Страница 57 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Могут ли два смежных угла быть равными:

1) $84^\circ$ и $96^\circ$;

2) $23^\circ$ и $147^\circ$?

35. Могут ли два смежных угла быть равными:
1) $84^\circ$ и $96^\circ$;
2) $23^\circ$ и $147^\circ$?

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой (являются продолжением друг друга). Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна развернутому углу, то есть $180^\circ$.

Чтобы ответить на вопрос, могут ли данные пары углов быть смежными, нужно для каждой пары проверить, равна ли их сумма $180^\circ$.

1) 84° и 96°

Найдем сумму этих двух углов:

$84^\circ + 96^\circ = 180^\circ$

Так как сумма углов равна $180^\circ$, они удовлетворяют свойству смежных углов.

Ответ: да, могут.

2) 23° и 147°

Найдем сумму этих двух углов:

$23^\circ + 147^\circ = 170^\circ$

Так как сумма углов не равна $180^\circ$ ($170^\circ \neq 180^\circ$), они не могут быть смежными.

Ответ: нет, не могут.

36. Найдите угол, смежный с углом:

1) $7^\circ$;

2) $179^\circ$.

36. Найдите угол, смежный с углом:

1) $7^{\circ}$;

2) $179^{\circ}$.

Смежные углы — это два угла, которые имеют общую вершину и одну общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга (образуют прямую линию). Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^{\circ}$.

Чтобы найти угол, смежный с данным, необходимо вычесть величину известного угла из $180^{\circ}$.

1)

Найдем угол, смежный с углом $7^{\circ}$. Для этого вычтем из $180^{\circ}$ величину известного угла:

$180^{\circ} - 7^{\circ} = 173^{\circ}$

Ответ: $173^{\circ}$.

2)

Найдем угол, смежный с углом $179^{\circ}$. Для этого вычтем из $180^{\circ}$ величину известного угла:

$180^{\circ} - 179^{\circ} = 1^{\circ}$

Ответ: $1^{\circ}$.

37. Запишите все пары смежных углов, изображённых на рисунке 147.

Рис. 147

$\angle AOC$ и $\angle COB$

$\angle COB$ и $\angle BOD$

$\angle BOD$ и $\angle DOA$

$\angle DOA$ и $\angle AOC$

37. Запишите все пары смежных углов, изображённых на

рисунке 147.

Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой (являются дополнительными полупрямыми). Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

На рисунке 147 изображены две прямые AB и CD, пересекающиеся в точке O. Они образуют четыре угла: $ \angle AOD $, $ \angle DOB $, $ \angle BOC $ и $ \angle COA $.

Чтобы найти все пары смежных углов, рассмотрим поочередно каждую прямую и углы, которые к ней прилегают:

1. Для прямой AB:

   • Углы $ \angle AOD $ и $ \angle DOB $ являются смежными. У них общая сторона OD, а стороны OA и OB образуют прямую AB.
   • Углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $ являются смежными. У них общая сторона OC, а стороны OA и OB образуют прямую AB.

2. Для прямой CD:

   • Углы $ \angle AOD $ и $ \angle AOC $ являются смежными. У них общая сторона OA, а стороны OD и OC образуют прямую CD.
   • Углы $ \angle DOB $ и $ \angle BOC $ являются смежными. У них общая сторона OB, а стороны OD и OC образуют прямую CD.

Всего на рисунке четыре пары смежных углов.

Ответ: ($ \angle AOD $ и $ \angle DOB $), ($ \angle DOB $ и $ \angle BOC $), ($ \angle BOC $ и $ \angle COA $), ($ \angle COA $ и $ \angle AOD $).

38. Один из смежных углов в 3 раза меньше другого. Найдите эти углы.

38. Один из смежных углов в 3 раза меньше другого. Найдите эти углы.

Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Пусть величина меньшего угла равна $x$.

По условию, один из углов в 3 раза меньше другого. Это означает, что больший угол в 3 раза больше меньшего. Следовательно, величина большего угла равна $3x$.

Составим уравнение, используя свойство смежных углов:
$x + 3x = 180^\circ$

Решим это уравнение:
$4x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{4}$
$x = 45^\circ$

Таким образом, меньший угол равен $45^\circ$.

Теперь найдем величину большего угла:
$3x = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

Итак, искомые углы — $45^\circ$ и $135^\circ$.

Ответ: $45^\circ$ и $135^\circ$.

39. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как 7 : 8.

39. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как 7 : 8.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

По условию задачи, градусные меры углов относятся как $7:8$. Обозначим один угол как $7x$, а другой — как $8x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности (градусная мера одной части).

Составим уравнение, исходя из свойства смежных углов:

$7x + 8x = 180^\circ$

Сложим слагаемые в левой части уравнения:

$15x = 180^\circ$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{180^\circ}{15}$

$x = 12^\circ$

Зная значение $x$, мы можем найти градусные меры каждого из углов:

Первый угол: $7x = 7 \cdot 12^\circ = 84^\circ$

Второй угол: $8x = 8 \cdot 12^\circ = 96^\circ$

Проверим: $84^\circ + 96^\circ = 180^\circ$. Решение верное.

