Страница 50 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. На рисунке 131 прямые $AE$, $AF$ и $BC$ касаются окружности в точках $E$, $F$ и $D$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AE = 5$ см.

Рис. 131

167. На рисунке 131 прямые $AE$, $AF$ и $BC$ касаются окружности в точках $E$, $F$ и $D$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AE = 5$ см.

Рис. 131

Для решения этой задачи воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны между собой.

Рассмотрим касательные, проведенные из вершин треугольника $A$, $B$ и $C$:

• Из точки $A$ проведены касательные $AE$ и $AF$. Следовательно, $AE = AF$.
• Из точки $B$ проведены касательные $BE$ и $BD$. Следовательно, $BE = BD$.
• Из точки $C$ проведены касательные $CF$ и $CD$. Следовательно, $CF = CD$.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$

Распишем сторону $BC$ как сумму отрезков $BD + DC$: $P_{ABC} = AB + (BD + DC) + AC$

Теперь заменим отрезки $BD$ и $DC$ на равные им отрезки $BE$ и $CF$ соответственно: $P_{ABC} = AB + BE + CF + AC$

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $P_{ABC} = (AB + BE) + (AC + CF)$

Из рисунка видно, что сумма $AB + BE$ равна длине отрезка $AE$, а сумма $AC + CF$ равна длине отрезка $AF$. Таким образом, получаем: $P_{ABC} = AE + AF$

По условию задачи $AE = 5$ см. Так как $AE = AF$, то $AF = 5$ см. Найдем периметр: $P_{ABC} = 5 + 5 = 10$ см.

Ответ: 10 см.

168. Точка пересечения высот $DH$ и $EK$ треугольника $DEF$ является центром описанной около него окружности. Докажите, что треугольник $DEF$ равносторонний.

168. Точка пересечения высот $DH$ и $EK$ треугольника $DEF$ является центром описанной около него окружности. Докажите, что треугольник $DEF$ равносторонний.

Пусть O — точка пересечения высот DH и EK. По определению, O является ортоцентром треугольника DEF. По условию задачи, эта же точка O является центром описанной около треугольника DEF окружности, то есть циркумцентром.

Ортоцентр — это точка пересечения высот треугольника. Циркумцентр — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Рассмотрим сторону EF. Высота DH, проведенная из вершины D, по определению перпендикулярна стороне EF ($DH \perp EF$). Серединный перпендикуляр к стороне EF также перпендикулярен EF.

Поскольку точка O является и ортоцентром, и циркумцентром, она должна лежать как на высоте DH, так и на серединном перпендикуляре к стороне EF. Прямая, содержащая высоту DH, и прямая, являющаяся серединным перпендикуляром к EF, обе перпендикулярны одной и той же прямой EF. Так как они проходят через общую точку O, эти прямые совпадают.

Следовательно, высота DH является одновременно и серединным перпендикуляром к стороне EF. Это означает, что DH является и высотой, и медианой в треугольнике DEF. Треугольник, в котором высота, проведенная из вершины, совпадает с медианой, является равнобедренным. Значит, треугольник DEF равнобедренный, и $DE = DF$.

Аналогично рассмотрим сторону DF. Высота EK, проведенная из вершины E, перпендикулярна стороне DF ($EK \perp DF$). Серединный перпендикуляр к стороне DF также перпендикулярен DF.

Поскольку точка O лежит и на высоте EK, и на серединном перпендикуляре к DF, эти две прямые (будучи перпендикулярными одной и той же прямой DF и проходя через общую точку O) совпадают.

Следовательно, высота EK является и медианой к стороне DF. Это означает, что треугольник DEF является равнобедренным относительно вершины E, и $DE = EF$.

Из полученных равенств $DE = DF$ и $DE = EF$ следует, что все три стороны треугольника равны: $DE = DF = EF$.

Таким образом, треугольник DEF является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник DEF равносторонний.

