Страница 38 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-09-079592-0
Популярные ГДЗ в 7 классе
Cтраница 38

№72 (с. 38)
Учебник 2017. №72 (с. 38)

72. Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Его боковая сторона является одной из сторон равностороннего треугольника, периметр которого равен 45 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника.
Учебник 2021. №72 (с. 38)

72. Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Его боковая сторона является одной из сторон равностороннего треугольника, периметр которого равен 45 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника.
Решение. №72 (с. 38)

Решение 2 (2021). №72 (с. 38)
Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов.
1. Нахождение стороны равностороннего треугольника.
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Его периметр ($P_{равн.}$) вычисляется по формуле:
$P_{равн.} = 3 \cdot a$
где $a$ — длина стороны треугольника.
По условию, периметр равностороннего треугольника равен 45 см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти длину его стороны:
$45 = 3 \cdot a$
$a = \frac{45}{3} = 15$ см.
Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 15 см.
2. Нахождение сторон равнобедренного треугольника.
Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, которые называются боковыми, и третью сторону — основание. В условии сказано, что боковая сторона равнобедренного треугольника равна стороне равностороннего треугольника.
Следовательно, длина каждой из двух боковых сторон ($b$) равнобедренного треугольника составляет 15 см:
$b = a = 15$ см.
Периметр равнобедренного треугольника ($P_{равноб.}$) равен сумме длин всех его сторон. Обозначим основание как $c$:
$P_{равноб.} = b + b + c = 2b + c$
Из условия известно, что периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину основания $c$:
$40 = 2 \cdot 15 + c$
$40 = 30 + c$
$c = 40 - 30 = 10$ см.
Итак, мы нашли все стороны равнобедренного треугольника: две боковые стороны по 15 см и основание 10 см.
Проверим выполнение неравенства треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей.
$15 + 15 > 10$ (30 > 10) — верно.
$15 + 10 > 15$ (25 > 15) — верно.
Все условия соблюдены.
Ответ: стороны равнобедренного треугольника равны 15 см, 15 см и 10 см.
№73 (с. 38)
Учебник 2017. №73 (с. 38)

73. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 22 см, а боковая сторона на 2 см больше основания.
Учебник 2021. №73 (с. 38)

73. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 22 см, а боковая сторона на 2 см больше основания.
Рис. 99
Решение. №73 (с. 38)

Решение 2 (2021). №73 (с. 38)
Пусть длина основания равнобедренного треугольника составляет $x$ см. Согласно условию, боковая сторона на 2 см больше основания, следовательно, длина каждой из двух боковых сторон равна $(x + 2)$ см.
Периметр треугольника представляет собой сумму длин всех его сторон. Известно, что периметр равен 22 см. На основании этих данных составим уравнение:
$x + (x + 2) + (x + 2) = 22$
Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$x + x + 2 + x + 2 = 22$
$3x + 4 = 22$
$3x = 22 - 4$
$3x = 18$
$x = 18 / 3$
$x = 6$
Таким образом, мы нашли, что длина основания треугольника равна 6 см.
Теперь вычислим длину боковой стороны:
$x + 2 = 6 + 2 = 8$ см.
Итак, стороны равнобедренного треугольника равны 6 см (основание) и две боковые стороны по 8 см.
Проверка: $6 + 8 + 8 = 22$ см. Условие выполняется.
Ответ: основание – 6 см, боковые стороны – 8 см и 8 см.
№74 (с. 38)
Учебник 2017. №74 (с. 38)

74. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 70 см, а основание в 2 раза меньше боковой стороны.
Учебник 2021. №74 (с. 38)

74. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 70 см, а основание в 2 раза меньше боковой стороны.
Решение. №74 (с. 38)

Решение 2 (2021). №74 (с. 38)
Пусть длина основания равнобедренного треугольника равна $x$ см. По условию задачи, основание в 2 раза меньше боковой стороны. Это означает, что боковая сторона в 2 раза больше основания. Следовательно, длина боковой стороны равна $2x$ см.
В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Таким образом, стороны треугольника имеют длины $x$ см, $2x$ см и $2x$ см.
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 70 см. Составим и решим уравнение:
$x + 2x + 2x = 70$
$5x = 70$
$x = \frac{70}{5}$
$x = 14$
Таким образом, длина основания треугольника составляет 14 см.
Теперь найдем длину боковой стороны:
$2x = 2 \cdot 14 = 28$ см.
Итак, стороны треугольника равны 14 см, 28 см и 28 см.
Проверим: периметр $14 + 28 + 28 = 70$ см. Условие выполняется.
Ответ: основание — 14 см, боковые стороны — по 28 см.
№75 (с. 38)
Учебник 2017. №75 (с. 38)


