Страница 46 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. На рисунке 121 $NE \perp MK$, $PF \perp MK$, $ME = KF$, $NE = PF$. Докажите, что $\angle NKM = \angle PMK$.

Рис. 121

134. На рисунке 121 $NE \perp MK$, $PF \perp MK$, $ME = KF$, $NE = PF$. Докажите, что $\angle NKM = \angle PMK$.

Рис. 121

Для доказательства равенства углов $\angle NKM$ и $\angle PMK$ рассмотрим два треугольника: $\triangle NEK$ и $\triangle PFM$.

1. Согласно условию, $NE \perp MK$ и $PF \perp MK$. Это означает, что треугольники $\triangle NEK$ и $\triangle PFM$ являются прямоугольными, а их углы $\angle NEK$ и $\angle PFM$ — прямые, то есть $\angle NEK = \angle PFM = 90^\circ$.

2. По условию задачи, катет $NE$ треугольника $\triangle NEK$ равен катету $PF$ треугольника $\triangle PFM$: $NE = PF$.

3. Теперь сравним катеты $EK$ и $FM$. Из рисунка видно, что точки M, E, F, K лежат на одной прямой. Длину отрезка $EK$ можно представить как сумму длин отрезков $EF$ и $FK$: $EK = EF + FK$. Аналогично, длина отрезка $FM$ равна сумме длин отрезков $ME$ и $EF$: $FM = ME + EF$.

В условии также дано, что $ME = KF$. Заменим в выражении для $EK$ отрезок $FK$ на равный ему отрезок $ME$:

$EK = EF + ME$

Сравнивая полученное выражение для $EK$ с выражением для $FM$, видим, что они равны:

$EK = FM$

4. Мы установили, что в прямоугольных треугольниках $\triangle NEK$ и $\triangle PFM$ соответственно равны два катета: $NE = PF$ и $EK = FM$. Следовательно, треугольники $\triangle NEK$ и $\triangle PFM$ равны по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников).

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. В данном случае, углу $\angle NKE$ треугольника $\triangle NEK$ соответствует угол $\angle PMF$ треугольника $\triangle PFM$. Таким образом, $\angle NKE = \angle PMF$.

6. Так как точки E и F лежат на отрезке MK, то луч KE совпадает с лучом KM, а луч MF совпадает с лучом MK. Поэтому угол $\angle NKE$ — это тот же самый угол, что и $\angle NKM$, а угол $\angle PMF$ — тот же самый, что и $\angle PMK$.

Из этого следует, что $\angle NKM = \angle PMK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle NKM = \angle PMK$ доказано.

135. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ провели прямую, пересекающую сторону $AB$ в точке $F$. Из точек $A$ и $B$ на прямую $CF$ опустили перпендикуляры $AM$ и $BN$. Докажите, что если $FM = FN$, то отрезок $CF$ – медиана треугольника $ABC$.

135. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ провели прямую, пересекающую сторону $AB$ в точке $F$. Из точек $A$ и $B$ на прямую $CF$ опустили перпендикуляры $AM$ и $BN$. Докажите, что если $FM = FN$, то отрезок $CF$ — медиана треугольника $ABC$.

Для доказательства утверждения рассмотрим прямоугольные треугольники $ΔAFM$ и $ΔBFN$.

1. По условию, из точек A и B опущены перпендикуляры $AM$ и $BN$ на прямую $CF$. Это означает, что углы $∠AMF$ и $∠BNF$ являются прямыми: $∠AMF = ∠BNF = 90°$.

2. Углы $∠AFM$ и $∠BFN$ равны как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AB$ и $MN$.

3. По условию задачи нам дано, что $FM = FN$.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника ($ΔAFM$ и $ΔBFN$), у которых равны катет и прилежащий к нему острый угол:

• $FM = FN$ (по условию)
• $∠AFM = ∠BFN$ (как вертикальные)

Следовательно, прямоугольные треугольники $ΔAFM$ и $ΔBFN$ равны по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Гипотенуза $AF$ треугольника $ΔAFM$ соответствует гипотенузе $BF$ треугольника $ΔBFN$. Значит, $AF = BF$.

Поскольку точка $F$ делит сторону $AB$ пополам, она является серединой отрезка $AB$.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой. Следовательно, отрезок $CF$ является медианой треугольника $ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

136. Прямоугольные треугольники DEF ($\angle D = 90^\circ$) и DEK ($\angle E = 90^\circ$) имеют общий катет DE, а точки F и K лежат в разных полуплоскостях относительно прямой DE. Докажите, что если $\angle DFE = \angle DKE$, то прямые EF и DK параллельны.

136. Прямоугольные треугольники $DEF$ ($\angle D = 90^\circ$) и $DEK$ ($\angle E = 90^\circ$) имеют общий катет $DE$, а точки $F$ и $K$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $DE$. Докажите, что если $\angle DFE = \angle DKE$, то прямые $EF$ и $DK$ параллельны.

