возможны следующие случаи:

• 0 решений: если луч $l$ не пересекает ни одну из прямых $b_1$ и $b_2$. Это произойдет, если луч $l$ параллелен прямой $a$ (и расстояние до нее не равно 1,5 см) или если вершина угла $E$ находится вне полосы, образованной прямыми $b_1$ и $b_2$, а луч $l$ направлен в сторону от этой полосы.
• 1 решение: если луч $l$ пересекает ровно одну из прямых $b_1$ и $b_2$. Это произойдет, если вершина угла $E$ лежит строго между прямыми $b_1$ и $b_2$ (и луч $l$ не параллелен им), или если вершина $E$ лежит на одной из прямых $b_1$ или $b_2$, а луч $l$ направлен во внешнюю сторону от полосы.
• 2 решения: если луч $l$ пересекает обе прямые $b_1$ и $b_2$. Это произойдет, если вершина угла $E$ находится вне полосы между $b_1$ и $b_2$, а луч $l$ направлен внутрь полосы, или если вершина $E$ лежит на одной из прямых, а луч направлен внутрь полосы.
• Бесконечно много решений: это вырожденный случай, когда луч $l$ целиком лежит на одной из прямых $b_1$ или $b_2$. Это происходит, когда биссектриса угла $l$ параллельна прямой $a$ и расстояние от нее до прямой $a$ составляет ровно 1,5 см.

Ответ: В зависимости от взаимного расположения угла и прямой задача может иметь 0, 1, 2 или бесконечно много решений.

185. Постройте прямоугольный треугольник по разности катетов и углу, противолежащему меньшему из них.

185. Постройте прямоугольный треугольник по разности катетов и углу, противолежащему меньшему из них.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник – это $\triangle ABC$ с прямым углом $C$. Обозначим его катеты как $AC = b$ и $BC = a$. По условию задачи, $b > a$, и нам даны разность катетов $d = b - a$ и угол $\alpha = \angle A$, который противолежит меньшему катету $a$.

На большем катете $AC$ отложим от вершины $C$ отрезок $CD$, равный по длине меньшему катету $a$. Тогда точка $D$ окажется на отрезке $AC$, и длина отрезка $AD$ будет равна $AC - CD = b - a = d$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$, и равнобедренным, так как по построению $BC = CD = a$. Следовательно, углы при его основании $BD$ равны: $\angle CBD = \angle CDB = 45^\circ$.

Угол $\angle ADB$ и угол $\angle CDB$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Отсюда $\angle ADB = 180^\circ - \angle CDB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известна сторона $AD = d$, прилежащий к ней угол $\angle DAB = \alpha$ и другой прилежащий угол $\angle ADB = 135^\circ$. Такой треугольник можно построить по стороне и двум прилежащим к ней углам. После построения $\triangle ABD$ вершину $C$ можно найти, опустив перпендикуляр из точки $B$ на прямую, содержащую отрезок $AD$.

Построение

1. На произвольной прямой строим отрезок $AD$, длина которого равна данной разности катетов $d$.

2. От луча $AD$ строим угол $\angle DAK$, равный данному углу $\alpha$.

3. От луча $DA$ (в ту же полуплоскость относительно прямой $AD$, где и луч $AK$) строим угол $\angle ADM = 135^\circ$.

4. Точка $B$ находится на пересечении лучей $AK$ и $DM$.

5. Из точки $B$ опускаем перпендикуляр $BC$ на прямую $AD$.

6. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Построенный $\triangle ABC$ является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$ по построению. Также по построению $\angle A = \alpha$. Проверим, равна ли разность его катетов заданной величине $d$.

Рассмотрим $\triangle BCD$. Он прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$). Угол $\angle BDC$ смежен с углом $\angle ADB$. Так как по построению $\angle ADB = 135^\circ$, то $\angle BDC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Поскольку сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то $\angle CBD = 90^\circ - \angle BDC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как $\angle CBD = \angle BDC$, треугольник $BCD$ является равнобедренным, и, следовательно, $BC = CD$.

Из построения следует, что точка $D$ лежит между точками $A$ и $C$, поэтому $AC = AD + DC$.

Найдем разность катетов: $AC - BC = (AD + DC) - BC$. Так как $DC = BC$, получаем $AC - BC = (AD + BC) - BC = AD$.

По построению $AD=d$, значит, $AC - BC = d$.

Так как $d > 0$, то $AC > BC$, то есть катет $BC$ является меньшим, и угол $\alpha$ лежит напротив него, что соответствует условию задачи. Таким образом, построенный $\triangle ABC$ является искомым.

Исследование

Основой построения является нахождение вершины $B$ как точки пересечения двух лучей. Такое построение возможно и дает единственную точку $B$, если существует треугольник $ABD$ с заданными элементами: стороной $AD=d$ и прилежащими углами $\angle A = \alpha$ и $\angle D = 135^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle B$ должен быть равен: $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - (\alpha + 135^\circ) = 45^\circ - \alpha$.

Для существования треугольника необходимо, чтобы все его углы были положительными. Угол $\alpha$ должен быть больше нуля. Угол $135^\circ$ положителен. Требуется, чтобы и угол $\angle B = 45^\circ - \alpha$ был положительным. Это условие $45^\circ - \alpha > 0$ равносильно условию $\alpha < 45^\circ$.

Следовательно, задача имеет решение тогда и только тогда, когда $0 < \alpha < 45^\circ$.

Это ограничение также вытекает из условия задачи. Если в прямоугольном треугольнике $\alpha$ — это угол, противолежащий меньшему катету $a$, а $\beta$ — угол, противолежащий большему катету $b$, то $a < b$ влечет за собой $\alpha < \beta$. Так как $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $\alpha < 90^\circ - \alpha$, что приводит к неравенству $2\alpha < 90^\circ$, или $\alpha < 45^\circ$.

Таким образом, если дан угол $\alpha \ge 45^\circ$, то он не может быть противолежащим меньшему катету, и условия задачи становятся противоречивыми.

Вывод:

• Если $0 < \alpha < 45^\circ$, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).
• Если $\alpha \ge 45^\circ$, задача не имеет решений.

Ответ: Задача имеет единственное решение при $0 < \alpha < 45^\circ$ и не имеет решений при $\alpha \ge 45^\circ$.