169. На серединном перпендикуляре стороны $AC$ треугольника $ABC$ отмечена такая точка $O$, что $OC = OB$. Докажите, что точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

169. На серединном перпендикуляре стороны $AC$ треугольника $ABC$ отмечена такая точка $O$, что $OC = OB$. Докажите, что точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

По определению, центром окружности, описанной около треугольника, является точка, равноудаленная от всех его вершин. Чтобы доказать, что точка $O$ является центром описанной окружности для треугольника $ABC$, необходимо установить, что расстояния от точки $O$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны, то есть $OA = OB = OC$.

Рассмотрим данные из условия задачи.

1. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, расстояние от точки $O$ до вершины $A$ равно расстоянию до вершины $C$. Это дает нам равенство: $OA = OC$.

2. По условию задачи нам также дано равенство: $OC = OB$.

Объединяя эти два равенства ($OA = OC$ и $OC = OB$), мы получаем, что все три отрезка равны между собой: $OA = OB = OC$.

Так как точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $ABC$, она по определению является центром окружности, описанной около этого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника ($OA = OB = OC$), она является центром описанной около него окружности.

170. Найдите высоту равностороннего треугольника, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 12 см.

170. Найдите высоту равностороннего треугольника, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 12 см.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения его высот, медиан и биссектрис. Эта точка делит каждую высоту (которая также является и медианой) в отношении 2:1, считая от вершины.

Радиус описанной окружности $R$ — это расстояние от центра до вершины треугольника, что соответствует большей части высоты $h$. Таким образом, радиус описанной окружности составляет $2/3$ от высоты треугольника.

Это соотношение можно записать в виде формулы:

$R = \frac{2}{3}h$

По условию задачи, радиус описанной окружности $R = 12$ см. Подставим это значение в формулу и найдем высоту $h$:

$12 = \frac{2}{3}h$

Чтобы найти $h$, умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$:

$h = 12 \cdot \frac{3}{2}$

$h = \frac{36}{2}$

$h = 18$ см

Ответ: 18 см

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $2:3$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна 15 см.

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $2 : 3$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна $15$ см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$ — боковые стороны, а $AC$ — основание. По условию, боковая сторона равна 15 см, то есть $AB = BC = 15$ см.

Пусть вписанная в треугольник окружность касается боковой стороны $BC$ в точке $K$. По условию, эта точка делит сторону в отношении $2:3$, считая от вершины угла при основании, то есть от вершины $C$. Следовательно, отношение отрезков $CK$ к $KB$ равно $2:3$. $CK : KB = 2:3$.

Вся боковая сторона $BC$ состоит из этих двух отрезков: $BC = CK + KB$. Длина стороны $BC$ составляет $2+3=5$ частей. Найдем длину одной части: $15 \text{ см} / 5 = 3 \text{ см}$.

Теперь найдем длины каждого отрезка: $CK = 2 \times 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$. $KB = 3 \times 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

Воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной вершины: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Пусть вписанная окружность касается основания $AC$ в точке $M$. По этому свойству, отрезок касательной, проведенный из вершины $C$ к точке касания на основании $AC$, будет равен отрезку касательной, проведенному из той же вершины $C$ к точке касания на боковой стороне $BC$. То есть, $CM = CK = 6$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что точка касания $M$ вписанной окружности с основанием является его серединой. Следовательно, $AC = 2 \times CM$.

Найдем длину основания $AC$: $AC = 2 \times 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ: 12 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 3 см и 10 см. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника равен 30 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 3 см

и 10 см. Найдите радиус окружности, если периметр

треугольника равен 30 см.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 3 см и 10 см. Длина гипотенузы равна сумме длин этих отрезков:
$c = 3 + 10 = 13$ см.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины до точки касания равны. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике отрезки катетов от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности. Отрезки катетов от вершин острых углов до точек касания будут равны отрезкам гипотенузы, прилежащим к тем же вершинам (3 см и 10 см).
Следовательно, длины катетов можно выразить через радиус $r$ как:
$a = 10 + r$
$b = 3 + r$

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$. По условию, периметр равен 30 см. Подставим выражения для сторон в формулу периметра:
$P = (10 + r) + (3 + r) + 13$
$30 = 26 + 2r$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $r$:
$2r = 30 - 26$
$2r = 4$
$r = \frac{4}{2}$
$r = 2$

Ответ: 2 см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $AMK$ равен 14 см и $AB = AC = 10$ см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $AMK$ равен 14 см и $AB = AC = 10$ см.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = AC = 10$ см. В треугольник вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$ и $AC$ как $D$ и $E$, а точку касания прямой $MK$ с окружностью как $T$.

