Страница 38 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Его боковая сторона является одной из сторон равностороннего треугольника, периметр которого равен 45 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника.

72. Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Его боковая сторона является одной из сторон равностороннего треугольника, периметр которого равен 45 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Нахождение стороны равностороннего треугольника.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Его периметр ($P_{равн.}$) вычисляется по формуле:

$P_{равн.} = 3 \cdot a$

где $a$ — длина стороны треугольника.

По условию, периметр равностороннего треугольника равен 45 см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти длину его стороны:

$45 = 3 \cdot a$

$a = \frac{45}{3} = 15$ см.

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 15 см.

2. Нахождение сторон равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, которые называются боковыми, и третью сторону — основание. В условии сказано, что боковая сторона равнобедренного треугольника равна стороне равностороннего треугольника.

Следовательно, длина каждой из двух боковых сторон ($b$) равнобедренного треугольника составляет 15 см:

$b = a = 15$ см.

Периметр равнобедренного треугольника ($P_{равноб.}$) равен сумме длин всех его сторон. Обозначим основание как $c$:

$P_{равноб.} = b + b + c = 2b + c$

Из условия известно, что периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину основания $c$:

$40 = 2 \cdot 15 + c$

$40 = 30 + c$

$c = 40 - 30 = 10$ см.

Итак, мы нашли все стороны равнобедренного треугольника: две боковые стороны по 15 см и основание 10 см.

Проверим выполнение неравенства треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей.

$15 + 15 > 10$ (30 > 10) — верно.

$15 + 10 > 15$ (25 > 15) — верно.

Все условия соблюдены.

Ответ: стороны равнобедренного треугольника равны 15 см, 15 см и 10 см.

73. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 22 см, а боковая сторона на 2 см больше основания.

73. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 22 см, а боковая сторона на 2 см больше основания.

Рис. 99

Пусть длина основания равнобедренного треугольника составляет $x$ см. Согласно условию, боковая сторона на 2 см больше основания, следовательно, длина каждой из двух боковых сторон равна $(x + 2)$ см.

Периметр треугольника представляет собой сумму длин всех его сторон. Известно, что периметр равен 22 см. На основании этих данных составим уравнение:
$x + (x + 2) + (x + 2) = 22$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$x + x + 2 + x + 2 = 22$
$3x + 4 = 22$
$3x = 22 - 4$
$3x = 18$
$x = 18 / 3$
$x = 6$

Таким образом, мы нашли, что длина основания треугольника равна 6 см.
Теперь вычислим длину боковой стороны:
$x + 2 = 6 + 2 = 8$ см.

Итак, стороны равнобедренного треугольника равны 6 см (основание) и две боковые стороны по 8 см.
Проверка: $6 + 8 + 8 = 22$ см. Условие выполняется.

Ответ: основание – 6 см, боковые стороны – 8 см и 8 см.

74. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 70 см, а основание в 2 раза меньше боковой стороны.

74. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 70 см, а основание в 2 раза меньше боковой стороны.

Пусть длина основания равнобедренного треугольника равна $x$ см. По условию задачи, основание в 2 раза меньше боковой стороны. Это означает, что боковая сторона в 2 раза больше основания. Следовательно, длина боковой стороны равна $2x$ см.

В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Таким образом, стороны треугольника имеют длины $x$ см, $2x$ см и $2x$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 70 см. Составим и решим уравнение:

$x + 2x + 2x = 70$

$5x = 70$

$x = \frac{70}{5}$

$x = 14$

Таким образом, длина основания треугольника составляет 14 см.

Теперь найдем длину боковой стороны:

$2x = 2 \cdot 14 = 28$ см.

Итак, стороны треугольника равны 14 см, 28 см и 28 см.

Проверим: периметр $14 + 28 + 28 = 70$ см. Условие выполняется.

Ответ: основание — 14 см, боковые стороны — по 28 см.

75. На рисунке 99 $AB = BC$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 99

75. На рисунке 99 $AB = BC$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 99

Для доказательства равенства углов $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и смежных углов.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. По условию задачи дано, что $ AB = BC $. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, $ \triangle ABC $ — равнобедренный с основанием $ AC $.

2. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Для $ \triangle ABC $ это означает, что угол при вершине A равен углу при вершине C, то есть $ \angle BAC = \angle BCA $.

3. Угол $ \angle 1 $ и угол $ \angle BAC $ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол (лежат на одной прямой). Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $. Отсюда мы можем выразить $ \angle 1 $:
$ \angle 1 = 180^\circ - \angle BAC $.

4. Аналогично, угол $ \angle 2 $ и угол $ \angle BCA $ являются смежными. Следовательно, их сумма также равна $ 180^\circ $. Выразим $ \angle 2 $:
$ \angle 2 = 180^\circ - \angle BCA $.

5. Так как мы уже установили в пункте 2, что $ \angle BAC = \angle BCA $, то правые части выражений для $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ равны. Следовательно, равны и левые части:
$ \angle 1 = \angle 2 $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle 1 = \angle 2 $ доказано.

