Страница 35 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. На рисунке 89 $\angle AOD = \angle COF,$ $\angle DOC = \angle BOF.$ Докажите, что $OC \perp AB.$

51. На рисунке 89 $\angle AOD = \angle COF$, $\angle DOC = \angle BOF$. Докажите, что $OC \perp AB$.

Рис. 89

Поскольку точки A, O, B лежат на одной прямой, угол $ \angle AOB $ является развернутым, а его градусная мера составляет $ 180° $.

Угол $ \angle AOB $ состоит из двух смежных углов: $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $. Сумма смежных углов равна $ 180° $, поэтому:
$ \angle AOC + \angle BOC = 180° $

Из рисунка видно, что угол $ \angle AOC $ состоит из суммы углов $ \angle AOD $ и $ \angle DOC $:
$ \angle AOC = \angle AOD + \angle DOC $

Аналогично, угол $ \angle BOC $ состоит из суммы углов $ \angle COF $ и $ \angle BOF $:
$ \angle BOC = \angle COF + \angle BOF $

По условию задачи нам даны следующие равенства:
1) $ \angle AOD = \angle COF $
2) $ \angle DOC = \angle BOF $

Сравнивая выражения для углов $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $ и используя условия задачи, мы можем заключить, что эти углы равны. Так как слагаемые, из которых они состоят, попарно равны, то и их суммы равны:
$ \angle AOC = \angle AOD + \angle DOC = \angle COF + \angle BOF = \angle BOC $
Следовательно, $ \angle AOC = \angle BOC $.

Теперь вернемся к равенству для развернутого угла и подставим в него $ \angle AOC $ вместо $ \angle BOC $:
$ \angle AOC + \angle AOC = 180° $
$ 2 \cdot \angle AOC = 180° $

Найдем величину угла $ \angle AOC $:
$ \angle AOC = \frac{180°}{2} = 90° $

Так как угол между лучом OC и прямой AB равен $ 90° $, то по определению перпендикулярности луч OC перпендикулярен прямой AB ($ OC \perp AB $).

Ответ: Что и требовалось доказать.

52. Углы $ABD$ и $CBD$ прямые.

Докажите, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

52. Углы $ABD$ и $CBD$ прямые. Докажите, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

По условию задачи дано, что углы $ABD$ и $CBD$ являются прямыми. Это означает, что градусная мера каждого из этих углов равна $90^\circ$:
$\angle ABD = 90^\circ$
$\angle CBD = 90^\circ$

Чтобы доказать, что точки A, B и C лежат на одной прямой, нужно показать, что угол $ABC$ является развернутым, то есть равен $180^\circ$.

Углы $ABD$ и $CBD$ имеют общую вершину в точке B и общую сторону BD. Таким образом, угол $ABC$ состоит из этих двух углов, и его величина равна их сумме.

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$

Подставим известные значения градусных мер:

$\angle ABC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Поскольку угол $ABC$ равен $180^\circ$, он является развернутым углом. Стороны развернутого угла (в данном случае лучи BA и BC) лежат на одной прямой. Следовательно, точки A, B и C, принадлежащие этим лучам, лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой, так как угол $ABC$, образованный суммой двух прямых углов $ABD$ и $CBD$, является развернутым ($180^\circ$).

53. Как, используя линейку и шаблон угла $18^\circ$, построить перпендикулярные прямые?

53.Как, используя линейку и шаблон угла $18^\circ$, построить перпендикулярные прямые?

Для построения перпендикулярных прямых необходимо построить прямой угол, то есть угол величиной $90°$. Используя шаблон угла в $18°$, можно получить прямой угол, поскольку $90$ является кратным $18$.

Найдем, сколько раз нужно отложить угол в $18°$, чтобы в сумме получить $90°$:
$90° \div 18° = 5$

Таким образом, для построения перпендикуляра к прямой необходимо последовательно отложить пять углов по $18°$ от этой прямой, чтобы в сумме получить угол $90°$.

