Страница 56 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. На рисунке 142 $∠KAF = 54^\circ$, $∠PAE = 68^\circ$, $∠KAE = 94^\circ$.

Найдите угол $∠PAF$.

Рис. 142

29. На рисунке 142 $\angle KAF = 54^\circ$, $\angle PAE = 68^\circ$, $\angle KAE = 94^\circ$. Найдите угол $\angle PAF$.

Для решения задачи воспользуемся свойством измерения углов. Из рисунка видно, что угол $\angle KAE$ составлен из нескольких меньших углов. Мы можем записать следующие соотношения:

1. Угол $\angle KAF$ состоит из двух углов $\angle KAP$ и $\angle PAF$:

$\angle KAF = \angle KAP + \angle PAF$

2. Угол $\angle PAE$ состоит из двух углов $\angle PAF$ и $\angle FAE$:

$\angle PAE = \angle PAF + \angle FAE$

Сложим величины углов $\angle KAF$ и $\angle PAE$:

$\angle KAF + \angle PAE = (\angle KAP + \angle PAF) + (\angle PAF + \angle FAE)$

Перегруппируем слагаемые в правой части равенства:

$\angle KAF + \angle PAE = (\angle KAP + \angle PAF + \angle FAE) + \angle PAF$

Сумма углов в скобках $(\angle KAP + \angle PAF + \angle FAE)$ представляет собой угол $\angle KAE$. Таким образом, мы можем переписать равенство в виде:

$\angle KAF + \angle PAE = \angle KAE + \angle PAF$

Теперь из этого равенства выразим искомый угол $\angle PAF$:

$\angle PAF = \angle KAF + \angle PAE - \angle KAE$

Подставим известные из условия задачи значения: $\angle KAF = 54^\circ$, $\angle PAE = 68^\circ$, $\angle KAE = 94^\circ$.

$\angle PAF = 54^\circ + 68^\circ - 94^\circ$

Выполним вычисления:

$\angle PAF = 122^\circ - 94^\circ = 28^\circ$

Ответ: $28^\circ$

30. На рисунке 143 $\angle DOF = \angle FOE$, $\angle EOT = \angle TOM$. Докажите, что $\angle DOM = 2\angle FOT$.

Рис. 143

30. На рисунке 143 $\angle DOF = \angle FOE, \angle EOT = \angle TOM.$ Докажите, что $\angle DOM = 2\angle FOT.$

Рис. 143

По аксиоме измерения углов, величина угла равна сумме величин углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Исходя из этого, мы можем выразить угол $∠DOM$ как сумму составляющих его углов:
$∠DOM = ∠DOF + ∠FOE + ∠EOT + ∠TOM$
Согласно условию задачи, даны следующие равенства: $∠DOF = ∠FOE$ и $∠EOT = ∠TOM$.
Подставим эти равенства в исходное выражение для $∠DOM$. Заменим $∠DOF$ на равный ему угол $∠FOE$ и $∠TOM$ на равный ему угол $∠EOT$:
$∠DOM = ∠FOE + ∠FOE + ∠EOT + ∠EOT$
Сложим одинаковые слагаемые (углы):
$∠DOM = 2∠FOE + 2∠EOT$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$∠DOM = 2(∠FOE + ∠EOT)$
Теперь рассмотрим угол $∠FOT$. Из рисунка видно, что он состоит из суммы углов $∠FOE$ и $∠EOT$:
$∠FOT = ∠FOE + ∠EOT$
Наконец, подставим выражение для $∠FOT$ в нашу формулу для $∠DOM$:
$∠DOM = 2∠FOT$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠DOM = 2∠FOT$ доказано.

31. Луч $OK$ проходит между сторонами угла $POM$. Луч $OF$ — биссектриса угла $POK$, луч $OT$ — биссектриса угла $KOM$. Найдите угол $POM$, если $\angle FOT = 76^\circ$.

31. Луч $OK$ проходит между сторонами угла $POM$. Луч $OF$ — биссектриса угла $POK$, луч $OT$ — биссектриса угла $KOM$. Найдите угол $POM$, если $\angle FOT = 76^\circ$.

Согласно условию, луч ОК делит угол РОМ на два угла: $\angle POK$ и $\angle KOM$. Таким образом, величина угла РОМ равна сумме величин этих двух углов:

$\angle POM = \angle POK + \angle KOM$

Луч OF является биссектрисой угла POK. Это означает, что он делит угол POK на два равных угла. Нас интересует угол FOK, который составляет половину угла POK:

$\angle FOK = \frac{1}{2} \angle POK$

Аналогично, луч OT является биссектрисой угла KOM, поэтому угол KOT составляет половину угла KOM:

$\angle KOT = \frac{1}{2} \angle KOM$

Угол FOT образован лучами OF и OT. Так как луч OK проходит между ними, то величина угла FOT равна сумме углов FOK и KOT:

$\angle FOT = \angle FOK + \angle KOT$

Теперь подставим в это равенство выражения для $\angle FOK$ и $\angle KOT$:

$\angle FOT = \frac{1}{2} \angle POK + \frac{1}{2} \angle KOM$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle FOT = \frac{1}{2} (\angle POK + \angle KOM)$

Мы знаем, что сумма углов $\angle POK$ и $\angle KOM$ равна углу $\angle POM$. Заменим выражение в скобках:

$\angle FOT = \frac{1}{2} \angle POM$

По условию $\angle FOT = 76^\circ$. Подставим это значение в полученную формулу:

$76^\circ = \frac{1}{2} \angle POM$

Чтобы найти величину угла POM, умножим обе части уравнения на 2:

$\angle POM = 76^\circ \times 2 = 152^\circ$

Ответ: $152^\circ$.

32. На рисунке 144 $\angle POM = \angle KOE$ и $\angle KOM = \angle EOF$. Найдите угол $MOF$, если $\angle MOP = 32^\circ$.

32. На рисунке 144 $\angle POM = \angle KOE$ и $\angle KOM = \angle EOF$. Найдите угол $\angle MOF$, если $\angle MOP = 32^\circ$.

Рис. 144

Для решения задачи воспользуемся данными равенствами углов и свойством сложения смежных углов.

По рисунку искомый угол $∠MOF$ представляет собой сумму двух углов: $∠MOE$ и $∠EOF$.
$∠MOF = ∠MOE + ∠EOF$

По условию задачи нам дано, что $∠KOM = ∠EOF$. Заменим угол $∠EOF$ в полученном выше выражении на равный ему угол $∠KOM$:
$∠MOF = ∠MOE + ∠KOM$

Теперь обратим внимание на рисунок. Сумма смежных углов $∠MOE$ и $∠KOM$ образует угол $∠KOE$.
$∠MOE + ∠KOM = ∠KOE$

Из этого следует, что $∠MOF = ∠KOE$.

Согласно другому условию задачи, $∠POM = ∠KOE$.
Таким образом, мы имеем цепочку равенств: $∠MOF = ∠KOE = ∠POM$.
Отсюда следует, что $∠MOF = ∠POM$.

По условию $∠MOP = 32°$. Поскольку $∠MOP$ и $∠POM$ — это один и тот же угол, то $∠POM = 32°$.
Следовательно, $∠MOF = 32°$.

Ответ: $32°$.

33. На рисунке 145 луч MF — биссектриса угла BMT. Найдите угол AMF, если $ \angle BMT = 106^\circ $.

Рис. 145

33. На рисунке 145 луч $MF$ — биссектриса угла $BMT$. Найдите угол $AMF$, если $\angle BMT = 106^\circ$.

Рис. 145

По условию задачи, луч $MF$ является биссектрисой угла $BMT$. Биссектриса делит угол на два равных угла. Следовательно, угол $BMT$ делится на два равных угла: $\angle BMF$ и $\angle FMT$.

Найдем величину угла $FMT$:

$\angle FMT = \frac{\angle BMT}{2} = \frac{106^\circ}{2} = 53^\circ$

Из рисунка видно, что углы $AMF$ и $FMT$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол $AMT$, который равен $180^\circ$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Таким образом, мы можем записать равенство:

$\angle AMF + \angle FMT = 180^\circ$

Теперь, чтобы найти угол $AMF$, нужно из $180^\circ$ вычесть известный нам угол $FMT$:

$\angle AMF = 180^\circ - \angle FMT = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$

Ответ: $127^\circ$.

34. На рисунке 146 луч KD — биссектриса угла AKF. Най- дите угол AKF, если $\angle MKD = 116^\circ$.

Рис. 146

34. На рисунке 146 луч KD — биссектриса угла AKF. Найдите угол AKF, если $ \angle MKD = 116^\circ $.

Рис. 146

Углы $\angle MKD$ и $\angle DKF$ являются смежными, так как они имеют общую сторону $KD$, а их другие стороны, $KM$ и $KF$, образуют прямую линию $MF$. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$.

Следовательно, можно записать равенство:$\angle MKD + \angle DKF = 180^\circ$

По условию задачи известно, что $\angle MKD = 116^\circ$. Подставим это значение в равенство и найдем величину угла $\angle DKF$:$116^\circ + \angle DKF = 180^\circ$$\angle DKF = 180^\circ - 116^\circ$$\angle DKF = 64^\circ$

Согласно условию, луч $KD$ является биссектрисой угла $\angle AKF$. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла. Таким образом, $\angle AKD = \angle DKF$.

Поскольку мы уже нашли, что $\angle DKF = 64^\circ$, то и $\angle AKD = 64^\circ$.

Угол $\angle AKF$ состоит из двух углов, $\angle AKD$ и $\angle DKF$. Его величина равна их сумме:$\angle AKF = \angle AKD + \angle DKF = 64^\circ + 64^\circ = 128^\circ$

Ответ: $128^\circ$