76. В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ провели высоту $BD$. Найдите её длину, если периметр треугольника $ABC$ равен $50$ см, а периметр треугольника $ABD - 40$ см.

76. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) провели высоту $BD$. Найдите её длину, если периметр треугольника $ABC$ равен 50 см, а периметр треугольника $ABD$ — 40 см.

По условию, дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$.
Высота $BD$, проведенная к основанию $AC$ в равнобедренном треугольнике, является также его медианой. Это свойство означает, что точка $D$ делит основание $AC$ пополам, то есть $AD = DC$.
Таким образом, длина основания $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AD$: $AC = 2 \cdot AD$.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) равен сумме длин его сторон:
$P_{ABC} = AB + BC + AC$
Используя свойства равнобедренного треугольника, заменим $BC$ на $AB$ и $AC$ на $2 \cdot AD$:
$P_{ABC} = AB + AB + 2 \cdot AD = 2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 2(AB + AD)$
По условию $P_{ABC} = 50$ см, следовательно:
$2(AB + AD) = 50$
$AB + AD = 50 / 2 = 25$ см.

Теперь рассмотрим периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$), который равен сумме длин его сторон:
$P_{ABD} = AB + AD + BD$
Из условия задачи мы знаем, что $P_{ABD} = 40$ см.

Мы получили систему уравнений:
1) $AB + AD = 25$
2) $AB + AD + BD = 40$
Подставим значение суммы $(AB + AD)$ из первого уравнения во второе:
$25 + BD = 40$
Выразим отсюда искомую длину высоты $BD$:
$BD = 40 - 25$
$BD = 15$ см.

Ответ: 15 см.

77. Серединный перпендикуляр стороны $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 14$ см, а периметр треугольника $BEC$ равен $40$ см.

77. Серединный перпендикуляр стороны $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ $(AB = BC)$ пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 14 \text{ см}$, а периметр треугольника $BEC$ равен 40 см.

Поскольку по условию треугольник $ABC$ является равнобедренным и $AB = BC$, то $BC = 14$ см.

Точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, $AE = BE$.

Периметр треугольника $BEC$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle BEC} = BE + EC + BC$.

Мы можем заменить в этой формуле длину отрезка $BE$ на равную ей длину отрезка $AE$:
$P_{\triangle BEC} = AE + EC + BC$.

Так как точка $E$ лежит на стороне $AC$, то сумма длин отрезков $AE$ и $EC$ равна длине стороны $AC$:
$AC = AE + EC$.

Таким образом, формула периметра треугольника $BEC$ принимает вид:
$P_{\triangle BEC} = AC + BC$.

Теперь подставим известные значения в это равенство. $P_{\triangle BEC} = 40$ см, а $BC = 14$ см:
$40 = AC + 14$.

Из этого уравнения находим длину стороны $AC$:
$AC = 40 - 14 = 26$ см.

Ответ: 26 см.

78. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $N$ и $M$ так, что $\angle MAB = \angle NCB$. Докажите, что $AN = CM$.

78. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $N$ и $M$ так, что $\angle MAB = \angle NCB$. Докажите, что $AN = CM$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle NAC $ и $ \triangle MCA $.

По условию, треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным, и его боковыми сторонами являются $AB$ и $BC$. Это означает, что $ AB = BC $, и углы при основании $AC$ равны, то есть $ \angle BAC = \angle BCA $.

Проанализируем треугольники $ \triangle NAC $ и $ \triangle MCA $ на предмет равенства:

1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников ($AC = CA$).

2. Углы $ \angle NAC $ и $ \angle MCA $ являются углами при основании равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $. Следовательно, $ \angle NAC = \angle MCA $.

3. По условию задачи дано, что $ \angle MAB = \angle NCB $. Запишем полные углы при основании через их части:
$ \angle BAC = \angle MAB + \angle MAC $
$ \angle BCA = \angle NCB + \angle NCA $
Поскольку $ \angle BAC = \angle BCA $ и $ \angle MAB = \angle NCB $, мы можем приравнять правые части выражений:
$ \angle MAB + \angle MAC = \angle NCB + \angle NCA $
Вычитая из обеих частей равенства равные углы ($ \angle MAB $ и $ \angle NCB $), получаем:
$ \angle MAC = \angle NCA $

Таким образом, для треугольников $ \triangle NAC $ и $ \triangle MCA $ мы имеем:

• $ \angle NAC = \angle MCA $ (как углы при основании равнобедренного треугольника)
• $ AC = CA $ (общая сторона)
• $ \angle NCA = \angle MAC $ (доказано выше)

Следовательно, $ \triangle NAC = \triangle MCA $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AN$ в треугольнике $ \triangle NAC $ лежит напротив угла $ \angle NCA $. Сторона $CM$ в треугольнике $ \triangle MCA $ лежит напротив угла $ \angle MAC $. Так как углы $ \angle NCA $ и $ \angle MAC $ равны, то равны и лежащие напротив них стороны: $ AN = CM $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ AN = CM $ доказано.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по углу при вершине и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по углу при вершине и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

Дано:

$ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ — равнобедренные треугольники.
В $ \triangle ABC $: боковые стороны $ AB = BC $, $ \angle B $ — угол при вершине, $ BD $ — биссектриса угла $ \angle B $.
В $ \triangle A_1B_1C_1 $: боковые стороны $ A_1B_1 = B_1C_1 $, $ \angle B_1 $ — угол при вершине, $ B_1D_1 $ — биссектриса угла $ \angle B_1 $.
По условию задачи: $ \angle B = \angle B_1 $ и $ BD = B_1D_1 $.

