Страница 49 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 3 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых больше 5 см.

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 3 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых больше 5 см.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, расстояние между которыми равно 3 см. Обозначим искомое геометрическое место точек (ГМТ) как $S$. Точка $M$ принадлежит $S$, если сумма расстояний от нее до прямых $a$ и $b$ (обозначим их $d_a$ и $d_b$ соответственно) больше 5 см. То есть, $d_a + d_b > 5$.

Вся плоскость делится прямыми $a$ и $b$ на три области. Рассмотрим каждую из них.

1. Точка $M$ находится в полосе между прямыми $a$ и $b$ (включая сами прямые). Для любой такой точки сумма расстояний до прямых $a$ и $b$ равна расстоянию между этими прямыми: $d_a + d_b = 3$ см. Так как неравенство $3 > 5$ является ложным, ни одна точка из этой области не принадлежит искомому ГМТ.

2. Точка $M$ находится в полуплоскости, ограниченной прямой $a$ и не содержащей прямую $b$. Пусть расстояние от $M$ до прямой $a$ равно $x$, то есть $d_a = x$, где $x > 0$. Тогда расстояние от $M$ до прямой $b$ будет равно $d_b = x + 3$. Сумма расстояний в этом случае составляет $d_a + d_b = x + (x+3) = 2x+3$. Условие $d_a + d_b > 5$ принимает вид $2x+3 > 5$, откуда $2x > 2$, и $x > 1$. Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии более 1 см от прямой $a$. Геометрически это открытая полуплоскость, ограниченная прямой $c$, параллельной $a$ и отстоящей от нее на 1 см в сторону, противоположную прямой $b$.

3. Точка $M$ находится в полуплоскости, ограниченной прямой $b$ и не содержащей прямую $a$. Пусть расстояние от $M$ до прямой $b$ равно $y$, то есть $d_b = y$, где $y > 0$. Тогда расстояние от $M$ до прямой $a$ будет равно $d_a = y + 3$. Сумма расстояний составляет $d_a + d_b = (y+3) + y = 2y+3$. Условие $d_a + d_b > 5$ принимает вид $2y+3 > 5$, откуда $2y > 2$, и $y > 1$. Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии более 1 см от прямой $b$. Геометрически это открытая полуплоскость, ограниченная прямой $d$, параллельной $b$ и отстоящей от нее на 1 см в сторону, противоположную прямой $a$.

Объединяя результаты, получаем, что искомое ГМТ состоит из двух открытых полуплоскостей.

Ответ: Искомое ГМТ — это объединение двух открытых полуплоскостей. Эти полуплоскости лежат вне полосы, образованной исходными прямыми. Границей одной полуплоскости является прямая, параллельная данным и удаленная на 1 см от первой из них (с внешней стороны полосы). Границей другой полуплоскости является прямая, параллельная данным и удаленная на 1 см от второй из них (также с внешней стороны).

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $C$. На касательной по разные стороны от точки $C$ отметили точки $A$ и $B$ такие, что $CA = CB$. Найдите $OA$, если $OB = 9$ см.

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $C$. На касательной по разные стороны от точки $C$ отметили точки $A$ и $B$ такие, что $CA = CB$. Найдите $OA$, если $OB = 9$ см.

Рассмотрим треугольники $ \triangle OCA $ и $ \triangle OCB $.

Поскольку прямая, содержащая отрезок $AB$, касается окружности в точке $C$, а $OC$ является радиусом, проведенным в точку касания, то по свойству касательной радиус перпендикулярен касательной. Следовательно, $OC \perp AB$.

Это означает, что углы $ \angle OCA $ и $ \angle OCB $ являются прямыми, то есть $ \angle OCA = \angle OCB = 90^\circ $. Таким образом, треугольники $ \triangle OCA $ и $ \triangle OCB $ являются прямоугольными.

Сравним эти два треугольника:

1. $OC$ — общая сторона (общий катет).
2. $CA = CB$ (по условию задачи, второй катет).

Так как два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам).

Следовательно, $ \triangle OCA = \triangle OCB $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Гипотенуза $OA$ треугольника $ \triangle OCA $ соответствует гипотенузе $OB$ треугольника $ \triangle OCB $. Значит, $OA = OB$.

По условию задачи $OB = 9$ см, следовательно, $OA = 9$ см.

Ответ: 9 см.

164. На рисунке 128 прямая $AC$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$. Найдите $\angle BAC$, если $\angle AOB = 108^\circ$.

Рис. 128

164. На рисунке 128 прямая AC касается окружности с центром O в точке A. Найдите $\angle BAC$, если $\angle AOB = 108^\circ$.

