Страница 31 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Запишите все углы, изображённые на рисунке 74.

Рис. 74

a) Углы на рисунке a): $ \angle KME $, $ \angle EMP $, $ \angle KMP $.

б) Углы на рисунке б): $ \angle AOF $, $ \angle FOM $, $ \angle AOT $, $ \angle TOM $, $ \angle FOT $, $ \angle AOM $.

21. Запишите все углы, изображённые на рисунке 74.

Рис. 74

$\angle KMP$

$\angle PME$

$\angle KME$

$\angle AOF$

$\angle FOT$

$\angle TOM$

$\angle AOT$

$\angle FOM$

$\angle AOM$

а

На рисунке "а" изображены три луча с общим началом в точке M: MK, MP и ME. Эти лучи образуют три различных угла, вершиной которых является точка M:
1. Угол, образованный лучами MK и MP. Обозначается как $\angle KMP$ или $\angle PMK$.
2. Угол, образованный лучами MP и ME. Обозначается как $\angle PME$ или $\angle EMP$.
3. Угол, образованный лучами MK и ME. Обозначается как $\angle KME$ или $\angle EMK$.
Ответ: $\angle KMP$, $\angle PME$, $\angle KME$.

б

На рисунке "б" изображена прямая AM и лучи OF и OT, выходящие из точки O, которая лежит на прямой. Точка O является общей вершиной для следующих углов:
1. Угол, образованный лучами OA и OF. Обозначается как $\angle AOF$.
2. Угол, образованный лучами OF и OT. Обозначается как $\angle FOT$.
3. Угол, образованный лучами OT и OM. Обозначается как $\angle TOM$.
Помимо этих трёх углов, можно выделить углы, которые являются их комбинациями, а также развёрнутый угол:
4. Угол, образованный лучами OA и OT ($\angle AOT = \angle AOF + \angle FOT$).
5. Угол, образованный лучами OF и OM ($\angle FOM = \angle FOT + \angle TOM$).
6. Развёрнутый угол, образованный лучами OA и OM, которые составляют прямую. Обозначается как $\angle AOM$. Его величина равна 180°.
Ответ: $\angle AOF$, $\angle FOT$, $\angle TOM$, $\angle AOT$, $\angle FOM$, $\angle AOM$.

22. Начертите угол $\angle ABC$ и проведите лучи $BD$ и $BE$ между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.

22. Начертите угол $ABC$ и проведите лучи $BD$ и $BE$ между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.

22.

Для решения задачи сначала начертим угол $\angle ABC$ с вершиной в точке B и сторонами (лучами) BA и BC.

Затем, согласно условию, проведем из вершины B два луча, BD и BE, так, чтобы они находились между сторонами исходного угла. Для определенности, предположим, что лучи расположены в следующем порядке: BA, BD, BE, BC.

В результате у нас есть четыре луча, исходящих из одной вершины B. Любая пара этих лучей образует угол. Чтобы найти общее количество образовавшихся углов, можно использовать комбинаторную формулу для числа сочетаний из 4 элементов по 2:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Таким образом, всего образовалось 6 углов.

Теперь перечислим все эти углы, систематически рассматривая все возможные пары лучей:
1. Углы, образованные соседними лучами: $\angle ABD$, $\angle DBE$, $\angle EBC$.
2. Углы, которые включают в себя по два соседних угла: $\angle ABE$ (состоит из $\angle ABD$ и $\angle DBE$) и $\angle DBC$ (состоит из $\angle DBE$ и $\angle EBC$).
3. Исходный, самый большой угол, который включает в себя все три меньших угла: $\angle ABC$.

Ответ: Образовались следующие углы: $\angle ABC$, $\angle ABD$, $\angle ABE$, $\angle DBC$, $\angle DBE$, $\angle EBC$.

23. Пользуясь транспортиром, найдите градусные меры углов, изображённых на рисунке 75. Укажите вид каждого угла.

Рис. 75

$ \angle ABC $

$ \angle MKE $

$ \angle SRT $

$ \angle HQP $

$ \angle ODF $

23. Пользуясь транспортиром, найдите градусные меры углов, изображённых на рисунке 75. Укажите вид каждого угла.

Рис. 75

Для того чтобы найти градусные меры углов, изображенных на рисунке, и определить их вид, воспользуемся транспортиром. Алгоритм измерения для каждого угла следующий:

1. Совместить вершину угла с центром транспортира.
2. Расположить транспортир так, чтобы одна из сторон угла проходила через нулевую отметку на его шкале.
3. Найти на той же шкале отметку, через которую проходит вторая сторона угла. Это значение и будет градусной мерой угла.
4. Определить вид угла:
   • острый, если его мера меньше $90°$;
   • прямой, если его мера равна $90°$;
   • тупой, если его мера больше $90°$, но меньше $180°$.

