Страница 43 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. На рисунке 116 $AB \parallel CD$. Найдите $\angle BAE$, если $\angle AEC = 110^\circ$, $\angle DCE = 70^\circ$.

Рис. 116

103. На рисунке 116 $AB \parallel CD$. Найдите $\angle BAE$, если $\angle AEC = 110^{\circ}$, $\angle DCE = 70^{\circ}$.

Рис. 116

Для решения задачи проведем через точку E прямую EF, параллельную прямым AB и CD ($EF \parallel AB$ и $EF \parallel CD$).

Эта прямая разделит угол $\angle AEC$ на два угла: $\angle AEF$ и $\angle CEF$. Таким образом, $\angle AEC = \angle AEF + \angle CEF$.

Рассмотрим параллельные прямые CD и EF и секущую CE. Углы $\angle DCE$ и $\angle CEF$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, такие углы равны.

$\angle CEF = \angle DCE = 70^\circ$.

Теперь мы можем найти величину угла $\angle AEF$. Мы знаем, что $\angle AEC = 110^\circ$, поэтому:

$\angle AEF = \angle AEC - \angle CEF = 110^\circ - 70^\circ = 40^\circ$.

Далее рассмотрим параллельные прямые AB и EF и секущую AE. Углы $\angle BAE$ и $\angle AEF$ также являются внутренними накрест лежащими углами, а значит, они равны.

$\angle BAE = \angle AEF = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

104. Найдите угол треугольника, если два другие его угла равны $48^\circ$ и $126^\circ$.

104. Найдите угол треугольника, если два другие его угла равны $48^\circ$ и $126^\circ$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии всегда равна $180°$.

В задаче даны два угла треугольника. Обозначим их как $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha = 48°$

$\beta = 126°$

Третий, неизвестный угол, обозначим как $\gamma$.

Исходя из теоремы, можно записать следующее равенство:

$\alpha + \beta + \gamma = 180°$

Чтобы найти $\gamma$, необходимо из $180°$ вычесть сумму двух известных углов:

$\gamma = 180° - (\alpha + \beta)$

Подставим в формулу числовые значения известных углов:

$\gamma = 180° - (48° + 126°)$

Сначала вычислим сумму в скобках:

$48° + 126° = 174°$

Теперь найдем искомый угол:

$\gamma = 180° - 174°$

$\gamma = 6°$

Таким образом, третий угол треугольника равен $6°$.

Ответ: $6°$

105. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $84^\circ$. Найдите углы при основании этого треугольника.

105. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $84^\circ$. Найдите углы при основании этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^\circ$.

Пусть $x$ — это величина каждого из двух равных углов при основании. Угол при вершине равен $84^\circ$.

Мы можем составить уравнение, используя теорему о сумме углов треугольника:

$x + x + 84^\circ = 180^\circ$

Сложим одинаковые переменные:

$2x + 84^\circ = 180^\circ$

Теперь найдем сумму углов при основании, вычитая угол при вершине из общей суммы углов треугольника:

$2x = 180^\circ - 84^\circ$

$2x = 96^\circ$

Так как углы при основании равны, разделим полученную сумму на 2, чтобы найти величину каждого угла:

$x = \frac{96^\circ}{2}$

$x = 48^\circ$

Таким образом, каждый из углов при основании равен $48^\circ$.

Ответ: углы при основании равны $48^\circ$ и $48^\circ$.

106. Найдите на рисунке 117 неизвестные углы треугольника ABC.

Рис. 117

a

Треугольник ABC, с внешним углом при вершине A $43^\circ$ и внутренним углом при вершине C $107^\circ$.

б

Треугольник ABC, с внешним углом при вершине A $134^\circ$ и внутренним углом при вершине B $52^\circ$.

в

Треугольник ABC, с внешним углом при вершине B $153^\circ$ и внешним углом при вершине C $109^\circ$.

106. Найдите на рисунке 117 неизвестные углы треугольника $ABC$.

Рис. 117

а

$43^\circ$ A $107^\circ$ C B

б

$134^\circ$ A $52^\circ$ B C

в

B $153^\circ$ A $109^\circ$ C

а

Угол, показанный как $43°$, и внутренний угол $A$ треугольника $ABC$ являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны, следовательно, $∠A = 43°$.
Угол $C$ треугольника $ABC$ дан на рисунке: $∠C = 107°$.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Используя это свойство, мы можем найти неизвестный угол $B$:
$∠B = 180° - (∠A + ∠C)$
$∠B = 180° - (43° + 107°) = 180° - 150° = 30°$.
Ответ: $∠A = 43°$, $∠B = 30°$.

