Страница 60 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Равные отрезки $DE$ и $PK$ пересекаются в точке $S$ так, что $DS : SE = PS : SK = 2 : 3$. Докажите, что $\Delta DSK = \Delta PSE$.

60. Равные отрезки $DE$ и $PK$ пересекаются в точке $S$ так, что $DS : SE = PS : SK = 2 : 3$. Докажите, что $\triangle DSK = \triangle PSE$.

Докажите, что $\Delta DSK = \Delta PSE$:

По условию задачи, равные отрезки $DE$ и $PK$ пересекаются в точке $S$. Это означает, что $DE = PK$.

Также даны отношения, в которых точка $S$ делит эти отрезки:

$DS : SE = 2 : 3$

$PS : SK = 2 : 3$

Введем коэффициент пропорциональности $k_1$ для отрезка $DE$. Тогда длины его частей можно выразить как $DS = 2k_1$ и $SE = 3k_1$. Полная длина отрезка $DE$ будет равна $DE = DS + SE = 2k_1 + 3k_1 = 5k_1$.

Аналогично введем коэффициент пропорциональности $k_2$ для отрезка $PK$. Тогда длины его частей можно выразить как $PS = 2k_2$ и $SK = 3k_2$. Полная длина отрезка $PK$ будет равна $PK = PS + SK = 2k_2 + 3k_2 = 5k_2$.

Поскольку по условию $DE = PK$, мы можем приравнять их длины:

$5k_1 = 5k_2$

Отсюда следует, что $k_1 = k_2$. Обозначим этот общий коэффициент как $k$.

Тогда длины отрезков, являющихся сторонами треугольников $\Delta DSK$ и $\Delta PSE$, равны:

• $DS = 2k$
• $SE = 3k$
• $PS = 2k$
• $SK = 3k$

Теперь сравним элементы треугольников $\Delta DSK$ и $\Delta PSE$ для доказательства их равенства:

1. Сторона $DS$ треугольника $\Delta DSK$ равна $2k$. Сторона $PS$ треугольника $\Delta PSE$ равна $2k$. Следовательно, $DS = PS$.
2. Сторона $SK$ треугольника $\Delta DSK$ равна $3k$. Сторона $SE$ треугольника $\Delta PSE$ равна $3k$. Следовательно, $SK = SE$.
3. Углы $\angle DSK$ и $\angle PSE$ являются вертикальными углами, так как они образованы при пересечении отрезков $DE$ и $PK$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle DSK = \angle PSE$.

Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\Delta DSK$ (стороны $DS$ и $SK$, и угол $\angle DSK$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\Delta PSE$ (стороны $PS$ и $SE$, и угол $\angle PSE$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\Delta DSK = \Delta PSE$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\Delta DSK$ и $\Delta PSE$ доказано по первому признаку равенства треугольников, так как из условий задачи следует, что $DS=PS$, $SK=SE$, и угол между этими сторонами $\angle DSK = \angle PSE$ (как вертикальные углы).

61. На рисунке 157 $BD = DC$, $\angle ADB = \angle ADC$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle ACD$.

Рис. 157

61. На рисунке 157 $BD = DC$, $\angle ADB = \angle ADC$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle ACD$.

Чтобы доказать, что $ \triangle ABD = \triangle ACD $, рассмотрим эти два треугольника и сравним их элементы.

Согласно первому признаку равенства треугольников, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Проверим выполнение этого условия для треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACD $:

1. Сторона $ BD $ в $ \triangle ABD $ равна стороне $ DC $ в $ \triangle ACD $ по условию задачи ($ BD = DC $).
2. Угол $ \angle ADB $ в $ \triangle ABD $ равен углу $ \angle ADC $ в $ \triangle ACD $ также по условию задачи ($ \angle ADB = \angle ADC $).
3. Сторона $ AD $ является общей для обоих треугольников, следовательно, она равна самой себе.

Таким образом, у нас есть две равные стороны ($ AD $ и $ BD $ в одном треугольнике, $ AD $ и $ DC $ в другом) и равный угол между ними ($ \angle ADB $ и $ \angle ADC $).

Следовательно, треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACD $ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACD $ равны, так как по условию $ BD = DC $ и $ \angle ADB = \angle ADC $, а сторона $ AD $ является общей, что соответствует первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

62. На рисунке 158 серединные перпендикуляры $l_1$ и $l_2$ отрезков $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Найдите $OA$, если $OB = OD$ и $OC = 7$ см.

Рис. 158

62. На рисунке 158 серединные перпендикуляры $l_1$ и $l_2$ отрезков $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Найдите $OA$, если $OB = OD$ и $OC = 7$ см.

Рис. 158

По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, к которому он проведён.

1. Прямая $l_1$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Точка $O$ принадлежит прямой $l_1$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AB$, то есть $OA = OB$.

2. Прямая $l_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $CD$. Точка $O$ принадлежит прямой $l_2$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от концов отрезка $CD$, то есть $OC = OD$.

3. По условию задачи нам даны следующие равенства: $OB = OD$ и $OC = 7$ см.

4. Объединим все известные нам равенства:

• Из пункта 1: $OA = OB$
• Из условия: $OB = OD$
• Из пункта 2: $OD = OC$

Таким образом, мы получаем цепочку равенств: $OA = OB = OD = OC$.

5. Из полученной цепочки следует, что $OA = OC$. Поскольку по условию $OC = 7$ см, то и $OA = 7$ см.

Ответ: 7 см.

63. Серединный перпендикуляр стороны $BC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Найдите периметр треугольника $AMB$, если $AB = 5$ см, $AC = 14$ см.

63. Серединный перпендикуляр стороны $BC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Найдите периметр треугольника $AMB$, если $AB = 5$ см, $AC = 14$ см.