Выполним измерения для каждого угла на рисунке 75.

• Угол ABC

  Измерив угол с вершиной в точке B, получаем, что его градусная мера равна $45°$. Так как $45° < 90°$, то угол ABC является острым.

  Ответ: $45°$, острый угол.

• Угол MKE

  Измерив угол с вершиной в точке K, получаем, что его градусная мера равна $115°$. Так как $90° < 115° < 180°$, то угол MKE является тупым.

  Ответ: $115°$, тупой угол.

• Угол SRT

  Измерив угол с вершиной в точке R, получаем, что его градусная мера равна $135°$. Так как $90° < 135° < 180°$, то угол SRT является тупым.

  Ответ: $135°$, тупой угол.

• Угол HQP

  Измерив угол с вершиной в точке Q, получаем, что его градусная мера равна $25°$. Так как $25° < 90°$, то угол HQP является острым.

  Ответ: $25°$, острый угол.

• Угол ODF

  Измерив угол с вершиной в точке D, получаем, что его градусная мера равна $125°$. Так как $90° < 125° < 180°$, то угол ODF является тупым.

  Ответ: $125°$, тупой угол.

24. Начертите угол, градусная мера которого равна:

1) $54^{\circ}$;

2) $90^{\circ}$;

3) $147^{\circ}$;

4) $88^{\circ}$.

Укажите вид каждого угла.

24. Начертите угол, градусная мера которого равна:

1) $54^\circ$;

2) $90^\circ$;

3) $147^\circ$;

4) $88^\circ$.

Укажите вид каждого угла.

Для решения этой задачи необходимо классифицировать каждый угол в зависимости от его градусной меры. Углы классифицируются следующим образом:

• Острый угол — угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
• Прямой угол — угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
• Тупой угол — угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
• Развернутый угол — угол, градусная мера которого равна $180^\circ$.

Начертить углы можно с помощью линейки и транспортира. Для этого нужно начертить луч, приложить транспортир его центром к началу луча так, чтобы луч совпал с отметкой $0^\circ$, найти на шкале транспортира нужное значение в градусах, поставить точку и соединить ее с началом первого луча.

1) 54°

Градусная мера угла равна $54^\circ$. Сравним это значение с $90^\circ$:

$54^\circ < 90^\circ$

Так как градусная мера угла меньше $90^\circ$, этот угол является острым.

Ответ: острый угол.

2) 90°

Градусная мера угла равна $90^\circ$.

Угол, равный $90^\circ$, по определению является прямым. При построении его вершина часто обозначается небольшим квадратом.

Ответ: прямой угол.

3) 147°

Градусная мера угла равна $147^\circ$. Сравним это значение с $90^\circ$ и $180^\circ$:

$90^\circ < 147^\circ < 180^\circ$

Так как градусная мера угла больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$, этот угол является тупым.

Ответ: тупой угол.

4) 88°

Градусная мера угла равна $88^\circ$. Сравним это значение с $90^\circ$:

$88^\circ < 90^\circ$

Так как градусная мера угла меньше $90^\circ$, этот угол является острым.

Ответ: острый угол.

25. Начертите угол $DEF$, равный $116^\circ$. Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису.

25. Начертите угол $ \angle DEF $, равный $ 116^\circ $. Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два основных действия: сначала построить заданный угол, а затем провести его биссектрису. Поскольку задача требует физического чертежа, ниже приведено подробное пошаговое описание этих действий.

Построение угла DEF, равного 116°

1. Возьмите линейку и карандаш. Начертите на бумаге луч с началом в точке E. Отметьте на этом луче любую точку F. Это будет сторона EF вашего угла.

2. Возьмите транспортир. Совместите центр транспортира с вершиной угла — точкой E. Поверните транспортир так, чтобы его нулевая отметка (начало шкалы) совпала с лучом EF.

3. Найдите на шкале транспортира деление, соответствующее $116^\circ$. Поставьте карандашом точку напротив этого деления. Назовите эту точку D.

4. Уберите транспортир. С помощью линейки соедините точку E (вершину угла) с точкой D. Вы получите второй луч угла — ED.

5. Полученный угол $\angle DEF$ и есть искомый угол, его величина составляет $116^\circ$.

Проведение биссектрисы угла DEF

Биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла. Для построения биссектрисы угла $\angle DEF$ выполните следующие действия:

1. Сначала вычислите, какой величины будут углы, полученные после деления исходного угла пополам. Для этого разделите градусную меру угла $\angle DEF$ на 2:

$116^\circ \div 2 = 58^\circ$

Это означает, что биссектриса разделит наш угол на два угла, каждый по $58^\circ$.

2. Снова приложите транспортир к углу. Совместите его центр с вершиной E, а нулевую отметку — с лучом EF.