75. На рисунке 99 $AB = BC$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.
Рис. 99
Учебник 2021. №75 (с. 38)


75. На рисунке 99 $AB = BC$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.
Рис. 99
Решение. №75 (с. 38)

Решение 2 (2021). №75 (с. 38)
Для доказательства равенства углов $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и смежных углов.
Доказательство:
1. Рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. По условию задачи дано, что $ AB = BC $. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, $ \triangle ABC $ — равнобедренный с основанием $ AC $.
2. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Для $ \triangle ABC $ это означает, что угол при вершине A равен углу при вершине C, то есть $ \angle BAC = \angle BCA $.
3. Угол $ \angle 1 $ и угол $ \angle BAC $ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол (лежат на одной прямой). Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $. Отсюда мы можем выразить $ \angle 1 $:
$ \angle 1 = 180^\circ - \angle BAC $.
4. Аналогично, угол $ \angle 2 $ и угол $ \angle BCA $ являются смежными. Следовательно, их сумма также равна $ 180^\circ $. Выразим $ \angle 2 $:
$ \angle 2 = 180^\circ - \angle BCA $.
5. Так как мы уже установили в пункте 2, что $ \angle BAC = \angle BCA $, то правые части выражений для $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ равны. Следовательно, равны и левые части:
$ \angle 1 = \angle 2 $.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $ \angle 1 = \angle 2 $ доказано.
№76 (с. 38)
Учебник 2017. №76 (с. 38)

76. В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ провели высоту $BD$. Найдите её длину, если периметр треугольника $ABC$ равен $50$ см, а периметр треугольника $ABD - 40$ см.
Учебник 2021. №76 (с. 38)

76. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) провели высоту $BD$. Найдите её длину, если периметр треугольника $ABC$ равен 50 см, а периметр треугольника $ABD$ — 40 см.
Решение. №76 (с. 38)

Решение 2 (2021). №76 (с. 38)
По условию, дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$.
Высота $BD$, проведенная к основанию $AC$ в равнобедренном треугольнике, является также его медианой. Это свойство означает, что точка $D$ делит основание $AC$ пополам, то есть $AD = DC$.
Таким образом, длина основания $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AD$: $AC = 2 \cdot AD$.
Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) равен сумме длин его сторон:
$P_{ABC} = AB + BC + AC$
Используя свойства равнобедренного треугольника, заменим $BC$ на $AB$ и $AC$ на $2 \cdot AD$:
$P_{ABC} = AB + AB + 2 \cdot AD = 2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 2(AB + AD)$
По условию $P_{ABC} = 50$ см, следовательно:
$2(AB + AD) = 50$
$AB + AD = 50 / 2 = 25$ см.
Теперь рассмотрим периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$), который равен сумме длин его сторон:
$P_{ABD} = AB + AD + BD$
Из условия задачи мы знаем, что $P_{ABD} = 40$ см.
Мы получили систему уравнений:
1) $AB + AD = 25$
2) $AB + AD + BD = 40$
Подставим значение суммы $(AB + AD)$ из первого уравнения во второе:
$25 + BD = 40$
Выразим отсюда искомую длину высоты $BD$:
$BD = 40 - 25$
$BD = 15$ см.
Ответ: 15 см.
№77 (с. 38)
Учебник 2017. №77 (с. 38)

77. Серединный перпендикуляр стороны $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 14$ см, а периметр треугольника $BEC$ равен $40$ см.
Учебник 2021. №77 (с. 38)

77. Серединный перпендикуляр стороны $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ $(AB = BC)$ пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 14 \text{ см}$, а периметр треугольника $BEC$ равен 40 см.
Решение. №77 (с. 38)

