Страница 55 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Запишите все углы, изображённые на рисунке 140.

Рис. 140

а

$ \angle KMP $

$ \angle KMF $

$ \angle PMF $

б

$ \angle ONR $

$ \angle ONV $

$ \angle ONT $

$ \angle RNV $

$ \angle RNT $

$ \angle VNT $

21. Запишите все углы, изображённые на рисунке 140.

Рис. 140

а

$\angle KMP$, $\angle PMF$, $\angle KMF$

б

$\angle ONR$, $\angle ONT$, $\angle ONV$, $\angle RNT$, $\angle RNV$, $\angle TNV$

а

На рисунке 'а' изображена точка M, являющаяся общей вершиной для трёх лучей: MK, MP и MF. Эти лучи, исходящие из одной точки, образуют три разных угла:

1. Угол, сторонами которого являются лучи MK и MP. Обозначение: $\angle KMP$.
2. Угол, сторонами которого являются лучи MP и MF. Обозначение: $\angle PMF$.
3. Угол, сторонами которого являются лучи MK и MF. Этот угол является суммой двух предыдущих углов. Обозначение: $\angle KMF$.

Ответ: $\angle KMP$, $\angle PMF$, $\angle KMF$.

б

На рисунке 'б' изображена точка N, являющаяся общей вершиной для четырёх лучей: NO, NR, NT и NV. Комбинируя эти лучи попарно, можно выделить шесть различных углов с вершиной в точке N:

1. Угол, образованный лучами NO и NR. Обозначение: $\angle ONR$.
2. Угол, образованный лучами NO и NT. Обозначение: $\angle ONT$.
3. Угол, образованный лучами NO и NV. Обозначение: $\angle ONV$.
4. Угол, образованный лучами NR и NT. Обозначение: $\angle RNT$.
5. Угол, образованный лучами NR и NV. Обозначение: $\angle RNV$.
6. Угол, образованный лучами NT и NV. Обозначение: $\angle TNV$.

Ответ: $\angle ONR$, $\angle ONT$, $\angle ONV$, $\angle RNT$, $\angle RNV$, $\angle TNV$.

22. Начертите угол $ASB$ и проведите лучи $SK$ и $SP$ между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.

22. Начертите угол $\angle ASB$ и проведите лучи SK и SP между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.

Сначала начертим угол $ \angle ASB $. Это угол с вершиной в точке $S$ и сторонами в виде лучей $SA$ и $SB$.

Далее, согласно условию, проведем из вершины $S$ два луча, $SK$ и $SP$, которые будут располагаться между сторонами $SA$ и $SB$. В результате у нас будет четыре луча, исходящих из одной точки $S$. Для определенности предположим, что лучи идут в следующем порядке: $SA$, $SK$, $SP$, $SB$.

Чтобы найти все образовавшиеся углы, необходимо составить все возможные пары из этих четырех лучей ($SA$, $SK$, $SP$, $SB$). Вершина у всех углов будет одна и та же — точка $S$.

Перечислим все углы, последовательно составляя пары лучей:
1. Углы, которые образует луч $SA$ с остальными лучами: $ \angle ASK $, $ \angle ASP $, $ \angle ASB $.
2. Углы, которые образует луч $SK$ с лучами, расположенными после него (чтобы не повторять уже найденный угол $ \angle ASK $): $ \angle KSP $, $ \angle KSB $.
3. Угол, который образует луч $SP$ с последним лучом $SB$ (углы с $SA$ и $SK$ уже перечислены): $ \angle PSB $.

Таким образом, всего получилось 6 различных углов.

Ответ: $ \angle ASK $, $ \angle ASP $, $ \angle ASB $, $ \angle KSP $, $ \angle KSB $, $ \angle PSB $.

23. Пользуясь транспортиром, найдите градусные меры углов, изображённых на рисунке 141. Укажите вид каждого угла.

Рис. 141

Угол ABC: $ \angle ABC $

Угол AKB: $ \angle AKB $

Угол MDP: $ \angle MDP $

Угол SMD: $ \angle SMD $

Угол TPS: $ \angle TPS $

Угол NPR: $ \angle NPR $

Угол KOF: $ \angle KOF $

23. Пользуясь транспортиром, найдите градусные меры углов, изображённых на рисунке 141. Укажите вид каждого угла.

Рис. 141

$C$ $B$ $A$ $K$ $D$

$P$ $S$ $M$ $D$ $T$

$N$ $P$ $R$

$K$ $O$ $F$

Для решения задачи необходимо использовать транспортир, чтобы измерить каждый угол, а затем классифицировать его в зависимости от градусной меры. Углы классифицируются следующим образом:

• Острый угол: от $0^\circ$ до $90^\circ$.
• Прямой угол: ровно $90^\circ$.
• Тупой угол: от $90^\circ$ до $180^\circ$.
• Развернутый угол: ровно $180^\circ$.