Периметр треугольника $AMB$ ($P_{AMB}$) равен сумме длин его сторон: $P_{AMB} = AB + AM + MB$.

Согласно условию, точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен. Следовательно, расстояние от точки $M$ до вершины $B$ равно расстоянию до вершины $C$: $MB = MC$.

Заменим в формуле периметра отрезок $MB$ на равный ему отрезок $MC$: $P_{AMB} = AB + AM + MC$.

Поскольку точка $M$ лежит на стороне $AC$, то длина стороны $AC$ является суммой длин отрезков $AM$ и $MC$: $AC = AM + MC$.

Таким образом, выражение для периметра треугольника $AMB$ можно преобразовать, подставив $AC$ вместо суммы $AM + MC$: $P_{AMB} = AB + (AM + MC) = AB + AC$.

Подставим известные значения $AB = 5$ см и $AC = 14$ см в полученную формулу: $P_{AMB} = 5 + 14 = 19$ см.

Ответ: 19 см.

64. На рисунке 159 $BD = BF$, $\angle BDE = \angle BFK$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CBF$.

Рис. 159

64. На рисунке 159 $BD = BF$, $\angle BDE = \angle BFK$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CBF$.

Рис. 159

Для доказательства равенства треугольников $ΔABD$ и $ΔCBF$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для этого нам нужно показать, что у этих треугольников равны одна сторона и два прилежащих к ней угла.

1. Рассмотрим углы $∠ABD$ и $∠CBF$.

Эти углы являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AF$ и $CD$. По свойству вертикальных углов они равны:

$∠ABD = ∠CBF$.

2. Рассмотрим углы $∠ADB$ и $∠CFB$.

Угол $∠ADB$ является смежным с углом $∠BDE$, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $AE$. Сумма смежных углов равна $180°$, поэтому:

$∠ADB = 180° - ∠BDE$.

Аналогично, угол $∠CFB$ является смежным с углом $∠BFK$ на прямой $CK$. Поэтому:

$∠CFB = 180° - ∠BFK$.

По условию задачи дано, что $∠BDE = ∠BFK$. Так как равны эти углы, то равны и смежные с ними углы:

$∠ADB = 180° - ∠BDE = 180° - ∠BFK = ∠CFB$.

3. Сравним треугольники $ΔABD$ и $ΔCBF$.

Мы установили, что:

- $BD = BF$ (по условию задачи).

- $∠ABD = ∠CBF$ (как вертикальные углы).

- $∠ADB = ∠CFB$ (как смежные с равными углами).

Сторона $BD$ и прилежащие к ней углы $∠ABD$ и $∠ADB$ треугольника $ΔABD$ соответственно равны стороне $BF$ и прилежащим к ней углам $∠CBF$ и $∠CFB$ треугольника $ΔCBF$.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $ΔABD = ΔCBF$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔABD$ и $ΔCBF$ доказано на основании второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

65. На рисунке 160 $\angle BEC = \angle BDA, BE = BD$. Докажите, что $\angle BAD = \angle BCE$.

Рис. 160

65. На рисунке 160 $ \angle BEC = \angle BDA $, $ BE = BD $. Докажите, что $ \angle BAD = \angle BCE $.

Рис. 160

Для доказательства равенства углов $\angle BAD$ и $\angle BCE$ необходимо доказать равенство треугольников, в которые входят эти углы. Рассмотрим треугольники $\triangle BDA$ и $\triangle BEC$.

В этих треугольниках:

• $\angle B$ — является общим углом, следовательно, $\angle DBA = \angle EBC$.
• $BD = BE$ — по условию задачи.
• $\angle BDA = \angle BEC$ — по условию задачи.

Таким образом, мы видим, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle BDA$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle BEC$).

Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольники $\triangle BDA$ и $\triangle BEC$ равны.

$\triangle BDA \cong \triangle BEC$

Из равенства треугольников следует, что все их соответственные элементы равны. В данных треугольниках угол $\angle BAD$ является соответственным углу $\angle BCE$.

Следовательно, $\angle BAD = \angle BCE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

66. На рисунке 161 $CM = PA, \angle C = \angle A, \angle CPK = \angle AMK.$ Докажите, что $\angle CKM = \angle AKP.$

Рис. 161

66. На рисунке 161 $CM = PA$, $\angle C = \angle A$, $\angle CPK = \angle AMK$.

Докажите, что $\angle CKM = \angle AKP$.

Рис. 161

Для доказательства равенства углов $\angle CKM$ и $\angle AKP$ воспользуемся методом сравнения треугольников.

Доказательство

1. Рассмотрим треугольник $ACK$. Согласно условию задачи, $\angle C = \angle A$. В треугольнике $ACK$ эти углы являются углами при основании $AC$. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла треугольника равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ACK$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Таким образом, $CK = AK$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $CKM$ и $AKP$. Сравним их, используя данные из условия и результат, полученный в предыдущем пункте:

• $CM = PA$ (по условию).
• $\angle C = \angle A$ (по условию), что соответствует равенству углов $\angle KCM = \angle KAP$.
• $CK = AK$ (как доказано в п. 1).

Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника ($CK$, $CM$ и $\angle C$ в $\triangle CKM$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($AK$, $AP$ и $\angle A$ в $\triangle AKP$), то эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (признак СУС - сторона-угол-сторона).

Итак, $\triangle CKM = \triangle AKP$.

3. Из равенства треугольников следует равенство всех их соответственных элементов, включая углы. Угол $\angle CKM$ в треугольнике $CKM$ соответствует углу $\angle AKP$ в треугольнике $AKP$.

Следовательно, $\angle CKM = \angle AKP$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle CKM = \angle AKP$ доказано.