Решение 2 (2021). №77 (с. 38)
Поскольку по условию треугольник $ABC$ является равнобедренным и $AB = BC$, то $BC = 14$ см.
Точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, $AE = BE$.
Периметр треугольника $BEC$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle BEC} = BE + EC + BC$.
Мы можем заменить в этой формуле длину отрезка $BE$ на равную ей длину отрезка $AE$:
$P_{\triangle BEC} = AE + EC + BC$.
Так как точка $E$ лежит на стороне $AC$, то сумма длин отрезков $AE$ и $EC$ равна длине стороны $AC$:
$AC = AE + EC$.
Таким образом, формула периметра треугольника $BEC$ принимает вид:
$P_{\triangle BEC} = AC + BC$.
Теперь подставим известные значения в это равенство. $P_{\triangle BEC} = 40$ см, а $BC = 14$ см:
$40 = AC + 14$.
Из этого уравнения находим длину стороны $AC$:
$AC = 40 - 14 = 26$ см.
Ответ: 26 см.
№78 (с. 38)
Учебник 2017. №78 (с. 38)

78. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $N$ и $M$ так, что $\angle MAB = \angle NCB$. Докажите, что $AN = CM$.
Учебник 2021. №78 (с. 38)

78. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $N$ и $M$ так, что $\angle MAB = \angle NCB$. Докажите, что $AN = CM$.
Решение. №78 (с. 38)

Решение 2 (2021). №78 (с. 38)
Рассмотрим треугольники $ \triangle NAC $ и $ \triangle MCA $.
По условию, треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным, и его боковыми сторонами являются $AB$ и $BC$. Это означает, что $ AB = BC $, и углы при основании $AC$ равны, то есть $ \angle BAC = \angle BCA $.
Проанализируем треугольники $ \triangle NAC $ и $ \triangle MCA $ на предмет равенства:
1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников ($AC = CA$).
2. Углы $ \angle NAC $ и $ \angle MCA $ являются углами при основании равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $. Следовательно, $ \angle NAC = \angle MCA $.
3. По условию задачи дано, что $ \angle MAB = \angle NCB $. Запишем полные углы при основании через их части:
$ \angle BAC = \angle MAB + \angle MAC $
$ \angle BCA = \angle NCB + \angle NCA $
Поскольку $ \angle BAC = \angle BCA $ и $ \angle MAB = \angle NCB $, мы можем приравнять правые части выражений:
$ \angle MAB + \angle MAC = \angle NCB + \angle NCA $
Вычитая из обеих частей равенства равные углы ($ \angle MAB $ и $ \angle NCB $), получаем:
$ \angle MAC = \angle NCA $
Таким образом, для треугольников $ \triangle NAC $ и $ \triangle MCA $ мы имеем:
- $ \angle NAC = \angle MCA $ (как углы при основании равнобедренного треугольника)
- $ AC = CA $ (общая сторона)
- $ \angle NCA = \angle MAC $ (доказано выше)
Следовательно, $ \triangle NAC = \triangle MCA $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AN$ в треугольнике $ \triangle NAC $ лежит напротив угла $ \angle NCA $. Сторона $CM$ в треугольнике $ \triangle MCA $ лежит напротив угла $ \angle MAC $. Так как углы $ \angle NCA $ и $ \angle MAC $ равны, то равны и лежащие напротив них стороны: $ AN = CM $.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $ AN = CM $ доказано.
№79 (с. 38)
Учебник 2017. №79 (с. 38)

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по углу при вершине и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.
Учебник 2021. №79 (с. 38)

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по углу при вершине и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.
Решение. №79 (с. 38)


Решение 2 (2021). №79 (с. 38)
Дано:
$ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ — равнобедренные треугольники.
В $ \triangle ABC $: боковые стороны $ AB = BC $, $ \angle B $ — угол при вершине, $ BD $ — биссектриса угла $ \angle B $.
В $ \triangle A_1B_1C_1 $: боковые стороны $ A_1B_1 = B_1C_1 $, $ \angle B_1 $ — угол при вершине, $ B_1D_1 $ — биссектриса угла $ \angle B_1 $.
По условию задачи: $ \angle B = \angle B_1 $ и $ BD = B_1D_1 $.
Доказать:
$ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.
Доказательство:
1. Рассмотрим $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Так как они равнобедренные, углы при их основаниях равны: $ \angle A = \angle C $ и $ \angle A_1 = \angle C_1 $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $, поэтому для углов при основании можно записать:
$ \angle A = \frac{180^\circ - \angle B}{2} $
$ \angle A_1 = \frac{180^\circ - \angle B_1}{2} $
Поскольку по условию $ \angle B = \angle B_1 $, то и углы при основании этих треугольников равны: $ \angle A = \angle A_1 $.
2. Так как $ BD $ и $ B_1D_1 $ — биссектрисы углов $ \angle B $ и $ \angle B_1 $ соответственно, они делят эти углы пополам:
$ \angle ABD = \frac{1}{2}\angle B $
$ \angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1 $
Так как $ \angle B = \angle B_1 $, то их половины также равны: $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $.
3. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $. В них:
- $ BD = B_1D_1 $ (по условию).
- $ \angle A = \angle A_1 $ (доказано в п. 1).
- $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $ (доказано в п. 2).
Следовательно, $ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
4. Из равенства треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $ следует равенство их соответственных сторон, а именно: $ AB = A_1B_1 $.
5. Наконец, вернемся к исходным треугольникам $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Сравним их по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними):
- $ AB = A_1B_1 $ (доказано в п. 4).
- $ \angle B = \angle B_1 $ (по условию).
- $ BC = AB $ и $ B_1C_1 = A_1B_1 $ (так как треугольники равнобедренные). Отсюда следует, что $ BC = B_1C_1 $.
Таким образом, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство треугольников доказано.
№80 (с. 38)
Учебник 2017. №80 (с. 38)


