Страница 42 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. На рисунке 113 найдите градусную меру угла $x$.

Рис. 113

m

n

a

b

$80^\circ$

$80^\circ$

$40^\circ$

$x$

b

a

m

n

$110^\circ$

$70^\circ$

$50^\circ$

$x$

98. На рисунке 113 найдите градусную меру угла $x$.

Рис. 113

a

$m$, $n$, $a$, $b$, $80^\circ$, $80^\circ$, $40^\circ$, $x$

б

$a$, $b$, $m$, $n$, $110^\circ$, $70^\circ$, $50^\circ$, $x$

а

1. Сначала определим, параллельны ли прямые a и b. Рассмотрим эти прямые и секущую m. Угол, образованный при пересечении прямой a секущей m, равен $80^\circ$. Угол, образованный при пересечении прямой b секущей m, также равен $80^\circ$. Эти углы являются соответственными.
2. Согласно признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Так как $80^\circ = 80^\circ$, то прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$).
3. Теперь рассмотрим параллельные прямые a и b и секущую n. Угол x и угол в $40^\circ$ являются внутренними накрест лежащими углами.
4. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны. Следовательно, $x = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$

б

1. Сначала найдем пару параллельных прямых. Рассмотрим прямые m и b и секущую a. Найдем угол, смежный с углом в $110^\circ$ при пересечении прямых a и b. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому этот угол равен $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
2. Этот угол в $70^\circ$ и угол при пересечении прямых a и m (также равный $70^\circ$) являются соответственными. Поскольку соответственные углы равны, то прямые m и b параллельны ($m \parallel b$).
3. Далее рассмотрим треугольник, образованный пересечением прямых a, m и n. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Два угла этого треугольника известны: $70^\circ$ и $50^\circ$. Найдем третий угол этого треугольника, который находится при пересечении прямых m и n. Обозначим его $\angle 1$.
$\angle 1 = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
4. Теперь рассмотрим параллельные прямые m и b и секущую n. Угол x и найденный нами угол $\angle 1$ являются соответственными.
5. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Следовательно, $x = \angle 1 = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

99. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, на $48^\circ$ меньше другого. Найдите эти углы.

99. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, на 48° меньше другого. Найдите эти углы.

Пусть меньший из двух односторонних углов равен $x$.

Согласно условию, другой угол на $48^\circ$ больше. Следовательно, его величина равна $x + 48^\circ$.

Сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, всегда равна $180^\circ$. На основе этого свойства составим уравнение:

$x + (x + 48^\circ) = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$2x + 48^\circ = 180^\circ$

Перенесем $48^\circ$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = 180^\circ - 48^\circ$

$2x = 132^\circ$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{132^\circ}{2}$

$x = 66^\circ$

Мы нашли величину меньшего угла. Теперь найдем величину большего угла:

$66^\circ + 48^\circ = 114^\circ$

Таким образом, искомые углы равны $66^\circ$ и $114^\circ$.

Ответ: $66^\circ$ и $114^\circ$.

100. На рисунке 114 прямые $MN$ и $KP$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $\angle MCD$ и $\angle CDP$ параллельны.

Рис. 114

100. На рисунке 114 прямые $MN$ и $KP$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $MCD$ и $CDP$ параллельны.

Рис. 114

По условию задачи прямые $MN$ и $KP$ параллельны ($MN \parallel KP$), а прямая, проходящая через точки $C$ и $D$, является для них секущей.

Углы $\angle MCD$ и $\angle CDP$ являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых $MN$ и $KP$ секущей $CD$. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны. Следовательно:
$\angle MCD = \angle CDP$.

Пусть $l_1$ — биссектриса угла $\angle MCD$, а $l_2$ — биссектриса угла $\angle CDP$. По определению, биссектриса делит угол на две равные части.

Рассмотрим углы, которые эти биссектрисы образуют с секущей $CD$. Биссектриса $l_1$ образует угол, равный $\frac{1}{2} \angle MCD$. Биссектриса $l_2$ образует угол, равный $\frac{1}{2} \angle CDP$.

Так как исходные углы равны ($\angle MCD = \angle CDP$), то и их половины равны:
$\frac{1}{2} \angle MCD = \frac{1}{2} \angle CDP$.