Алгоритм построения:
1. С помощью линейки проводим произвольную прямую a и отмечаем на ней точку O.
2. Прикладываем шаблон угла $18°$ так, чтобы его вершина совпала с точкой O, а одна из сторон легла на прямую a. Проводим луч l₁ по второй стороне шаблона. Мы получили угол, равный $18°$.
3. Затем прикладываем шаблон так, чтобы его вершина снова была в точке O, а одна из сторон совпала с построенным лучом l₁. Проводим второй луч l₂. Угол между прямой a и лучом l₂ будет равен $18° + 18° = 36°$.
4. Повторяем эту операцию еще три раза, каждый раз откладывая новый угол в $18°$ от предыдущего построенного луча. В результате мы последовательно получим углы:
$36° + 18° = 54°$
$54° + 18° = 72°$
$72° + 18° = 90°$
5. Последний построенный луч (l₅) будет образовывать с исходной прямой a угол в $90°$. Прямая, содержащая этот луч, перпендикулярна прямой a.

Ответ: Необходимо начертить прямую, выбрать на ней точку, и от этой точки с помощью шаблона последовательно отложить пять углов по $18°$ друг за другом в одной полуплоскости. Крайняя сторона пятого угла будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной.

54. Начертите произвольный треугольник. Обозначьте его вершины буквами $A$, $B$, $C$. Укажите:

1. сторону, противолежащую углу $B$;
2. углы, прилежащие к стороне $BC$;
3. проведите высоту и биссектрису треугольника $ABC$, выходящие соответственно из вершин $B$ и $C$.

54. Начертите произвольный треугольник. Обозначьте его вершины буквами $A$, $B$, $C$. Укажите:

1) сторону, противолежащую углу $B$;

2) углы, прилежащие к стороне $BC$;

3) проведите высоту и биссектрису треугольника $ABC$, выходящие соответственно из вершин $B$ и $C$.

Сначала начертим произвольный треугольник и обозначим его вершины буквами А, В и С. На основе этого чертежа ответим на поставленные вопросы.

1) сторону, противолежащую углу B;

В треугольнике $ABC$ угол $B$ (также обозначается как $\angle ABC$) образован сторонами $AB$ и $BC$. Сторона, которая лежит напротив этого угла и не соприкасается с вершиной $B$, называется противолежащей. Эта сторона соединяет две другие вершины, $A$ и $C$.

Ответ: Сторона, противолежащая углу $B$, — это сторона $AC$.

2) углы, прилежащие к стороне BC;

Сторона $BC$ соединяет вершины $B$ и $C$. Углы треугольника, расположенные при этих вершинах, называются прилежащими (или прилегающими) к стороне $BC$. Это угол при вершине $B$ ($\angle B$ или $\angle ABC$) и угол при вершине $C$ ($\angle C$ или $\angle ACB$).

Ответ: Углы, прилежащие к стороне $BC$, — это $\angle B$ и $\angle C$.

3) проведите высоту и биссектрису треугольника ABC, выходящие соответственно из вершин B и C.

Выполним построения в нашем треугольнике $ABC$.

• Высота из вершины B: Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону. Проведём из вершины $B$ перпендикуляр к стороне $AC$. Обозначим основание этого перпендикуляра буквой $H$. Отрезок $BH$ является высотой. По определению, $BH \perp AC$.
• Биссектриса из вершины C: Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который выходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла. Проведём из вершины $C$ отрезок $CL$ к стороне $AB$ таким образом, чтобы он разделил угол $C$ ($\angle ACB$) пополам. То есть, должно выполняться равенство $\angle ACL = \angle LCB$. Отрезок $CL$ является биссектрисой.

На рисунке ниже показан треугольник $ABC$ с проведённой высотой $BH$ (красным цветом) и биссектрисой $CL$ (зелёным цветом).

Ответ: Построения высоты $BH$ и биссектрисы $CL$ показаны на рисунке.

55. Укажите все треугольники, изображённые на рисунке 90, одной из вершин которых является точка A.

Рис. 90

Треугольники с вершиной A:

$ \triangle ABC $

$ \triangle ACD $

$ \triangle ABD $

$ \triangle ACE $

55. Укажите все треугольники, изображённые на рисунке 90, одной из вершин которых является точка А.