Дано:

$\triangle DEF$ и $\triangle DEK$ - прямоугольные треугольники.
$\angle FDE = 90^\circ$.
$\angle DEK = 90^\circ$.
$DE$ - общий катет.
Точки $F$ и $K$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $DE$.
$\angle DFE = \angle DKE$.

Доказать:

$EF \parallel DK$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DEF$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, для $\triangle DEF$ справедливо равенство:

$\angle FED + \angle DFE = 90^\circ$

Отсюда выразим угол $\angle FED$:

$\angle FED = 90^\circ - \angle DFE$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DEK$. Аналогично, для $\triangle DEK$ справедливо равенство:

$\angle EDK + \angle DKE = 90^\circ$

Отсюда выразим угол $\angle EDK$:

$\angle EDK = 90^\circ - \angle DKE$

3. По условию задачи нам дано, что $\angle DFE = \angle DKE$.

4. Сравнивая выражения для углов $\angle FED$ и $\angle EDK$, полученные в пунктах 1 и 2, и учитывая условие из пункта 3, получаем:

$\angle FED = 90^\circ - \angle DFE = 90^\circ - \angle DKE = \angle EDK$

Таким образом, мы доказали, что $\angle FED = \angle EDK$.

5. Углы $\angle FED$ и $\angle EDK$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $EF$ и $DK$ секущей $ED$.

6. Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $EF$ и $DK$ параллельны: $EF \parallel DK$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $EF$ и $DK$ доказана.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и углу, который она образует с одним из катетов.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и углу, который она образует с одним из катетов.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, в которых прямые углы — $ \angle C $ и $ \angle C_1 $ соответственно. Пусть $CD$ и $C_1D_1$ — высоты, проведённые из вершин прямых углов к гипотенузам $AB$ и $A_1B_1$.

По условию задачи дано:

1. Высоты равны: $ CD = C_1D_1 $.
2. Угол, который высота образует с одним из катетов, равен соответствующему углу в другом треугольнике. Без ограничения общности, пусть это будет угол с катетом $BC$: $ \angle BCD = \angle B_1C_1D_1 $.

Доказательство:

1. Высота $CD$ перпендикулярна гипотенузе $AB$, поэтому $ \triangle CDB $ является прямоугольным с прямым углом $ \angle CDB $. Аналогично, $ \triangle C_1D_1B_1 $ является прямоугольным с прямым углом $ \angle C_1D_1B_1 $.

2. Сравним прямоугольные треугольники $ \triangle CDB $ и $ \triangle C_1D_1B_1 $. У них:

• Катет $CD$ равен катету $C_1D_1$ (по условию).
• Прилежащий к этому катету острый угол $ \angle BCD $ равен углу $ \angle B_1C_1D_1 $ (по условию).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle CDB $ и $ \triangle C_1D_1B_1 $ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).

3. Из равенства треугольников $ \triangle CDB \cong \triangle C_1D_1B_1 $ следует равенство их соответствующих элементов:

• Гипотенузы равны: $ BC = B_1C_1 $.
• Острые углы равны: $ \angle B = \angle B_1 $.

4. Теперь сравним исходные прямоугольные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы имеем:

• Катет $BC$ равен катету $B_1C_1$ (по доказанному).
• Прилежащий к этому катету острый угол $ \angle B $ равен углу $ \angle B_1 $ (по доказанному).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и углу, который она образует с одним из катетов, доказано.

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $AH$ и $A_1H_1$. Докажите, что если $AB = A_1B_1$, $CH = C_1H_1$ и $\angle CAH = \angle C_1A_1H_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $AH$ и $A_1H_1$. Докажите, что если $AB = A_1B_1$, $CH = C_1H_1$ и $\angle CAH = \angle C_1A_1H_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Пусть даны два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. В них проведены высоты $AH$ и $A_1H_1$ к сторонам $BC$ и $B_1C_1$ соответственно. По условию задачи известно, что $AB = A_1B_1$, $CH = C_1H_1$ и $\angle CAH = \angle C_1A_1H_1$. Необходимо доказать равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство

Доказательство можно провести в три шага.

1. Сначала рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHC$ и $\triangle A_1H_1C_1$. Так как $AH$ и $A_1H_1$ — высоты, то углы $\angle AHC$ и $\angle A_1H_1C_1$ прямые и равны $90^\circ$. По условию, у этих треугольников равны катет и прилежащий к нему острый угол:

- $CH = C_1H_1$ (катеты)

- $\angle CAH = \angle C_1A_1H_1$ (прилежащие острые углы)

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AHC$ и $\triangle A_1H_1C_1$ равны по катету и прилежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов: $AH = A_1H_1$ и $AC = A_1C_1$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle A_1H_1B_1$. Их углы $\angle AHB$ и $\angle A_1H_1B_1$ также равны $90^\circ$. Сравним следующие элементы этих треугольников:

- $AB = A_1B_1$ (гипотенузы, по условию)

- $AH = A_1H_1$ (катеты, доказано в предыдущем шаге)

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle A_1H_1B_1$ равны по гипотенузе и катету. Из этого равенства следует, что $BH = B_1H_1$ и $\angle B = \angle B_1$.

