Страница 30 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Точки $K$, $P$ и $T$ лежат на одной прямой. Найдите расстояние между точками $P$ и $T$, если $KP = 4.9$ см, $KT = 5.4$ см. Сколько решений имеет задача?

14. Точки $K$, $P$ и $T$ лежат на одной прямой. Найдите расстояние между точками $P$ и $T$, если $KP = 4,9$ см, $KT = 5,4$ см. Сколько решений имеет задача?

Поскольку точки K, P и T лежат на одной прямой, для нахождения расстояния между P и T необходимо рассмотреть все возможные варианты их взаимного расположения. Точка K является общей для двух известных отрезков KP и KT, поэтому рассмотрим расположение точек P и T относительно точки K.

Случай 1: Точка P лежит между точками K и T

В этом случае порядок расположения точек на прямой следующий: K—P—T. Длина отрезка KT равна сумме длин отрезков KP и PT. Математически это записывается так:

$KT = KP + PT$

Чтобы найти расстояние PT, выразим его из формулы:

$PT = KT - KP$

Подставим известные значения $KP = 4,9$ см и $KT = 5,4$ см:

$PT = 5,4 - 4,9 = 0,5$ см.

Случай 2: Точка K лежит между точками P и T

В этом случае порядок расположения точек на прямой следующий: P—K—T. Длина отрезка PT равна сумме длин отрезков PK и KT:

$PT = PK + KT$

Так как длина отрезка не зависит от направления измерения, $PK = KP = 4,9$ см. Подставим известные значения:

$PT = 4,9 + 5,4 = 10,3$ см.

Следует также рассмотреть вариант, когда точка T лежит между K и P. В этом случае было бы верно равенство $KP = KT + TP$. Подставив значения, получим $4,9 = 5,4 + TP$, что невозможно, так как длина отрезка ($TP$) не может быть отрицательной. Следовательно, этот случай исключен.

Таким образом, задача имеет два возможных решения, соответствующих двум возможным расположениям точек на прямой.

Ответ: расстояние между точками P и T равно $0,5$ см или $10,3$ см. Задача имеет 2 решения.

15. Точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной прямой. Точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$. Найдите длину отрезка $CD$, если $AB = 10$ см, $AC = 3$ см, $BD = 4$ см. Сколько решений имеет задача?

15. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой. Точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$. Найдите длину отрезка $CD$, если $AB = 10$ см, $AC = 3$ см, $BD = 4$ см. Сколько решений имеет задача?

По условию задачи, точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Точка C лежит между точками A и B, из чего следует, что отрезок AB равен сумме длин отрезков AC и CB. Математически это записывается как $AB = AC + CB$.

Нам известны длины отрезков AB и AC: $AB = 10$ см и $AC = 3$ см. Используя эти данные, мы можем найти длину отрезка CB:$CB = AB - AC = 10 \text{ см} - 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Далее, нам нужно найти длину отрезка CD. Мы знаем, что точка D также лежит на этой прямой и расстояние от B до D составляет 4 см ($BD = 4$ см). Это означает, что точка D может находиться с любой из двух сторон от точки B. Рассмотрим оба возможных варианта.

Случай 1: Точка D лежит между точками C и B.

В этом случае порядок расположения точек на прямой будет следующим: A, C, D, B. Отрезок CB будет состоять из отрезков CD и DB. Следовательно, $CB = CD + DB$.Чтобы найти длину CD, выразим ее из этого равенства:$CD = CB - DB$.Подставляем известные значения:$CD = 7 \text{ см} - 4 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Случай 2: Точка B лежит между точками C и D.

В этом случае порядок расположения точек на прямой будет таким: A, C, B, D. Отрезок CD будет состоять из отрезков CB и BD. Следовательно, $CD = CB + BD$.Чтобы найти длину CD, сложим известные длины:$CD = 7 \text{ см} + 4 \text{ см} = 11 \text{ см}$.

Поскольку оба случая возможны и не противоречат условиям задачи, мы получаем два разных значения для длины отрезка CD. Это означает, что задача имеет два решения.

Ответ: Длина отрезка CD может быть равна 3 см или 11 см. Задача имеет 2 решения.