Рис. 90

Чтобы найти все треугольники, у которых одной из вершин является точка $A$, необходимо рассмотреть все возможные комбинации точки $A$ с двумя другими точками на рисунке. Три точки образуют треугольник только в том случае, если они не лежат на одной прямой.

На рисунке, кроме точки $A$, есть точки $B, C, D, E$. Проверим все возможные комбинации:

• Точки $A, B, C$. Эти точки не лежат на одной прямой, следовательно, образуют треугольник $ABC$.
• Точки $A, C, D$. Эти точки не лежат на одной прямой, следовательно, образуют треугольник $ACD$.
• Точки $A, B, D$. Эти точки не лежат на одной прямой, следовательно, образуют треугольник $ABD$.
• Точки $A, C, E$. Эти точки не лежат на одной прямой, следовательно, образуют треугольник $ACE$.
• Точки $A, B, E$. Эти точки не лежат на одной прямой, следовательно, образуют треугольник $ABE$.

Комбинация точек $A, E, D$ не образует треугольник, так как из рисунка видно, что точка $E$ лежит на отрезке $AD$, а значит, все три точки лежат на одной прямой.

Таким образом, на рисунке изображено 5 треугольников с вершиной в точке $A$.

Ответ: $ABC$, $ACD$, $ABD$, $ACE$, $ABE$.

56. Треугольники $MNP$ и $AKT$ равны. Найдите отрезок $AK$ и угол $N$, если $\angle M = \angle A$, $\angle P = \angle T$, $MN = 32$ см, $\angle K = 60^{\circ}$.

56. Треугольники $MNP$ и $AKT$ равны. Найдите отрезок $AK$ и угол $N$, если $\angle M = \angle A$, $\angle P = \angle T$, $MN = 32$ см, $\angle K = 60^{\circ}$.

По условию задачи, треугольники $MNP$ и $AKT$ равны. Это означает, что их соответственные стороны и углы равны.

В условии указано, что $ \angle M = \angle A $ и $ \angle P = \angle T $. Поскольку сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, третья пара углов также должна быть равна: $ \angle N = \angle K $.

Таким образом, мы установили полное соответствие между вершинами и сторонами двух треугольников:

• Вершина $M$ соответствует вершине $A$.
• Вершина $N$ соответствует вершине $K$.
• Вершина $P$ соответствует вершине $T$.

Из этого следует, что $ \triangle MNP = \triangle AKT $.

Найдите отрезок AK

Так как треугольники равны, то их соответственные стороны равны. Сторона $AK$ в треугольнике $AKT$ соответствует стороне $MN$ в треугольнике $MNP$.
Следовательно, $AK = MN$.
По условию нам дано, что $MN = 32$ см.
Значит, $AK = 32$ см.
Ответ: $AK = 32$ см.

Найдите угол N

Поскольку треугольники равны, их соответственные углы также равны. Угол $N$ в треугольнике $MNP$ соответствует углу $K$ в треугольнике $AKT$.
Следовательно, $ \angle N = \angle K $ .
По условию нам дано, что $ \angle K = 60^\circ $.
Значит, $ \angle N = 60^\circ $.
Ответ: $ \angle N = 60^\circ $.

57. Одна из сторон треугольника равна 38 см, вторая сторона на 16 см меньше первой, а третья сторона в 2 раза больше второй. Найдите периметр треугольника.

57. Одна из сторон треугольника равна 38 см, вторая сторона на 16 см меньше первой, а третья сторона в 2 раза больше второй. Найдите периметр треугольника.

Для решения задачи необходимо найти длины всех трёх сторон треугольника, а затем сложить их для вычисления периметра.

1. Найдём длину второй стороны.
По условию, первая сторона равна 38 см, а вторая сторона на 16 см меньше первой. Чтобы найти её длину, выполним вычитание:

$38 - 16 = 22$ см.

2. Найдём длину третьей стороны.
Третья сторона в 2 раза больше второй. Длина второй стороны равна 22 см. Чтобы найти длину третьей стороны, выполним умножение:

$22 \cdot 2 = 44$ см.