80. На рисунке 100 $ \angle 1 = \angle 2 $. Докажите, что $ ED = EF $.
Рис. 100
Учебник 2021. №80 (с. 38)


80. На рисунке 100 $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $ED = EF$.
Рис. 100
Решение. №80 (с. 38)

Решение 2 (2021). №80 (с. 38)
Рассмотрим внутренние углы треугольника $EDF$ при его основании $DF$. Это углы $\angle EDF$ и $\angle EFD$.
Угол $\angle 1$, показанный на рисунке, является смежным с углом $\angle EDF$, поскольку они вместе образуют развёрнутый угол на прямой. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$, поэтому мы можем записать:
$\angle EDF = 180^\circ - \angle 1$.
Аналогично, угол $\angle 2$ является смежным с углом $\angle EFD$. Таким образом:
$\angle EFD = 180^\circ - \angle 2$.
Согласно условию задачи, $\angle 1 = \angle 2$. Если равны величины, которые мы вычитаем из $180^\circ$, то и результаты вычитания будут равны.
Поскольку $\angle 1 = \angle 2$, то $180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - \angle 2$.
Следовательно, $\angle EDF = \angle EFD$.
Мы установили, что в треугольнике $EDF$ два угла при основании равны. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным, и стороны, противолежащие этим углам, также равны.
Сторона $EF$ находится напротив угла $\angle EDF$.
Сторона $ED$ находится напротив угла $\angle EFD$.
Так как $\angle EDF = \angle EFD$, то и $ED = EF$, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $ED = EF$ доказано.
№81 (с. 38)
Учебник 2017. №81 (с. 38)

81. На высоте $CH$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AB$ отметили точку $M$. Докажите, что треугольник $AMB$ равнобедренный.
Учебник 2021. №81 (с. 38)

81. На высоте $CH$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AB$ отметили точку $M$. Докажите, что треугольник $AMB$ равнобедренный.
Решение. №81 (с. 38)

Решение 2 (2021). №81 (с. 38)
По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AC = BC$.
$CH$ — высота, проведенная из вершины $C$ к основанию $AB$.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, обладает также свойствами медианы и биссектрисы.
1. Поскольку $CH$ является медианой, она делит основание $AB$ на два равных отрезка. Следовательно, $AH = HB$.
2. Поскольку $CH$ является высотой, она перпендикулярна основанию $AB$. Следовательно, $\angle CHA = \angle CHB = 90^{\circ}$.
Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle BMH$. Точка $M$ лежит на высоте $CH$, поэтому отрезок $MH$ является частью высоты $CH$.
В этих треугольниках:
- Сторона $AH$ равна стороне $HB$ (так как $CH$ — медиана).
- Сторона $MH$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle AHM$ равен углу $\angle BHM$, так как оба они прямые ($\angle AHM = \angle BHM = 90^{\circ}$).
Таким образом, треугольник $\triangle AMH$ равен треугольнику $\triangle BMH$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Также можно сказать, что они равны как прямоугольные треугольники по двум катетам.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $AM$ треугольника $\triangle AMH$ соответствует стороне $BM$ треугольника $\triangle BMH$, следовательно, $AM = BM$.
В треугольнике $AMB$ две стороны ($AM$ и $BM$) равны. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным.
Следовательно, треугольник $AMB$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.