3. Найдите на шкале транспортира деление, соответствующее $58^\circ$. Поставьте карандашом точку напротив этого деления. Назовите эту точку, например, K.

4. С помощью линейки проведите луч EK.

Этот луч EK является биссектрисой угла $\angle DEF$. Он делит его на два равных угла: $\angle DEK$ и $\angle KEF$, при этом $\angle DEK = \angle KEF = 58^\circ$.

Ответ: Для построения угла $\angle DEF$ в $116^\circ$ и проведения его биссектрисы необходимо выполнить описанные выше шаги с использованием линейки и транспортира. Биссектриса разделит исходный угол на два равных угла по $58^\circ$.

26. Луч $DF$ проходит между сторонами угла $EDK$. Найдите угол $FDK$, если $\angle EDK = 38^{\circ}$, $\angle EDF = 29^{\circ}$.

26. Луч DF проходит между сторонами угла $\angle EDK$. Найдите угол $\angle FDK$, если $\angle EDK = 38^\circ$, $\angle EDF = 29^\circ$.

По условию задачи, луч $DF$ проходит между сторонами угла $EDK$. Это означает, что угол $EDK$ состоит из двух углов: $∠EDF$ и $∠FDK$.

Согласно аксиоме о сложении углов, если луч делит угол на два угла, то градусная мера исходного угла равна сумме градусных мер этих двух углов. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$∠EDK = ∠EDF + ∠FDK$

В задаче даны значения:

$∠EDK = 38°$

$∠EDF = 29°$

Чтобы найти величину угла $FDK$, нужно из величины всего угла $EDK$ вычесть величину его части, угла $EDF$. Выразим $∠FDK$ из формулы:

$∠FDK = ∠EDK - ∠EDF$

Подставим известные значения и выполним вычисление:

$∠FDK = 38° - 29° = 9°$

Ответ: $9°$

27. Луч $BC$ проходит между сторонами угла $ABD$, равного $115^\circ$. Найдите углы $CBD$ и $ABC$, если угол $CBD$ в 4 раза больше угла $ABC$.

27. Луч $BC$ проходит между сторонами угла $ABD$, равного $115^{\circ}$. Найдите углы $CBD$ и $ABC$, если угол $CBD$ в 4 раза больше угла $ABC$.

Поскольку луч BC проходит между сторонами угла ABD, то градусная мера угла ABD равна сумме градусных мер углов ABC и CBD. Это можно записать в виде равенства:

$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$

По условию задачи нам известно, что $\angle ABD = 115^{\circ}$, а угол CBD в 4 раза больше угла ABC.

Введем переменную. Пусть градусная мера меньшего угла, $\angle ABC$, равна $x$.

Тогда, согласно условию, градусная мера угла CBD будет равна $4x$.

Теперь подставим известные значения и переменные в наше равенство:

$x + 4x = 115^{\circ}$

Решим полученное уравнение:

$5x = 115^{\circ}$

$x = \frac{115^{\circ}}{5}$

$x = 23^{\circ}$

Мы нашли значение $x$, которое соответствует градусной мере угла ABC:

$\angle ABC = 23^{\circ}$

Теперь найдем градусную меру угла CBD, умножив $x$ на 4:

$\angle CBD = 4 \cdot x = 4 \cdot 23^{\circ} = 92^{\circ}$

Проверим результат: $\angle ABC + \angle CBD = 23^{\circ} + 92^{\circ} = 115^{\circ}$. Это соответствует исходному значению угла ABD.

Ответ: $\angle CBD = 92^{\circ}$, $\angle ABC = 23^{\circ}$.

28. Развёрнутый угол разделили на 3 угла, градусные меры которых относятся как $2 : 3 : 4$. Найдите величины этих углов.

28. Развёрнутый угол разделили на 3 угла, градусные меры которых относятся как $2 : 3 : 4$. Найдите величины этих углов.

Развернутый угол по определению равен $180^\circ$.
По условию задачи, этот угол разделен на три меньших угла, градусные меры которых соотносятся как $2:3:4$.

Для решения задачи введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры трех углов можно выразить как $2x$, $3x$ и $4x$.

Сумма этих трех углов составляет развернутый угол, поэтому мы можем составить уравнение:

$2x + 3x + 4x = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все члены с переменной $x$ в левой части:

$9x = 180^\circ$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 9:

$x = \frac{180^\circ}{9}$

$x = 20^\circ$

Теперь, когда мы нашли значение коэффициента пропорциональности, мы можем вычислить величину каждого из трех углов:

Первый угол: $2x = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$
Второй угол: $3x = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$
Третий угол: $4x = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Проверим, что сумма углов действительно равна $180^\circ$: $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$.

Ответ: величины углов равны $40^\circ$, $60^\circ$ и $80^\circ$.