Страница 39 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. На медиане $AM$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Докажите, что если $DB = DC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

82. На медиане $AM$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Докажите, что если $DB = DC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $DMB$ и $DMC$.

1. $DB = DC$ по условию задачи.
2. $AM$ – медиана треугольника $ABC$, следовательно, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Это означает, что $BM = MC$.
3. Сторона $DM$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $\Delta DMB \cong \Delta DMC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle DMB = \angle DMC$.

Углы $\angle DMB$ и $\angle DMC$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Так как эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.

Это означает, что $DM \perp BC$. Поскольку точка $D$ лежит на медиане $AM$, то и вся медиана $AM$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AM \perp BC$).

Теперь рассмотрим треугольники $AMB$ и $AMC$.

1. $BM = MC$ (так как $AM$ – медиана).
2. $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$ (так как $AM \perp BC$).
3. Сторона $AM$ является общей.

Следовательно, $\Delta AMB \cong \Delta AMC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $AMB$ и $AMC$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = AC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ – равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

83. На рисунке 101 $AB = BC$, $\angle BAD = \angle BCD$. Докажите, что $\Delta ABD = \Delta CBD$.

Рис. 101

83. На рисунке 101 $AB = BC$, $\angle BAD = \angle BCD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CBD$.

Рис. 101

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ воспользуемся признаком равенства по трем сторонам (SSS). Для этого покажем, что три стороны треугольника $\triangle ABD$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle CBD$.

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию задачи $AB = BC$, следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

2. По условию задачи также дано равенство углов: $\angle BAD = \angle BCD$.

3. Вычтем из равенства углов при основании ($\angle BAC = \angle BCA$) равенство углов, данных в условии ($\angle BAD = \angle BCD$):
$\angle BAC - \angle BAD = \angle BCA - \angle BCD$.
Из рисунка видно, что разность этих углов представляет собой углы $\angle DAC$ и $\angle DCA$ соответственно. Таким образом, получаем, что $\angle DAC = \angle DCA$.

4. Теперь рассмотрим $\triangle ADC$. Так как в этом треугольнике два угла равны ($\angle DAC = \angle DCA$), он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AD = CD$.

5. Теперь мы можем окончательно сравнить треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. У них:
• $AB = BC$ (по условию);
• $AD = CD$ (доказано в пункте 4);
• $BD$ — общая сторона.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABD$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle CBD$. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, $\triangle ABD = \triangle CBD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ доказано, так как они равны по третьему признаку (по трем сторонам): $AB = BC$ (по условию), $AD = CD$ (так как $\triangle ADC$ равнобедренный), и $BD$ является общей стороной.

84. На стороне FM треугольника KFM отметили точку N так, что $FN : NM = 3 : 1$. Биссектриса FL пересекает отрезок KN в его середине. Найдите FM, если известно, что KF = 9 см.

84. На стороне $FM$ треугольника $KFM$ отметили точку $N$ так, что $FN : NM = 3 : 1$. Биссектриса $FL$ пересекает отрезок $KN$ в его середине. Найдите $FM$, если известно, что $KF = 9$ см.

Для решения задачи выполним дополнительное построение и применим свойства параллельных прямых, биссектрисы угла и равенства треугольников.

1. Дополнительное построение.
Проведем через вершину $K$ прямую, параллельную стороне $FM$. Пусть продолжение биссектрисы $FL$ пересекает эту прямую в точке $S$.

2. Доказательство равнобедренного треугольника $KFS$.
Так как прямая $SK$ параллельна $FM$ по построению, а $FS$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle FSK = \angle LFM$.
По условию $FL$ — биссектриса угла $\angle KFM$, следовательно, она делит этот угол пополам: $\angle KFL = \angle LFM$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle FSK = \angle KFL$ (или $\angle KSF = \angle KFS$).
Треугольник, в котором углы при основании равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $\triangle KFS$ является равнобедренным с основанием $FS$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, поэтому $KS = KF$.
По условию $KF = 9$ см, значит, $KS = 9$ см.