б

Угол, показанный как $134°$, является внешним углом треугольника при вершине $A$. Этот угол и внутренний угол $A$ являются смежными, а сумма смежных углов равна $180°$.
$∠A = 180° - 134° = 46°$.
Угол $B$ треугольника $ABC$ дан на рисунке: $∠B = 52°$.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем неизвестный угол $C$:
$∠C = 180° - (∠A + ∠B)$
$∠C = 180° - (46° + 52°) = 180° - 98° = 82°$.
Ответ: $∠A = 46°$, $∠C = 82°$.

в

Символ в виде квадрата у вершины $A$ обозначает прямой угол, следовательно, $∠A = 90°$.
Угол, показанный как $109°$, является внешним углом треугольника при вершине $C$. Этот угол и внутренний угол $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180°$.
$∠C = 180° - 109° = 71°$.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем неизвестный угол $B$:
$∠B = 180° - (∠A + ∠C)$
$∠B = 180° - (90° + 71°) = 180° - 161° = 19°$.
Ответ: $∠A = 90°$, $∠B = 19°$, $∠C = 71°$.

107. Найдите на рисунке 118 неизвестные углы равнобедренного треугольника ABC ($AB = BC$).

Рис. 118

а

б

107. Найдите на рисунке 118 неизвестные углы равнобедренного треугольника $ABC (AB = BC)$.

Рис. 118

Треугольник с внешним углом $115^\circ$ при вершине A.

Треугольник с внешним углом $130^\circ$ при вершине B.

а

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, так как $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle A = \angle C$.
На рисунке показан внешний угол при вершине $A$, который равен $115^\circ$. Внутренний угол $A$ треугольника и этот внешний угол являются смежными, их сумма составляет $180^\circ$.
Найдем угол $A$:
$\angle A = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.
Так как $\angle A = \angle C$, то $\angle C = 65^\circ$.
Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. Теперь мы можем найти угол $B$:
$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
Ответ: $\angle A = 65^\circ$, $\angle C = 65^\circ$, $\angle B = 50^\circ$.

б

Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, поскольку $AB = BC$. Это означает, что углы при основании равны: $\angle A = \angle C$.
На рисунке показан внешний угол при вершине $B$, равный $130^\circ$. Внутренний угол $B$ треугольника и этот внешний угол являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.
Найдем угол $B$:
$\angle B = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$. Зная угол $B$, найдем сумму углов $A$ и $C$:
$\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.
Поскольку углы $A$ и $C$ равны, то каждый из них равен половине их суммы:
$\angle A = \angle C = 130^\circ / 2 = 65^\circ$.
Ответ: $\angle B = 50^\circ$, $\angle A = 65^\circ$, $\angle C = 65^\circ$.

108. Найдите углы треугольника ABC, если $\angle A + \angle B = 100^\circ$, $\angle B + \angle C = 120^\circ$.

108. Найдите углы треугольника $ABC$, если $ \angle A + \angle B = 100^\circ $, $ \angle B + \angle C = 120^\circ $.

Основное свойство любого треугольника заключается в том, что сумма его внутренних углов всегда равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это можно записать в виде формулы:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

В условии задачи нам даны два равенства:
1) $\angle A + \angle B = 100^\circ$
2) $\angle B + \angle C = 120^\circ$

Мы можем использовать эти данные для нахождения каждого угла по отдельности.

1. Найдём угол C.
Возьмем формулу суммы углов треугольника $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Мы можем заменить сумму $(\angle A + \angle B)$ на её известное значение из первого условия ($100^\circ$):
$(\angle A + \angle B) + \angle C = 180^\circ$
$100^\circ + \angle C = 180^\circ$
Отсюда находим $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

2. Найдём угол A.
Снова используем формулу суммы углов треугольника, но на этот раз сгруппируем углы иначе: $\angle A + (\angle B + \angle C) = 180^\circ$. Теперь мы можем заменить сумму $(\angle B + \angle C)$ на её известное значение из второго условия ($120^\circ$):
$\angle A + 120^\circ = 180^\circ$
Отсюда находим $\angle A$:
$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

3. Найдём угол B.
Теперь, зная углы $A$ и $C$, мы можем найти угол $B$. Проще всего это сделать, подставив значение $\angle A$ в первое условие:
$\angle A + \angle B = 100^\circ$
$60^\circ + \angle B = 100^\circ$
$\angle B = 100^\circ - 60^\circ = 40^\circ$

Проверка:
Проверим, сходятся ли найденные значения с условиями задачи и свойством треугольника.
$\angle A + \angle B = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ$ (верно)
$\angle B + \angle C = 40^\circ + 80^\circ = 120^\circ$ (верно)
$\angle A + \angle B + \angle C = 60^\circ + 40^\circ + 80^\circ = 180^\circ$ (верно)

Ответ: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 40^\circ$, $\angle C = 80^\circ$.