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина отрезка $AB$ была равной $8 \text{ см}$. Найдите на прямой $AB$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна:

1) $8 \text{ см}$;

2) $10 \text{ см}$;

3) $7 \text{ см}$.

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина отрезка $AB$ была равной 8 см. Найдите на прямой $AB$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна:

1) 8 см;

2) 10 см;

3) 7 см.

Начертим прямую и отметим на ней отрезок $AB$ длиной 8 см. Пусть $M$ – искомая точка на этой прямой. Проанализируем, где может располагаться точка $M$ относительно отрезка $AB$.

Возможны три случая:

1. Точка $M$ лежит на отрезке $AB$ (между точками $A$ и $B$, включая концы). В этом случае сумма расстояний от точки $M$ до концов отрезка равна длине самого отрезка: $MA + MB = AB$.
2. Точка $M$ лежит на прямой вне отрезка $AB$. В этом случае точка $M$ либо на луче, продолжающем отрезок за точку $A$, либо на луче, продолжающем отрезок за точку $B$. В обоих случаях сумма расстояний $MA + MB$ будет строго больше длины отрезка $AB$ ($MA + MB > AB$). Это следует из аксиомы измерения отрезков (если точка $A$ лежит между $M$ и $B$, то $MB = MA + AB$, откуда $MA + MB = 2MA + AB > AB$).

Используем эти соображения для решения каждого пункта.

1) Сумма расстояний равна 8 см
Требуется найти все точки $M$ на прямой $AB$, для которых $MA + MB = 8$ см.
Поскольку длина отрезка $AB$ также равна 8 см, мы ищем точки, для которых выполняется равенство $MA + MB = AB$.
Как было показано выше, это равенство справедливо для всех точек $M$, которые принадлежат отрезку $AB$, включая его концы $A$ и $B$.
Ответ: Все точки отрезка $AB$.

2) Сумма расстояний равна 10 см
Требуется найти все точки $M$ на прямой $AB$, для которых $MA + MB = 10$ см.
Так как $10 \text{ см} > 8 \text{ см}$ ($10 > AB$), искомые точки $M$ должны лежать на прямой вне отрезка $AB$.
Рассмотрим два подслучая:
a) Точка $M$ лежит на прямой за точкой $B$ (порядок точек на прямой: A-B-M). В этом случае расстояние $MA = AB + MB$. Тогда сумма расстояний $MA + MB = (AB + MB) + MB = AB + 2MB$.
Подставляем значения: $10 = 8 + 2MB$.
$2MB = 10 - 8 = 2$.
$MB = 1$ см.
Таким образом, одна из искомых точек находится на расстоянии 1 см от точки $B$ на продолжении отрезка $AB$.
б) Точка $M$ лежит на прямой за точкой $A$ (порядок точек на прямой: M-A-B). В этом случае расстояние $MB = MA + AB$. Тогда сумма расстояний $MA + MB = MA + (MA + AB) = 2MA + AB$.
Подставляем значения: $10 = 2MA + 8$.
$2MA = 10 - 8 = 2$.
$MA = 1$ см.
Таким образом, вторая искомая точка находится на расстоянии 1 см от точки $A$ на продолжении отрезка $AB$.
Ответ: Существуют две такие точки: одна находится на прямой на расстоянии 1 см от точки $A$ вне отрезка $AB$, а другая – на расстоянии 1 см от точки $B$ вне отрезка $AB$.

3) Сумма расстояний равна 7 см
Требуется найти все точки $M$ на прямой $AB$, для которых $MA + MB = 7$ см.
Для любой точки $M$ на прямой, содержащей отрезок $AB$, выполняется неравенство $MA + MB \ge AB$ (неравенство треугольника для вырожденного случая, когда все три точки лежат на одной прямой).
Поскольку $AB = 8$ см, то для любой точки $M$ на прямой $AB$ должно выполняться условие $MA + MB \ge 8$ см.
Условие задачи $MA + MB = 7$ см противоречит этому, так как $7 < 8$.
Следовательно, на прямой $AB$ не существует ни одной точки, для которой сумма расстояний до точек $A$ и $B$ была бы равна 7 см.
Ответ: Таких точек не существует.