Эти новые равные углы являются внутренними накрест лежащими для прямых $l_1$ и $l_2$ при их пересечении секущей $CD$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как мы доказали равенство этих углов для биссектрис, то биссектрисы параллельны друг другу.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы углов $MCD$ и $CDP$ параллельны.

101. На биссектрисе угла $ABC$ отметили точку $K$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BA$. Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Найдите углы $BFK$ и $FKB$, если $\angle FBK = 40^{\circ}$.

101. На биссектрисе угла $ABC$ отметили точку $K$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BA$. Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Найдите углы $BFK$ и $FKB$, если $\angle FBK = 40^{\circ}$.

Поскольку луч BK является биссектрисой угла ABC, он делит этот угол на два равных угла: $∠ABK = ∠KBC$.
Точка F лежит на стороне BC, поэтому угол $∠KBC$ и угол $∠FBK$ — это один и тот же угол.
Следовательно, $∠ABK = ∠FBK$.
По условию задачи, $∠FBK = 40°$. Отсюда следует, что $∠ABK$ также равен 40°.
$∠ABK = 40°$.

FKB
В условии сказано, что прямая, проходящая через точку K, параллельна стороне BA. Эта прямая пересекает сторону BC в точке F, следовательно, прямая KF параллельна прямой BA ($KF \parallel BA$).
Рассмотрим эти параллельные прямые $KF$ и $BA$ и секущую $BK$.
Углы $∠FKB$ и $∠ABK$ являются внутренними накрест лежащими углами. При параллельных прямых такие углы равны.
$∠FKB = ∠ABK$
Поскольку мы уже установили, что $∠ABK = 40°$, то:
$∠FKB = 40°$.
Ответ: $∠FKB = 40°$.

BFK
Рассмотрим треугольник BFK. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
$∠BFK + ∠FKB + ∠FBK = 180°$
Мы знаем два угла этого треугольника: $∠FBK = 40°$ (по условию) и $∠FKB = 40°$ (как было найдено ранее).
Подставим известные значения в уравнение:
$∠BFK + 40° + 40° = 180°$
$∠BFK + 80° = 180°$
$∠BFK = 180° - 80°$
$∠BFK = 100°$
Ответ: $∠BFK = 100°$.

102. На рисунке 115 биссектриса угла ABD пересекает прямую AC в точке F, а биссектриса угла DCK пересекает прямую BD в точке E. Докажите, что если $AB = AF$, то $CD = DE$.

Рис. 115

102. На рисунке 115 биссектриса угла $ABD$ пересекает прямую $AC$ в точке $F$, а биссектриса угла $DCK$ пересекает прямую $BD$ в точке $E$. Докажите, что если $AB = AF$, то $CD = DE$.

Рис. 115

Доказательство

1. Рассмотрим $△ABF$. По условию задачи дано, что $AB = AF$. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, $△ABF$ — равнобедренный с основанием $BF$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ABF = \angle AFB$.

2. По условию, $BF$ является биссектрисой угла $ABD$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, то есть $\angle ABF = \angle FBD$.

3. Сопоставляя равенства из пунктов 1 и 2 ($\angle ABF = \angle AFB$ и $\angle ABF = \angle FBD$), мы можем заключить, что $\angle AFB = \angle FBD$.

4. Углы $\angle AFB$ и $\angle FBD$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AC$ и $BD$ секущей $BF$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности двух прямых, прямая $AC$ параллельна прямой $BD$ ($AC \parallel BD$).

5. Теперь, используя установленный факт, что $AC \parallel BD$, рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $CE$. Углы $\angle KCE$ и $\angle CED$ являются внутренними накрест лежащими углами. Поскольку прямые параллельны, эти углы равны: $\angle KCE = \angle CED$.

6. По условию, $CE$ является биссектрисой угла $DCK$. Это означает, что $\angle DCE = \angle KCE$.

7. Из равенств, полученных в пунктах 5 и 6 ($\angle KCE = \angle CED$ и $\angle DCE = \angle KCE$), следует, что $\angle DCE = \angle CED$.

8. Рассмотрим $△CDE$. В этом треугольнике два угла равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник является равнобедренным.

9. В равнобедренном $△CDE$ стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $CD$ лежит напротив угла $\angle CED$, а сторона $DE$ лежит напротив угла $\angle DCE$. Следовательно, $CD = DE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что если $AB = AF$, то $CD = DE$, доказано.