Страница 37 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. На рисунке 94 $AC = BC$, $\angle CAD = \angle CBF$. Докажите, что $AD = BF$.

Рис. 94

65. На рисунке 94 $AC = BC$, $\angle CAD = \angle CBF$. Докажите, что $AD = BF$.

Рис. 94

Для доказательства равенства отрезков $AD$ и $BF$ рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCF$.

Сравним эти треугольники, используя данные из условия задачи:

1. $AC = BC$ — по условию.
2. $\angle CAD = \angle CBF$ — по условию.
3. $\angle C$ — является общим углом для обоих треугольников, следовательно, $\angle ACD = \angle BCF$.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ACD$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle BCF$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCF$ равны:

$\triangle ACD \cong \triangle BCF$

Из равенства треугольников следует, что их соответственные элементы равны. Сторона $AD$ в треугольнике $\triangle ACD$ лежит напротив угла $\angle ACD$. Сторона $BF$ в треугольнике $\triangle BCF$ лежит напротив угла $\angle BCF$. Так как $\angle ACD = \angle BCF$, то и противолежащие им стороны равны.

Значит, $AD = BF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = BF$ доказано.

66. На рисунке 95 $AD = CF$, $\angle BAC = \angle DFE$, $\angle ACB = \angle EDF$.

Докажите, что $\angle ABC = \angle DEF$.

Рис. 95

66. На рисунке 95 $AD = CF$, $\angle BAC = \angle DFE$, $\angle ACB = \angle EDF$. Докажите, что $\angle ABC = \angle DEF$.

Рис. 95

Для доказательства того, что $\angle ABC = \angle DEF$, мы докажем равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle FDE$.

1. Сначала найдем равные стороны в этих треугольниках. Рассмотрим отрезки $AC$ и $DF$. Из рисунка видно, что точки A, D, C, F лежат на одной прямой. Длина отрезка $AC$ является суммой длин отрезков $AD$ и $DC$, то есть $AC = AD + DC$. Аналогично, длина отрезка $DF$ является суммой длин отрезков $DC$ и $CF$, то есть $DF = DC + CF$.

2. По условию задачи нам дано, что $AD = CF$. Если к обеим частям этого верного равенства прибавить одну и ту же величину — длину отрезка $DC$, — то равенство сохранится:

$AD + DC = CF + DC$

Заменяя суммы длин отрезков на основании пункта 1, получаем:

$AC = DF$

3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle FDE$. У них:

- $AC = DF$ (как доказано выше);

- $\angle BAC = \angle DFE$ (по условию);

- $\angle ACB = \angle EDF$ (по условию).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle FDE$).

4. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) следует, что $\triangle ABC \cong \triangle FDE$.

5. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. Следовательно, все соответствующие элементы этих треугольников равны. Углу $\angle ABC$ в треугольнике $\triangle ABC$ соответствует угол $\angle FED$ в треугольнике $\triangle FDE$.

Отсюда $\angle ABC = \angle FED$. Поскольку $\angle FED$ и $\angle DEF$ — это обозначения одного и того же угла, мы доказали, что $\angle ABC = \angle DEF$.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $\angle ABC = \angle DEF$ следует из равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle FDE$, которое устанавливается по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

67. На рисунке 96 $BO = OD, EO = OF$. Докажите, что $\triangle AOB = \triangle COD$.

Рис. 96

67. На рисунке 96 $BO = OD$, $EO = OF$. Докажите, что $\triangle AOB = \triangle COD$.

Рис. 96

Для доказательства того, что $ \triangle AOB = \triangle COD $, необходимо сначала рассмотреть треугольники $ \triangle EOB $ и $ \triangle FOD $.

В треугольниках $ \triangle EOB $ и $ \triangle FOD $ имеются следующие равенства:
1. $ EO = OF $ (согласно условию задачи).
2. $ BO = OD $ (согласно условию задачи).
3. $ \angle EOB = \angle FOD $ (поскольку эти углы являются вертикальными).

Таким образом, $ \triangle EOB = \triangle FOD $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $ \triangle EOB $ и $ \triangle FOD $ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их углы: $ \angle OBE = \angle ODF $.

Теперь перейдем к доказательству равенства треугольников $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $.
Рассмотрим $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $:
1. $ BO = OD $ (согласно условию задачи).
2. $ \angle AOB = \angle COD $ (поскольку эти углы являются вертикальными).
3. $ \angle ABO = \angle CDO $ (поскольку $ \angle ABO $ — это тот же угол, что и $ \angle OBE $, а $ \angle CDO $ — тот же угол, что и $ \angle ODF $, а мы уже доказали, что $ \angle OBE = \angle ODF $).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \triangle AOB = \triangle COD $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $ доказано.

68. На рисунке 97 $BO = OD$, $EO = OF$, $\angle ADB = \angle CBD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CDB$.

Рис. 97

68. На рисунке 97 $BO = OD$, $EO = OF$, $\angle ADB = \angle CBD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CDB$.

Рис. 97

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, УСУ).

Для этого нам необходимо показать, что одна сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

1. Рассмотрим сторону $BD$. Она является общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.

2. По условию задачи нам дано, что $\angle ADB = \angle CBD$. Эти углы прилежат к общей стороне $BD$.

3. Нам осталось доказать равенство второй пары прилежащих углов: $\angle ABD = \angle CDB$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle BOE$ и $\triangle DOF$.