Угол ABC

Чтобы измерить угол ABC, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла (точкой B), а одну из его сторон (например, луч BA) — с нулевым делением шкалы. Другая сторона угла (луч BC) пересечет шкалу на отметке, соответствующей градусной мере угла. Измерение показывает, что $ \angle ABC = 45^\circ $. Так как $ 0^\circ < 45^\circ < 90^\circ $, то угол ABC является острым.

Ответ: $ \angle ABC = 45^\circ $, острый.

Угол KDP

Проведя аналогичные измерения для угла KDP с вершиной в точке D, получаем его градусную меру: $ \angle KDP = 115^\circ $. Так как $ 90^\circ < 115^\circ < 180^\circ $, то угол KDP является тупым.

Ответ: $ \angle KDP = 115^\circ $, тупой.

Угол MST

Измерив угол MST с вершиной в точке S, получаем его градусную меру: $ \angle MST = 135^\circ $. Так как $ 90^\circ < 135^\circ < 180^\circ $, то угол MST является тупым.

Ответ: $ \angle MST = 135^\circ $, тупой.

Угол NPR

Измерив угол NPR с вершиной в точке P, получаем его градусную меру: $ \angle NPR = 35^\circ $. Так как $ 0^\circ < 35^\circ < 90^\circ $, то угол NPR является острым.

Ответ: $ \angle NPR = 35^\circ $, острый.

Угол KOF

Измерив угол KOF с вершиной в точке O, получаем его градусную меру: $ \angle KOF = 165^\circ $. Так как $ 90^\circ < 165^\circ < 180^\circ $, то угол KOF является тупым.

Ответ: $ \angle KOF = 165^\circ $, тупой.

24. Начертите угол, градусная мера которого равна:

1) $68^\circ$;

2) $93^\circ$;

3) $168^\circ$;

4) $90^\circ$.

Укажите вид каждого угла.

24. Начертите угол, градусная мера которого равна: 1) $68^{\circ}$; 2) $93^{\circ}$; 3) $168^{\circ}$; 4) $90^{\circ}$. Укажите вид каждого угла.

Для построения углов используется транспортир. Сначала чертится луч с началом в некоторой точке (вершине угла). Затем транспортир прикладывается так, чтобы его центр совпадал с вершиной угла, а нулевая отметка — с лучом. На шкале транспортира находится нужная градусная мера и ставится точка. Соединив эту точку с вершиной угла, получаем второй луч, образующий заданный угол.

Вид угла определяется его градусной мерой:

• Острый угол — угол, градусная мера которого меньше $90°$.
• Прямой угол — угол, градусная мера которого равна $90°$.
• Тупой угол — угол, градусная мера которого больше $90°$, но меньше $180°$.

1) 68°

Этот угол нужно начертить с помощью транспортира, отложив $68°$.
Так как $68° < 90°$, этот угол является острым.
Ответ: Острый угол.

2) 93°

Этот угол нужно начертить с помощью транспортира, отложив $93°$.
Так как $90° < 93° < 180°$, этот угол является тупым.
Ответ: Тупой угол.

3) 168°

Этот угол нужно начертить с помощью транспортира, отложив $168°$.
Так как $90° < 168° < 180°$, этот угол является тупым.
Ответ: Тупой угол.

4) 90°

Этот угол нужно начертить с помощью транспортира или угольника, отложив $90°$.
Так как градусная мера угла равна $90°$, этот угол является прямым.
Ответ: Прямой угол.

25. Начертите угол $MOD$, равный $78^\circ$. Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису.

25. Начертите угол MOD, равный $78^\circ$. Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно построить указанный угол, а затем провести его биссектрису. Для выполнения потребуется карандаш, линейка и транспортир.

1. Построение угла $\angle MOD$, равного 78°

• На листе бумаги с помощью линейки начертите луч OD, отметив его начало в точке O. Этот луч будет одной из сторон угла.
• Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой O (вершиной угла), а прямая линия основания транспортира (содержащая отметку 0°) прошла точно по лучу OD.
• Найдите на шкале транспортира деление 78°. Поставьте рядом с этим делением точку и обозначьте ее буквой M.
• Уберите транспортир и с помощью линейки проведите луч OM, соединив вершину O с точкой M.
• В результате этих действий будет построен угол $\angle MOD$, равный 78°.

2. Проведение биссектрисы угла $\angle MOD$

Биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла. Для построения биссектрисы необходимо сначала вычислить половину градусной меры исходного угла.

• Найдем половину угла $\angle MOD$: $78^\circ \div 2 = 39^\circ$.
• Снова приложите транспортир к построенному углу. Центр транспортира должен находиться в вершине O, а нулевая отметка должна быть совмещена с лучом OD.
• Найдите на шкале транспортира деление 39° и поставьте рядом с ним точку. Обозначим эту точку буквой K.
• Проведите луч OK из вершины O через точку K.
• Полученный луч OK является биссектрисой угла $\angle MOD$. Он делит его на два равных угла: $\angle MOK$ и $\angle KOD$.