Доказать:

$ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Рассмотрим $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Так как они равнобедренные, углы при их основаниях равны: $ \angle A = \angle C $ и $ \angle A_1 = \angle C_1 $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $, поэтому для углов при основании можно записать:
$ \angle A = \frac{180^\circ - \angle B}{2} $
$ \angle A_1 = \frac{180^\circ - \angle B_1}{2} $
Поскольку по условию $ \angle B = \angle B_1 $, то и углы при основании этих треугольников равны: $ \angle A = \angle A_1 $.

2. Так как $ BD $ и $ B_1D_1 $ — биссектрисы углов $ \angle B $ и $ \angle B_1 $ соответственно, они делят эти углы пополам:
$ \angle ABD = \frac{1}{2}\angle B $
$ \angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1 $
Так как $ \angle B = \angle B_1 $, то их половины также равны: $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $.

3. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $. В них:
- $ BD = B_1D_1 $ (по условию).
- $ \angle A = \angle A_1 $ (доказано в п. 1).
- $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $ (доказано в п. 2).
Следовательно, $ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Из равенства треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $ следует равенство их соответственных сторон, а именно: $ AB = A_1B_1 $.

5. Наконец, вернемся к исходным треугольникам $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Сравним их по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними):
- $ AB = A_1B_1 $ (доказано в п. 4).
- $ \angle B = \angle B_1 $ (по условию).
- $ BC = AB $ и $ B_1C_1 = A_1B_1 $ (так как треугольники равнобедренные). Отсюда следует, что $ BC = B_1C_1 $.
Таким образом, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано.

80. На рисунке 100 $ \angle 1 = \angle 2 $. Докажите, что $ ED = EF $.

Рис. 100

80. На рисунке 100 $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $ED = EF$.

Рис. 100

Рассмотрим внутренние углы треугольника $EDF$ при его основании $DF$. Это углы $\angle EDF$ и $\angle EFD$.

Угол $\angle 1$, показанный на рисунке, является смежным с углом $\angle EDF$, поскольку они вместе образуют развёрнутый угол на прямой. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$, поэтому мы можем записать:
$\angle EDF = 180^\circ - \angle 1$.

Аналогично, угол $\angle 2$ является смежным с углом $\angle EFD$. Таким образом:
$\angle EFD = 180^\circ - \angle 2$.

Согласно условию задачи, $\angle 1 = \angle 2$. Если равны величины, которые мы вычитаем из $180^\circ$, то и результаты вычитания будут равны.
Поскольку $\angle 1 = \angle 2$, то $180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - \angle 2$.
Следовательно, $\angle EDF = \angle EFD$.

Мы установили, что в треугольнике $EDF$ два угла при основании равны. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным, и стороны, противолежащие этим углам, также равны.
Сторона $EF$ находится напротив угла $\angle EDF$.
Сторона $ED$ находится напротив угла $\angle EFD$.
Так как $\angle EDF = \angle EFD$, то и $ED = EF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ED = EF$ доказано.

81. На высоте $CH$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AB$ отметили точку $M$. Докажите, что треугольник $AMB$ равнобедренный.

81. На высоте $CH$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AB$ отметили точку $M$. Докажите, что треугольник $AMB$ равнобедренный.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AC = BC$.

$CH$ — высота, проведенная из вершины $C$ к основанию $AB$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, обладает также свойствами медианы и биссектрисы.

1. Поскольку $CH$ является медианой, она делит основание $AB$ на два равных отрезка. Следовательно, $AH = HB$.

2. Поскольку $CH$ является высотой, она перпендикулярна основанию $AB$. Следовательно, $\angle CHA = \angle CHB = 90^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle BMH$. Точка $M$ лежит на высоте $CH$, поэтому отрезок $MH$ является частью высоты $CH$.

В этих треугольниках:

• Сторона $AH$ равна стороне $HB$ (так как $CH$ — медиана).
• Сторона $MH$ является общей для обоих треугольников.
• Угол $\angle AHM$ равен углу $\angle BHM$, так как оба они прямые ($\angle AHM = \angle BHM = 90^{\circ}$).

Таким образом, треугольник $\triangle AMH$ равен треугольнику $\triangle BMH$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Также можно сказать, что они равны как прямоугольные треугольники по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $AM$ треугольника $\triangle AMH$ соответствует стороне $BM$ треугольника $\triangle BMH$, следовательно, $AM = BM$.

В треугольнике $AMB$ две стороны ($AM$ и $BM$) равны. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным.

Следовательно, треугольник $AMB$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.