Из условия задачи известно, что:

• $BO = OD$
• $EO = OF$

Углы $\angle BOE$ и $\angle DOF$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $BD$ и $EF$.

Таким образом, $\triangle BOE = \triangle DOF$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных углов: $\angle OBE = \angle ODF$.

Угол $\angle OBE$ является тем же углом, что и $\angle ABD$, а угол $\angle ODF$ — тем же, что и $\angle CDB$. Следовательно, мы доказали, что $\angle ABD = \angle CDB$.

Теперь мы имеем все необходимые элементы для доказательства равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$:

• $\angle ADB = \angle CBD$ (по условию)
• $BD$ — общая сторона
• $\angle ABD = \angle CDB$ (доказано выше)

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABD = \triangle CDB$ доказано.

69. На рисунке 98 $BD=BE$, $DC=AE$, $\angle BDC = \angle BEA$. Найдите длину отрезка $AD$, если $CE = 6$ см.

Рис. 98

69. На рисунке 98 $BD = BE, DC = AE, \angle BDC = \angle BEA.$ Найдите длину отрезка $AD$, если $CE = 6$ см.

Рис. 98

Рассмотрим треугольники $ \triangle BDC $ и $ \triangle BEA $. По условию задачи даны следующие равенства:
1) $BD = BE$
2) $DC = AE$
3) $\angle BDC = \angle BEA$

Данные условия соответствуют равенству треугольников по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них (признак SSA). В общем случае этот признак не гарантирует равенство треугольников. Однако, если данный угол является тупым или прямым, то треугольник по таким элементам строится однозначно, и, следовательно, треугольники равны. На рисунке 98 углы $\angle BDC$ и $\angle BEA$ изображены тупыми. Будем исходить из того, что они являются тупыми. В этом случае мы можем утверждать, что $ \triangle BDC \cong \triangle BEA $.

Из равенства треугольников $ \triangle BDC $ и $ \triangle BEA $ следует равенство их соответствующих элементов:
• Стороны $BC$ и $BA$ равны, так как они лежат против равных углов $\angle BDC$ и $\angle BEA$. Таким образом, $BC = BA$.
• Углы $\angle DBC$ и $\angle EBA$ равны, так как они лежат против равных сторон $DC$ и $AE$. Таким образом, $\angle DBC = \angle EBA$.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBE $. Докажем их равенство.
1. $AB = CB$, как было показано выше.
2. $BD = BE$, согласно условию задачи.
3. Сравним углы $\angle ABD$ и $\angle CBE$. Угол $\angle ABC$ можно представить в виде суммы углов двумя способами:
$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$
$\angle ABC = \angle CBE + \angle EBA$
Приравнивая правые части этих выражений, получаем: $\angle ABD + \angle DBC = \angle CBE + \angle EBA$.
Поскольку мы уже установили, что $\angle DBC = \angle EBA$, мы можем вычесть эту равную величину из обеих частей равенства. В результате получаем: $\angle ABD = \angle CBE$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в $ \triangle ABD $, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в $ \triangle CBE $:
• $AB = CB$
• $\angle ABD = \angle CBE$
• $BD = BE$
Следовательно, $ \triangle ABD \cong \triangle CBE $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS).

Из равенства треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBE $ следует равенство их соответственных сторон. Сторона $AD$ в $ \triangle ABD $ соответствует стороне $CE$ в $ \triangle CBE $. Значит, $AD = CE$.

По условию задачи известно, что $CE = 6$ см.Следовательно, длина отрезка $AD$ также равна 6 см.

Ответ: 6 см.

70. Основание равнобедренного треугольника равно 5 см, а боковая сторона — 6 см. Найдите периметр треугольника.

70. Основание равнобедренного треугольника равно 5 см, а боковая сторона – 6 см. Найдите периметр треугольника.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны и одно основание.

Из условия задачи нам известны длины сторон треугольника:

• Основание = 5 см.
• Боковая сторона = 6 см.

Поскольку треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны имеют одинаковую длину. Таким образом, стороны треугольника равны 5 см, 6 см и 6 см.

Для того чтобы найти периметр ($P$), необходимо сложить длины всех трех сторон:
$P = \text{основание} + \text{боковая сторона} + \text{боковая сторона}$
$P = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} + 6 \text{ см}$

Выполним вычисление:
$P = 11 \text{ см} + 6 \text{ см} = 17 \text{ см}$

Ответ: 17 см.

71. Периметр равнобедренного треугольника равен 12 см, а боковая сторона — 5 см. Найдите основание треугольника.

71. Периметр равнобедренного треугольника равен 12 см, а боковая сторона — 5 см. Найдите основание треугольника.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника, где $a$ — длина боковой стороны, а $b$ — длина основания, формула периметра выглядит следующим образом:

$P = a + a + b = 2a + b$

По условию задачи нам даны следующие значения:

Периметр $P = 12$ см.

Боковая сторона $a = 5$ см.

Чтобы найти длину основания $b$, подставим известные значения в формулу периметра:

$12 = 2 \cdot 5 + b$

Теперь решим полученное уравнение:

$12 = 10 + b$

Выразим $b$ из уравнения:

$b = 12 - 10$

$b = 2$

Следовательно, длина основания треугольника равна 2 см.

Ответ: 2 см.