Таким образом, мы получили, что $\angle MOK = \angle KOD = 39^\circ$. Для проверки можно убедиться, что их сумма равна исходному углу: $39^\circ + 39^\circ = 78^\circ$.

Ответ: Для проведения биссектрисы угла $\angle MOD$, равного 78°, необходимо разделить его градусную меру на два ($78^\circ \div 2 = 39^\circ$) и с помощью транспортира провести из вершины O луч OK так, чтобы угол $\angle KOD$ был равен 39°. Луч OK является искомой биссектрисой.

26. Луч $OD$ проходит между сторонами угла $AOB$. Найдите угол $BOD$, если $\angle AOB = 108^\circ$, $\angle AOD = 87^\circ$.

26. Луч $OD$ проходит между сторонами угла $AOB$. Найдите угол $BOD$, если $\angle AOB = 108^\circ$, $\angle AOD = 87^\circ$.

По условию задачи, луч $OD$ проходит между сторонами угла $AOB$. Это означает, что угол $AOB$ разделяется этим лучом на два смежных угла: $\angle AOD$ и $\angle BOD$.

Величина всего угла равна сумме величин его частей. Таким образом, справедливо следующее равенство (аксиома измерения углов):

$\angle AOB = \angle AOD + \angle BOD$

Нам известны значения углов $\angle AOB$ и $\angle AOD$:

$\angle AOB = 108^\circ$

$\angle AOD = 87^\circ$

Чтобы найти величину искомого угла $\angle BOD$, нужно из величины большего угла $\angle AOB$ вычесть величину его известной части $\angle AOD$:

$\angle BOD = \angle AOB - \angle AOD$

Подставим известные значения в формулу и выполним вычисление:

$\angle BOD = 108^\circ - 87^\circ = 21^\circ$

Ответ: $21^\circ$.

27. Луч SE проходит между сторонами угла $\angle ASB$, равного $94^\circ$. Найдите углы $\angle ESA$ и $\angle ESB$, если угол $\angle ESA$ на $32^\circ$ меньше угла $\angle ESB$.

27. Луч $SE$ проходит между сторонами угла $ASB$, равного $94^\circ$. Найдите углы $ESA$ и $ESB$, если угол $ESA$ на $32^\circ$ меньше угла $ESB$.

Поскольку луч SE проходит между сторонами угла ASB, то величина угла ASB равна сумме величин углов ESA и ESB. Это можно записать в виде формулы:
$∠ASB = ∠ESA + ∠ESB$

Из условия задачи мы знаем, что $∠ASB = 94°$. Также нам известно, что угол ESA на $32°$ меньше угла ESB.

Давайте введем переменную. Пусть величина угла ESB будет равна $x$.
Тогда, так как угол ESA на $32°$ меньше, его величина будет равна $x - 32°$.

Теперь подставим известные значения и выражения в нашу формулу:
$94° = (x - 32°) + x$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$94° = 2x - 32°$
$94° + 32° = 2x$
$126° = 2x$
$x = \frac{126°}{2}$
$x = 63°$

Мы нашли $x$, что соответствует величине угла ESB.
$∠ESB = 63°$

Теперь найдем величину угла ESA:
$∠ESA = x - 32° = 63° - 32° = 31°$

Для проверки сложим найденные углы: $31° + 63° = 94°$, что равно величине угла ASB.

Ответ: $∠ESA = 31°$, $∠ESB = 63°$.

28. Прямой угол разделили на 3 угла, градусные меры которых относятся как $3 : 4 : 8$. Найдите величины этих углов.

28. Прямой угол разделили на 3 угла, градусные меры которых относятся как $3 : 4 : 8$. Найдите величины этих углов.

Прямой угол равен $90^\circ$. Согласно условию, его разделили на три угла, градусные меры которых относятся как $3:4:8$.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда величины трех углов будут равны $3x$, $4x$ и $8x$.

Сумма этих трех углов равна величине прямого угла, то есть $90^\circ$. Составим уравнение:

$3x + 4x + 8x = 90$

Сложим коэффициенты при $x$:

$(3+4+8)x = 90$

$15x = 90$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 15:

$x = \frac{90}{15}$

$x = 6$

Теперь, зная коэффициент пропорциональности, можем найти величину каждого из трех углов:

• Первый угол: $3x = 3 \cdot 6 = 18^\circ$
• Второй угол: $4x = 4 \cdot 6 = 24^\circ$
• Третий угол: $8x = 8 \cdot 6 = 48^\circ$

Проверим, что сумма найденных углов действительно равна $90^\circ$:

$18^\circ + 24^\circ + 48^\circ = 42^\circ + 48^\circ = 90^\circ$

Ответ: $18^\circ, 24^\circ, 48^\circ$.