3. Наконец, докажем равенство исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, используя первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

- Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ по условию.

- Угол $\angle B$ равен углу $\angle B_1$, как доказано в шаге 2.

- Найдем сторону $BC$. Поскольку $\triangle ABC$ остроугольный, основание высоты $H$ лежит на отрезке $BC$, и, следовательно, $BC = BH + CH$. Аналогично для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $B_1C_1 = B_1H_1 + C_1H_1$. Так как из шага 2 мы знаем, что $BH = B_1H_1$, а по условию $CH = C_1H_1$, то $BC = B_1H_1 + C_1H_1 = B_1C_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$). Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ доказано.

139. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Укажите длины катетов и гипотенузы этого треугольника.

139. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Укажите длины катетов и гипотенузы этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это сторона, лежащая напротив прямого угла, и она всегда является самой длинной из трёх сторон. Две другие стороны, образующие прямой угол, называются катетами.

В задаче даны длины сторон треугольника: 3 см, 4 см и 5 см.

Чтобы определить гипотенузу и катеты, нужно сравнить длины сторон.

$5 \text{ см} > 4 \text{ см} > 3 \text{ см}$

Самая длинная сторона равна 5 см, следовательно, это гипотенуза. Две оставшиеся стороны, 3 см и 4 см, являются катетами.

Мы можем проверить это с помощью теоремы Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов длин катетов ($a$ и $b$) равна квадрату длины гипотенузы ($c$): $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим длины катетов и гипотенузы в формулу:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$5^2 = 25$

Поскольку $25 = 25$, равенство верно. Это подтверждает, что наш выбор гипотенузы и катетов правильный.

Ответ: Длины катетов равны 3 см и 4 см, а длина гипотенузы — 5 см.

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 36 см, 45 см, 60 см и 75 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

Рис. 122

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 36 см, 45 см, 60 см и 75 см.

Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

Рис. 122

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, гипотенуза — $c$, а высота, проведённая к гипотенузе, — $h$. В задаче даны четыре значения длин: 36 см, 45 см, 60 см и 75 см, которые соответствуют этим четырём отрезкам.

Для определения, какое значение какому элементу треугольника соответствует, воспользуемся следующими свойствами прямоугольного треугольника:
1. Гипотенуза ($c$) — самая длинная сторона треугольника.
2. Высота ($h$), проведённая к гипотенузе, короче каждого из катетов. Следовательно, из всех четырёх отрезков ($a, b, c, h$) высота $h$ будет самой короткой.
3. Для сторон должна выполняться теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
4. Произведение катетов равно произведению гипотенузы на её высоту (это следует из формулы площади треугольника): $a \cdot b = c \cdot h$.

Из набора чисел {36, 45, 60, 75}, основываясь на первых двух свойствах, можно сделать однозначные выводы:
• Самое большое значение, 75 см, — это длина гипотенузы ($c=75$ см).
• Самое маленькое значение, 36 см, — это длина высоты ($h=36$ см).
• Оставшиеся значения, 45 см и 60 см, — это длины катетов ($a=45$ см, $b=60$ см).

Теперь необходимо проверить, выполняются ли для этих значений ключевые равенства (свойства 3 и 4).
Проверка теоремы Пифагора:
Подставляем значения $a, b, c$ в формулу $a^2 + b^2 = c^2$:
$45^2 + 60^2 = 75^2$
$2025 + 3600 = 5625$
$5625 = 5625$
Равенство верно.
Проверка равенства $a \cdot b = c \cdot h$:
Подставляем найденные значения:
$45 \cdot 60 = 75 \cdot 36$
$2700 = 2700$
Это равенство также верно.

Поскольку обе проверки подтвердили наши выводы, мы можем дать окончательный ответ.

Длины катетов этого треугольника
Ответ: 45 см и 60 см.

Гипотенуза
Ответ: 75 см.

Высота, проведённая к гипотенузе
Ответ: 36 см.

141. На рисунке 122 $\angle ABC = 90^\circ$, $\angle ACD = 90^\circ$. Докажите, что $AD > BC$.

Рис. 122

141. На рисунке 122 $\angle ABC = 90^\circ$, $\angle ACD = 90^\circ$. Докажите, что $AD > BC$.

Рис. 122

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи $\angle ABC = 90^{\circ}$, следовательно, $\triangle ABC$ является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой и является самой длинной стороной. В $\triangle ABC$ гипотенузой является сторона $AC$, а $BC$ — катетом. Таким образом, $AC > BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По условию $\angle ACD = 90^{\circ}$, значит, $\triangle ACD$ также является прямоугольным. В этом треугольнике гипотенузой является сторона $AD$, а сторона $AC$ является катетом. По свойству сторон прямоугольного треугольника, гипотенуза всегда больше катета, следовательно, $AD > AC$.

Мы получили два неравенства: $AC > BC$ и $AD > AC$. Объединив их, мы можем составить двойное неравенство: $AD > AC > BC$. По свойству транзитивности неравенств, из того, что $AD > AC$ и $AC > BC$, следует, что $AD > BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $AD > BC$ доказано.