3. Найдём периметр треугольника.
Периметр — это сумма длин всех сторон. Сложим длины первой, второй и третьей сторон:

$38 + 22 + 44 = 104$ см.

Ответ: 104 см.

58. Одна из сторон треугольника в 3 раза меньше второй и на 23 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 108 см.

58. Одна из сторон треугольника в 3 раза меньше второй и на 23 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 108 см.

Пусть длина первой стороны треугольника равна $x$ см.

Из условия задачи известно, что первая сторона в 3 раза меньше второй. Это означает, что вторая сторона в 3 раза больше первой, то есть её длина составляет $3x$ см.

Также сказано, что первая сторона на 23 см меньше третьей. Следовательно, третья сторона на 23 см больше первой, и её длина равна $(x + 23)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 108 см. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму длин сторон к периметру:

$x + 3x + (x + 23) = 108$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала сложим все слагаемые, содержащие $x$:

$5x + 23 = 108$

Перенесём 23 в правую часть уравнения, изменив знак:

$5x = 108 - 23$

$5x = 85$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x = 85 / 5$

$x = 17$

Таким образом, мы нашли длину первой стороны — она равна 17 см.

Теперь найдём длины двух других сторон, подставив значение $x$:

• Длина второй стороны: $3x = 3 \cdot 17 = 51$ см.
• Длина третьей стороны: $x + 23 = 17 + 23 = 40$ см.

Проверим, что сумма найденных сторон равна заданному периметру:

$17 + 51 + 40 = 68 + 40 = 108$ см.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны треугольника равны 17 см, 51 см и 40 см.

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $CK$. Периметры треугольников $ACK$ и $BCK$ равны, а периметр треугольника $ABC$ равен $26$ см. Найдите разность периметров треугольников $ABM$ и $ACM$, если $AB = 10$ см.

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $CK$. Периметры треугольников $ACK$ и $BCK$ равны, а периметр треугольника $ABC$ равен 26 см. Найдите разность периметров треугольников $ABM$ и $ACM$, если $AB = 10$ см.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $CK$.

Рассмотрим периметры треугольников $ACK$ и $BCK$.

Периметр треугольника $ACK$ равен $P_{ACK} = AC + AK + CK$.

Периметр треугольника $BCK$ равен $P_{BCK} = BC + BK + CK$.

По условию, $P_{ACK} = P_{BCK}$. Следовательно:

$AC + AK + CK = BC + BK + CK$

Вычитая из обеих частей равенства общую сторону $CK$, получаем:

$AC + AK = BC + BK$

Так как $CK$ — медиана, проведенная к стороне $AB$, то она делит эту сторону пополам, то есть $AK = BK$. Вычитая эти равные отрезки из обеих частей равенства, получаем:

$AC = BC$

Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = AB + BC + AC$. По условию $P_{ABC} = 26$ см и $AB = 10$ см. Подставим известные значения и учтем, что $AC = BC$:

$10 + BC + BC = 26$

$10 + 2 \cdot BC = 26$

$2 \cdot BC = 26 - 10$

$2 \cdot BC = 16$

$BC = 8$ см.

Так как $AC = BC$, то $AC = 8$ см.

Теперь найдем разность периметров треугольников $ABM$ и $ACM$.

Периметр треугольника $ABM$ равен $P_{ABM} = AB + BM + AM$.

Периметр треугольника $ACM$ равен $P_{ACM} = AC + CM + AM$.

Найдем их разность:

$P_{ABM} - P_{ACM} = (AB + BM + AM) - (AC + CM + AM)$

$P_{ABM} - P_{ACM} = AB + BM + AM - AC - CM - AM$

Поскольку $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, то $BM = CM$. Эти слагаемые взаимно уничтожаются, как и общая сторона $AM$.

$P_{ABM} - P_{ACM} = AB - AC$

Подставим известные значения длин сторон $AB = 10$ см и $AC = 8$ см:

$P_{ABM} - P_{ACM} = 10 - 8 = 2$ см.

Ответ: 2 см.