17. Пересекаются ли изображённые на рисунке 71:

1) луч $OT$ и отрезок $QR$;

2) луч $OT$ и прямая $MN$?

Рис. 71

17. Пересекаются ли изображённые на рисунке 71:

1) луч $OT$ и отрезок $QR$;

2) луч $OT$ и прямая $MN$?

Рис. 71

1) луч ОТ и отрезок QR;

По определению, луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца. Луч ОТ начинается в точке О и продолжается бесконечно в направлении точки Т (влево на рисунке).

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Отрезок QR ограничен точками Q и R.

На рисунке 71 видно, что луч ОТ и отрезок QR расположены в разных частях плоскости и не имеют общих точек. Продолжение луча ОТ влево до бесконечности не приведёт к его пересечению с отрезком QR, который является конечным и находится правее.

Ответ: не пересекаются.

2) луч ОТ и прямая MN?

Луч ОТ, как и в предыдущем пункте, начинается в точке О и уходит влево в бесконечность.

Прямая — это линия, которая не имеет ни начала, ни конца, то есть она бесконечна в обе стороны. Прямая MN проходит через точки M и N и продолжается бесконечно в обоих направлениях.

На рисунке видно, что прямые, которым принадлежат луч ОТ и отрезок MN, не являются параллельными. Две непараллельные прямые на плоскости обязательно пересекаются в одной точке. Судя по их наклону, они сближаются при движении влево. Это означает, что точка их пересечения будет находиться где-то левее изображённой части рисунка.

Поскольку луч ОТ продолжается бесконечно влево от точки О, то точка пересечения прямых будет принадлежать и лучу ОТ. Следовательно, луч ОТ и прямая MN пересекаются.

Ответ: пересекаются.

18. Прямая $EF$ пересекает прямые $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $K$ соответственно (рис. 72).

1) Укажите все образовавшиеся лучи с началом в точке $P$.

2) Укажите пары дополнительных лучей, начало которых — точка $K$.

Рис. 72

18. Прямая $EF$ пересекает прямые $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $K$ соответственно (рис. 72).

1) Укажите все образовавшиеся лучи с началом в точке $P$.

2) Укажите пары дополнительных лучей, начало которых — точка $K$.

Рис. 72

1) Укажите все образовавшиеся лучи с началом в точке P.

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой (началом луча). Точка $P$ является точкой пересечения прямых $AB$ и $EF$. Каждая прямая, проходящая через точку $P$, разделяется этой точкой на два луча.

На прямой $AB$ из точки $P$ выходят два луча: $PA$ и $PB$.

На прямой $EF$ из точки $P$ выходят два луча: $PE$ и $PF$.

Всего образовалось четыре луча с началом в точке $P$.

Ответ: $PA, PB, PE, PF$.

2) Укажите пары дополнительных лучей, начало которых — точка K.

Дополнительные (или противоположные) лучи — это два луча одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны. Точка $K$ является точкой пересечения прямых $CD$ и $EF$.

На прямой $CD$ точка $K$ является началом для двух дополнительных лучей: $KC$ и $KD$.

На прямой $EF$ точка $K$ является началом для двух других дополнительных лучей: $KE$ и $KF$.

Таким образом, мы имеем две пары дополнительных лучей с началом в точке $K$.

Ответ: первая пара — $KC$ и $KD$; вторая пара — $KE$ и $KF$.

19. Отметьте точки $A, B, C$ и $D$ так, чтобы прямые $AB$ и $CD$ пересекались, а лучи $AB$ и $CD$ не пересекались.

19. Отметьте точки $A, B, C$ и $D$ так, чтобы прямые $AB$ и $CD$ пересекались, а лучи $AB$ и $CD$ не пересекались.

Для решения этой задачи необходимо понимать разницу между прямой и лучом. Прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, является бесконечной в обе стороны. Луч $AB$ имеет начало в точке $A$ и продолжается бесконечно только в направлении точки $B$.

Условие задачи состоит из двух частей:
1. Прямые $AB$ и $CD$ должны пересекаться.
2. Лучи $AB$ и $CD$ не должны пересекаться.