Рис. 128

Рассмотрим треугольник $ΔAOB$. Так как отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$, то их длины равны: $OA = OB$. Это означает, что треугольник $ΔAOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $∠OAB = ∠OBA$. Сумма углов любого треугольника составляет $180°$. Применительно к треугольнику $ΔAOB$ это записывается как:

$∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°$

Используя равенство углов при основании и известное из условия значение центрального угла $∠AOB = 108°$, получаем уравнение:

$2 \cdot ∠OAB + 108° = 180°$

Решим это уравнение относительно $∠OAB$:

$2 \cdot ∠OAB = 180° - 108°$

$2 \cdot ∠OAB = 72°$

$∠OAB = \frac{72°}{2} = 36°$

Прямая $AC$ является касательной к окружности в точке $A$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В данном случае радиус $OA$ перпендикулярен касательной $AC$. Следовательно, угол между ними равен $90°$:

$∠OAC = 90°$

Из рисунка видно, что угол $∠OAC$ состоит из двух углов: $∠OAB$ и искомого угла $∠BAC$. Таким образом, мы можем записать:

$∠OAC = ∠OAB + ∠BAC$

Подставим известные значения углов в это равенство:

$90° = 36° + ∠BAC$

Теперь выразим и найдем $∠BAC$:

$∠BAC = 90° - 36° = 54°$

Ответ: $54°$

165. На рисунке 129 две окружности имеют общий центр O. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные AB и CD, пересекающиеся в точке K. Найдите радиус меньшей окружности, если $AK = 2$ см, $BK = 6$ см.

165. На рисунке 129 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $K$. Найдите радиус меньшей окружности, если $AK = 2 \, \text{см}$, $BK = 6 \, \text{см}$.

Рис. 129

Пусть $r$ — радиус меньшей окружности, а $R$ — радиус большей окружности. Центр обеих окружностей находится в точке $O$.

Проведем из центра $O$ радиусы к точкам касания. Пусть $M$ — точка касания прямой $AB$ с меньшей окружностью, а $N$ — точка касания прямой $CD$ с меньшей окружностью.

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.

Рассмотрим четырехугольник $OMKN$. В нем три угла прямые: $\angle OMK = 90^\circ$ (так как $OM \perp AB$), $\angle ONK = 90^\circ$ (так как $ON \perp CD$) и $\angle MKN = 90^\circ$ (по условию, $AB \perp CD$). Следовательно, $OMKN$ — прямоугольник.

Поскольку $OM$ и $ON$ являются радиусами одной и той же (меньшей) окружности, их длины равны: $OM = ON = r$. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. Значит, четырехугольник $OMKN$ — квадрат, и все его стороны равны $r$, в том числе $MK = r$.

Теперь обратимся к большей окружности. Прямая $AB$ пересекает ее в точках $A$ и $B$, следовательно, отрезок $AB$ — это хорда большей окружности. Отрезок $OM$ перпендикулярен хорде $AB$ и выходит из центра окружности $O$.

По свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Значит, точка $M$ является серединой хорды $AB$.

Длина хорды $AB$ складывается из длин отрезков $AK$ и $BK$:
$AB = AK + BK = 2 \text{ см} + 6 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, то:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}$.

Точки $A$, $K$ и $M$ лежат на одной прямой $AB$. Нам известны длины отрезков $AK = 2$ см и $AM = 4$ см. Так как $AK < AM$, точка $K$ находится между точками $A$ и $M$. Это позволяет нам записать следующее равенство:
$AM = AK + KM$.

Как мы установили ранее, $KM = r$ (как сторона квадрата $OMKN$). Подставим известные значения в полученное уравнение:
$4 = 2 + r$.

Из этого уравнения находим радиус $r$:
$r = 4 - 2 = 2 \text{ см}$.

Ответ: $2$ см.

166. На рисунке 130 две окружности имеют общий центр O. Через точку A большой окружности проведены касательные AB и AC к меньшей окружности. Найдите радиус меньшей окружности, если радиус большей равен 8 см, а $\angle BAC = 60^\circ$.

Рис. 130

166. На рисунке 130 две окружности имеют общий центр $O$. Через точку $A$ большей окружности проведены касательные $AB$ и $AC$ к меньшей окружности. Найдите радиус меньшей окружности, если радиус большей равен 8 см, а $\angle BAC = 60^\circ$.

Рис. 130

Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей окружности. Центр обеих окружностей — точка $O$.

Точка $A$ лежит на большей окружности, следовательно, расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно радиусу большей окружности. Таким образом, $OA = R = 8$ см.

Из точки $A$ к меньшей окружности проведены две касательные $AB$ и $AC$. Пусть $D$ — точка касания прямой $AB$ с меньшей окружностью. Проведем радиус $OD$ в точку касания. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Значит, $OD \perp AB$, и треугольник $\triangle ODA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ODA$. Длина катета $OD$ равна радиусу меньшей окружности, то есть $OD = r$.

Отрезок $OA$, соединяющий центр окружности с точкой, из которой проведены касательные, является биссектрисой угла между этими касательными. По условию $\angle BAC = 60^{\circ}$, следовательно:

$\angle OAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ODA$. В нем известны гипотенуза $OA = 8$ см и острый угол $\angle OAD = 30^{\circ}$. Катет $OD$ (радиус $r$) лежит напротив этого угла.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Поэтому:

$OD = \frac{1}{2} OA$

Подставим известные значения:

$r = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Ответ: 4 см.