Ответ: $84^\circ$ и $96^\circ$.

40. На рисунке 148 $\angle PSM$ равен $58^\circ$. Найдите углы $\angle PSN, \angle NSK, \angle KSM$.

Рис. 148

40. На рисунке 148 угол $PSM$ равен $58^\circ$. Найдите углы $PSN$, $NSK$, $KSM$.

Рис. 148

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые, которые образуют две пары вертикальных и четыре пары смежных углов.

PSN

Углы $∠PSM$ и $∠PSN$ являются смежными, так как их общая сторона $PS$, а две другие стороны $SM$ и $SN$ являются дополнительными лучами, образующими прямую $NM$. Сумма смежных углов равна $180°$.

Исходя из этого, мы можем найти угол $∠PSN$:

$∠PSN + ∠PSM = 180°$

$∠PSN = 180° - ∠PSM$

Подставляем известное значение $∠PSM = 58°$:

$∠PSN = 180° - 58° = 122°$

Ответ: $122°$

NSK

Углы $∠NSK$ и $∠PSM$ являются вертикальными, так как стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы равны.

Следовательно:

$∠NSK = ∠PSM$

$∠NSK = 58°$

Ответ: $58°$

KSM

Углы $∠KSM$ и $∠PSN$ являются вертикальными, поэтому они равны. Мы уже нашли, что $∠PSN = 122°$.

$∠KSM = ∠PSN = 122°$

Также угол $∠KSM$ можно найти как смежный с углом $∠PSM$. Их сумма равна $180°$, так как они образуют прямую $PK$.

$∠KSM + ∠PSM = 180°$

$∠KSM = 180° - ∠PSM = 180° - 58° = 122°$

Ответ: $122°$

41. На рисунке 149 $\angle FOK = 21^\circ$, $\angle MOD = 63^\circ$. Найдите угол $\angle NOH$.

Рис. 149

41. На рисунке 149 $\angle FOK = 21^\circ$, $\angle MOD = 63^\circ$. Найдите угол $\angle NOH$.

Рис. 149

Согласно рисунку, углы $ \angle FOK $, $ \angle KOM $ и $ \angle MOD $ вместе составляют развернутый угол $ \angle FOD $, так как точки F, O, и D лежат на одной прямой. Величина развернутого угла составляет $180^\circ$.

Поэтому мы можем составить следующее уравнение:
$ \angle FOK + \angle KOM + \angle MOD = 180^\circ $

Подставим в это уравнение известные значения из условия задачи: $ \angle FOK = 21^\circ $ и $ \angle MOD = 63^\circ $.
$ 21^\circ + \angle KOM + 63^\circ = 180^\circ $

Теперь решим уравнение, чтобы найти величину угла $ \angle KOM $:
$ \angle KOM + (21^\circ + 63^\circ) = 180^\circ $
$ \angle KOM + 84^\circ = 180^\circ $
$ \angle KOM = 180^\circ - 84^\circ $
$ \angle KOM = 96^\circ $

Углы $ \angle NOH $ и $ \angle KOM $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых (KH и MN). По свойству вертикальных углов, они равны друг другу.
$ \angle NOH = \angle KOM $

Следовательно, $ \angle NOH = 96^\circ $.

Ответ: $96^\circ$

42. На рисунке 150 $\angle PSQ + \angle QSF + \angle FSK = 300^{\circ}$. Найдите углы $PSQ$ и $QSF$.

Рис. 150

42. На рисунке 150 $\angle PSQ + \angle QSF + \angle FSK = 300^\circ$. Найдите углы $PSQ$ и $QSF$.

Рис. 150

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые, которые образуют четыре угла вокруг точки пересечения S. Сумма этих четырех углов составляет $360^\circ$.

$ \angle PSQ + \angle QSF + \angle FSK + \angle KSP = 360^\circ $

По условию задачи нам дана сумма трех из этих углов:

$ \angle PSQ + \angle QSF + \angle FSK = 300^\circ $

Используя эти два равенства, мы можем найти величину четвертого угла, $ \angle KSP $, вычтя второе уравнение из первого:

$ \angle KSP = 360^\circ - (\angle PSQ + \angle QSF + \angle FSK) = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ $

Углы $ \angle QSF $ и $ \angle KSP $ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых QK и PF и лежат друг против друга. Вертикальные углы равны. Следовательно:

$ \angle QSF = \angle KSP = 60^\circ $

Углы $ \angle PSQ $ и $ \angle QSF $ являются смежными, так как они имеют общую сторону QS, а две другие их стороны, PS и SF, образуют прямую линию PF. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$ \angle PSQ + \angle QSF = 180^\circ $

Теперь мы можем найти $ \angle PSQ $, подставив известное значение $ \angle QSF $:

$ \angle PSQ + 60^\circ = 180^\circ $

$ \angle PSQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $

Итак, мы нашли искомые углы.

Ответ: $ \angle PSQ = 120^\circ $, $ \angle QSF = 60^\circ $.