3. Доказательство равенства треугольников $KSP$ и $NFP$.
Рассмотрим треугольники $\triangle KSP$ и $\triangle NFP$. Пусть $P$ — точка пересечения $FL$ и $KN$.

• $KP = PN$ по условию, так как $P$ — середина отрезка $KN$.
• $\angle KPS = \angle NPF$ как вертикальные углы.
• Поскольку $SK \parallel FM$, а точка $N$ лежит на $FM$, то $SK \parallel FN$. Прямая $KN$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle SKP = \angle FNP$ (или $\angle PKS = \angle PNF$).

Таким образом, $\triangle KSP \cong \triangle NFP$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

4. Нахождение длины отрезка $FN$.
Из равенства треугольников $\triangle KSP$ и $\triangle NFP$ следует равенство их соответственных сторон. В частности, сторона $FN$ треугольника $\triangle NFP$ равна соответственной стороне $KS$ треугольника $\triangle KSP$.
$FN = KS$.
Ранее мы нашли, что $KS = 9$ см, следовательно, $FN = 9$ см.

5. Нахождение длины стороны $FM$.
По условию задачи, точка $N$ делит сторону $FM$ в отношении $FN : NM = 3 : 1$.
Это означает, что $FN = 3 \cdot NM$.
Подставим найденное значение $FN$:
$9 = 3 \cdot NM$
$NM = 9 / 3 = 3$ см.
Длина стороны $FM$ равна сумме длин составляющих ее отрезков $FN$ и $NM$:
$FM = FN + NM = 9 + 3 = 12$ см.

Ответ: $12$ см.

85. На рисунке 102 $DM = DE$, $FM = FE$. Найдите $\angle DMF$, если $\angle DEF = 31^\circ$.

Рис. 102

85. На рисунке 102 $DM = DE$, $FM = FE$. Найдите $\angle DMF$, если $\angle DEF = 31^\circ$.

Рис. 102

Рассмотрим треугольники $ \triangle DMF $ и $ \triangle DEF $.

Сравним эти два треугольника по сторонам:
1) $DM = DE$ (согласно условию задачи).
2) $FM = FE$ (согласно условию задачи).
3) $DF$ — общая сторона для обоих треугольников.

Поскольку три стороны треугольника $ \triangle DMF $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle DEF $, то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников ($ \triangle DMF = \triangle DEF $) следует, что их соответствующие углы равны. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике $ \triangle DMF $ угол $ \angle DMF $ лежит напротив стороны $DF$.
В треугольнике $ \triangle DEF $ угол $ \angle DEF $ лежит напротив стороны $DF$.
Так как сторона $DF$ является общей для обоих треугольников, то противолежащие ей углы в этих равных треугольниках равны между собой.

Следовательно, $ \angle DMF = \angle DEF $.

По условию задачи дано, что $ \angle DEF = 31^\circ $.

Таким образом, $ \angle DMF = 31^\circ $.

Ответ: $31^\circ$.

86. На сторонах $BD$ и $B_1D_1$ треугольников $ABD$ и $A_1B_1D_1$ отметили соответственно точки $C$ и $C_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $CD = C_1D_1$.

86. На сторонах $BD$ и $B_1D_1$ треугольников $ABD$ и $A_1B_1D_1$ отметили соответственно точки $C$ и $C_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $CD = C_1D_1$.

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ необходимо последовательно доказать равенство их соответствующих элементов, опираясь на данные условия.

Равенство треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $

Сначала рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $. По условию задачи нам даны равенства трех пар их сторон:
$ AB = A_1B_1 $
$ AD = A_1D_1 $
$ BD = B_1D_1 $
Поскольку три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), эти треугольники равны: $ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 $.