Периметр треугольника $AMK$ определяется по формуле:

$P_{AMK} = AM + AK + MK$

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Применительно к нашему случаю это означает:

• Для точки $M$: $MD = MT$
• Для точки $K$: $KE = KT$

Сторону $MK$ можно представить как сумму отрезков $MT$ и $KT$. Используя приведенные выше равенства, получаем:

$MK = MT + KT = MD + KE$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра треугольника $AMK$:

$P_{AMK} = AM + AK + (MD + KE)$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{AMK} = (AM + MD) + (AK + KE)$

Так как точка $M$ лежит на отрезке $AD$, а точка $K$ — на отрезке $AE$, то $AM + MD = AD$ и $AK + KE = AE$. Следовательно:

$P_{AMK} = AD + AE$

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, то отрезки касательных, проведенных из вершины $A$ к вписанной окружности, равны: $AD = AE$.

Таким образом, периметр треугольника $AMK$ можно выразить как:

$P_{AMK} = AD + AD = 2 \cdot AD$

По условию задачи, $P_{AMK} = 14$ см. Найдем длину отрезка $AD$:

$2 \cdot AD = 14$

$AD = \frac{14}{2} = 7$ см.

Зная длину стороны $AB = 10$ см, мы можем найти длину отрезка $BD$:

$BD = AB - AD = 10 - 7 = 3$ см.

Обозначим точку касания вписанной окружности со стороной $BC$ как $F$. По свойству касательных, проведенных из вершин $B$ и $C$:

$BF = BD = 3$ см.

$CF = CE$

Так как $AC = 10$ см и $AE = AD = 7$ см, то $CE = AC - AE = 10 - 7 = 3$ см.

Следовательно, $CF = 3$ см.

Теперь мы можем найти длину основания $BC$:

$BC = BF + CF = 3 + 3 = 6$ см.

Наконец, вычислим периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = AB + AC + BC = 10 + 10 + 6 = 26$ см.

Ответ: 26 см.

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AB$ в точке $D$. Найдите сторону $BC$, если $AD = 3$ см, а периметр треугольника $ABC$ равен $22$ см.

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AB$ в точке $D$. Найдите сторону $BC$, если $AD=3$ см, а периметр треугольника $ABC$ равен 22 см.

Пусть окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины треугольника до точек касания равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:

• $AD = AF$ (касательные из вершины $A$)
• $BD = BE$ (касательные из вершины $B$)
• $CE = CF$ (касательные из вершины $C$)

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) определяется как сумма длин его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

Каждая сторона треугольника состоит из двух отрезков, на которые ее делит точка касания:

$P_{ABC} = (AD + DB) + (BE + EC) + (CF + FA)$

Используя ранее упомянутое свойство равенства отрезков касательных, мы можем переписать формулу периметра, сгруппировав равные отрезки:

$P_{ABC} = (AD + AF) + (BD + BE) + (CE + CF)$

Заменяя $AF$ на $AD$, $BE$ на $BD$ и $CF$ на $CE$, получаем:

$P_{ABC} = 2AD + 2BD + 2CE$

По условию задачи известно, что $AD = 3$ см и $P_{ABC} = 22$ см. Подставим эти значения в выражение для периметра:

$22 = 2 \cdot 3 + 2BD + 2CE$

$22 = 6 + 2(BD + CE)$

Теперь решим это уравнение относительно суммы $(BD + CE)$:

$2(BD + CE) = 22 - 6$

$2(BD + CE) = 16$

$BD + CE = \frac{16}{2} = 8$ см.

Так как $BD = BE$, мы можем заменить $BD$ на $BE$ в последнем выражении:

$BE + CE = 8$ см.

Сторона $BC$ как раз и состоит из суммы отрезков $BE$ и $CE$:

$BC = BE + CE$

Следовательно, длина стороны $BC$ составляет 8 см.

Ответ: 8 см.