Чтобы прямые пересекались, они не должны быть параллельны. Для этого достаточно начертить две пересекающиеся прямые. Пусть они пересекаются в точке $O$. Точки $A$ и $B$ будут лежать на одной прямой, а точки $C$ и $D$ — на другой.

Чтобы лучи $AB$ и $CD$, лежащие на этих прямых, не пересекались, их единственная общая точка $O$ (точка пересечения прямых) не должна принадлежать обоим лучам одновременно. Самый наглядный способ это сделать — расположить точки так, чтобы точка $O$ не принадлежала ни лучу $AB$, ни лучу $CD$.

Порядок построения:

1. Начертите две пересекающиеся прямые. Точку их пересечения условно обозначьте как $O$.

2. На одной из прямых выберите сторону от точки $O$. На этой стороне (полупрямой с началом в $O$) отметьте точки $A$ и $B$. Например, так, чтобы порядок точек на прямой был $O, A, B$. В этом случае луч $AB$ начинается в точке $A$ и направлен в сторону от точки $O$.

3. Аналогично на второй прямой выберите любую сторону от точки $O$ и отметьте на ней точки $C$ и $D$. Например, в порядке $O, C, D$. В этом случае луч $CD$ начинается в точке $C$ и также направлен в сторону от точки $O$.

В результате такого построения прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, а лучи $AB$ и $CD$ начинаются в точках $A$ и $C$ и направлены от точки $O$, поэтому они не пересекаются. Задача решена.

Ответ: Нужно начертить две пересекающиеся прямые (например, в виде буквы Х). В точке их пересечения можно мысленно поставить точку $O$. Затем на одном из четырех получившихся лучей с началом в точке $O$ нужно отметить точки $A$ и $B$. А на любом другом из трех оставшихся лучей с началом в точке $O$ нужно отметить точки $C$ и $D$.

20. Из приведённых записей выпишите те, которые являются обозначением угла с вершиной M, изображённого на рисунке 73: $ \angle AOM $; $ \angle AMO $; $ \angle AMB $; $ \angle OMA $; $ \angle AMK $; $ \angle MAO $; $ \angle ABO $; $ \angle KMB $; $ \angle OMB $.

Рис. 73

20. Из приведённых записей выпишите те, которые являются обозначением угла с вершиной $M$, изображённого на рисунке 73: $AOM$; $AMO$; $AMB$; $OMA$; $AMK$; $MAO$; $ABO$; $KMB$; $OMB$.

Рис. 73

Согласно правилам геометрии, угол обозначается тремя заглавными буквами. Буква, обозначающая вершину угла, всегда должна находиться в середине записи. Две другие буквы обозначают точки, которые лежат на разных сторонах (лучах) этого угла.

В данной задаче необходимо найти обозначения для угла с вершиной в точке M. На рисунке мы видим, что из точки M выходят два луча:

• Один луч проходит через точки B и A.
• Второй луч проходит через точки K и O.

Таким образом, в правильном обозначении искомого угла буква M должна стоять в центре. Первая и третья буквы должны обозначать точки, взятые с разных лучей. Например, одна точка с луча MA (точка A или B), а другая — с луча MO (точка K или O).

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

• AOM: Неверно. Вершиной этого угла является точка O, а не M.
• AMO: Верно. Вершина угла — точка M. Точка A лежит на одной стороне угла, а точка O — на другой. Обозначение угла: $\angle AMO$.
• AMB: Неверно. Хотя M является вершиной, точки A и B лежат на одной и той же стороне (луче). Такая запись обозначает угол в 0° или 180°, но не тот угол, что изображён на рисунке.
• OMA: Верно. Это то же самое, что и угол $\angle AMO$. Вершина — M, а точки O и A лежат на разных сторонах.
• AMK: Верно. Вершина — M, точки A и K лежат на разных сторонах. Обозначение угла: $\angle AMK$.
• MAO: Неверно. Вершиной этого угла является точка A.
• ABO: Неверно. Вершиной этого угла является точка B.
• KMB: Верно. Вершина — M, точки K и B лежат на разных сторонах. Обозначение угла: $\angle KMB$.
• OMB: Верно. Вершина — M, точки O и B лежат на разных сторонах. Обозначение угла: $\angle OMB$.

Ответ: AMO; OMA; AMK; KMB; OMB.