Равенство углов $ \angle B $ и $ \angle B_1 $

Из равенства треугольников $ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 $ следует, что их соответствующие углы равны. Угол $ \angle ABD $ (обозначим его $ \angle B $) лежит напротив стороны $AD$. Угол $ \angle A_1B_1D_1 $ (обозначим его $ \angle B_1 $) лежит напротив стороны $A_1D_1$. Так как стороны $ AD $ и $ A_1D_1 $ равны, то и противолежащие им углы также равны: $ \angle B = \angle B_1 $.

Равенство сторон $ BC $ и $ B_1C_1 $

Из условия известно, что точка $C$ лежит на стороне $BD$, а точка $C_1$ — на стороне $B_1D_1$. Это значит, что длина отрезка $BC$ может быть вычислена как разность длин отрезков $BD$ и $CD$:
$ BC = BD - CD $
Аналогично для отрезка $B_1C_1$:
$ B_1C_1 = B_1D_1 - C_1D_1 $
Так как по условию $ BD = B_1D_1 $ и $ CD = C_1D_1 $, то правые части приведенных выше выражений равны. Следовательно, равны и их левые части: $ BC = B_1C_1 $.

Доказательство равенства $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $

Теперь мы можем применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) к треугольникам $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы установили, что у них:
- $ AB = A_1B_1 $ (по условию);
- $ BC = B_1C_1 $ (доказано выше);
- $ \angle B = \angle B_1 $ (доказано выше), причем этот угол находится между сторонами $AB$, $BC$ и $A_1B_1$, $B_1C_1$ соответственно.
Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Ответ: Равенство треугольников $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ доказано.

87. На рисунке 103 $AD = AC, BD = BC$. Докажите, что $\angle AOD = \angle AOC$.

Рис. 103

87. На рисунке 103 $AD = AC$, $BD = BC$. Докажите, что $\angle AOD = \angle AOC$.

88

Рис. 103

Для доказательства равенства углов $ \angle AOD $ и $ \angle AOC $ рассмотрим треугольники, в которые они входят, — $ \triangle AOD $ и $ \triangle AOC $.

Сначала докажем равенство треугольников $ \triangle ADB $ и $ \triangle ACB $.

У них:

1. $ AD = AC $ (по условию).

2. $ BD = BC $ (по условию).

3. $ AB $ — общая сторона.

Следовательно, $ \triangle ADB = \triangle ACB $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов, значит $ \angle DAB = \angle CAB $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle AOD $ и $ \triangle AOC $.

У них:

1. $ AD = AC $ (по условию).

2. $ AO $ — общая сторона.

3. $ \angle DAO = \angle CAO $ (так как $ \angle DAB = \angle CAB $, а точка O лежит на отрезке AB).

Следовательно, $ \triangle AOD = \triangle AOC $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $ \triangle AOD $ и $ \triangle AOC $ следует равенство их соответствующих углов, то есть $ \angle AOD = \angle AOC $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle AOD = \angle AOC $ доказано.

88. На рисунке 104 $AB = CD$, $BC = AD$, $AE = CF$. Найдите $\angle ABE$, если $\angle CDF = 49^\circ$.

Рис. 104

88. На рисунке 104 $AB = CD$, $BC = AD$, $AE = CF$. Найдите $\angle ABE$, если $\angle CDF = 49^\circ$.

Рис. 104

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи дано, что $AB = CD$ и $BC = AD$.

Поскольку у четырехугольника $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны, то по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$.

В этих треугольниках:

• $AB = CD$ (по условию).
• $AE = CF$ (по условию).
• $\angle BAE = \angle DCF$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$).

Следовательно, $\triangle ABE = \triangle CDF$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Значит, угол $\angle ABE$ треугольника $\triangle ABE$ равен соответствующему углу $\angle CDF$ треугольника $\triangle CDF$.

Таким образом, $\angle ABE = \angle CDF$.

По условию $\angle CDF = 49^\circ$, следовательно, $\angle ABE = 49^\circ$.

Ответ: $49^\circ$.