Страница 62 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 46 см, а основание на 4 см больше боковой стороны.

73. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 46 см, а основание на 4 см больше боковой стороны.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x$ см. Поскольку треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны равны, значит, их длины $x$ см и $x$ см. По условию задачи, основание на 4 см больше боковой стороны, следовательно, длина основания равна $(x + 4)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 46 см. Составим и решим уравнение:

$x + x + (x + 4) = 46$

$3x + 4 = 46$

$3x = 46 - 4$

$3x = 42$

$x = 42 / 3$

$x = 14$

Таким образом, длина каждой боковой стороны равна 14 см.

Теперь найдем длину основания:

$14 + 4 = 18$ см.

Стороны треугольника равны 14 см, 14 см и 18 см.

Ответ: две стороны по 14 см, третья сторона 18 см.

74. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 78 см, а боковая сторона составляет 0,8 основания.

74. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 78 см, а боковая сторона составляет 0,8 основания.

Пусть $a$ — длина основания равнобедренного треугольника, а $b$ — длина его боковой стороны.

Периметр треугольника ($P$) равен сумме длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника, у которого две боковые стороны равны, формула периметра выглядит так: $P = a + 2b$.

Согласно условию задачи, периметр равен 78 см. Таким образом, мы получаем первое уравнение:
$a + 2b = 78$

Также из условия известно, что боковая сторона составляет 0,8 основания. Это дает нам второе уравнение:
$b = 0.8a$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Чтобы решить ее, подставим выражение для $b$ из второго уравнения в первое:
$a + 2(0.8a) = 78$

Выполним вычисления, чтобы найти $a$:
$a + 1.6a = 78$
$2.6a = 78$
$a = \frac{78}{2.6}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10:
$a = \frac{780}{26}$
$a = 30$ см.

Итак, длина основания треугольника равна 30 см. Теперь найдем длину боковой стороны, подставив значение $a$ во второе уравнение:
$b = 0.8 \cdot 30$
$b = 24$ см.

Таким образом, стороны треугольника: основание — 30 см, и две боковые стороны — по 24 см. Проведем проверку: $30 + 24 + 24 = 78$ см, что соответствует условию.

Ответ: стороны треугольника равны 30 см, 24 см и 24 см.

75. На рисунке 165 $MN = NK$. Докажите, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Рис. 165

75. На рисунке 165 $MN = NK$. Докажите, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$.

Рис. 165

Рассмотрим $△MNK$. По условию задачи, стороны $MN$ и $NK$ равны, то есть $MN = NK$.

Так как две стороны треугольника $△MNK$ равны, он является равнобедренным с основанием $MK$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. В данном треугольнике это углы $∠NMK$ и $∠NKM$. Угол $∠NMK$ на рисунке обозначен как $∠1$. Следовательно, $∠1 = ∠NKM$.

Углы $∠NKM$ и $∠2$ являются смежными, так как они имеют общую вершину $K$, общую сторону $NK$, а две другие их стороны лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180°$. Таким образом, $∠NKM + ∠2 = 180°$.

Заменим в последнем равенстве $∠NKM$ на равный ему $∠1$:

$∠1 + ∠2 = 180°$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $∠1 + ∠2 = 180°$.

76. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) провели биссектрису $BD$, длина которой равна 17 см. Найдите периметр треугольника $ABD$, если периметр треугольника $ABC$ равен 68 см.

76. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB = BC)$ провели биссектрису $BD$, длина которой равна 17 см. Найдите периметр треугольника $ABD$, если периметр треугольника $ABC$ равен 68 см.

По условию, нам дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$. Периметр этого треугольника, $P_{ABC}$, составляет 68 см.

Периметр треугольника $ABC$ — это сумма длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$. Так как $AB = BC$, мы можем переписать эту формулу следующим образом: $P_{ABC} = 2 \cdot AB + AC$. Подставив известное значение периметра, получаем уравнение: $2 \cdot AB + AC = 68$.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины угла между равными сторонами (в нашем случае это биссектриса $BD$ из вершины $B$), является также его медианой и высотой.

Поскольку $BD$ — медиана, она делит основание $AC$ пополам в точке $D$. Это означает, что $AD = DC$, и, следовательно, длина всего основания $AC$ в два раза больше длины отрезка $AD$: $AC = 2 \cdot AD$.

Теперь мы можем подставить это выражение для $AC$ в уравнение периметра треугольника $ABC$: $2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 68$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2 \cdot (AB + AD) = 68$.

Разделив обе части уравнения на 2, мы найдем сумму длин сторон $AB$ и $AD$: $AB + AD = \frac{68}{2} = 34$ см.

Далее найдем периметр треугольника $ABD$, который обозначается как $P_{ABD}$. Он равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = AB + AD + BD$.

Мы уже вычислили, что сумма $AB + AD = 34$ см. Длина биссектрисы $BD$ дана в условии и равна 17 см. Подставляем эти значения в формулу для $P_{ABD}$: $P_{ABD} = 34 + 17 = 51$ см.

Ответ: 51 см.

77. Серединный перпендикуляр стороны $ME$ равнобедренного треугольника $KME$ ($KM = ME$) пересекает сторону $KM$ в точке $N$. Найдите сторону $KE$, если $ME = 24$ см, а периметр треугольника $KNE$ равен 36 см.

77. Серединный перпендикуляр стороны $ME$ равнобедренного треугольника $KME$ ($KM = ME$) пересекает сторону $KM$ в точке $N$. Найдите сторону $KE$, если $ME = 24$ см, а периметр треугольника $KNE$ равен 36 см.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $KME$, в котором боковые стороны равны: $KM = ME$. Известно, что $ME = 24$ см, следовательно, сторона $KM$ также равна 24 см.

Пусть $l$ — серединный перпендикуляр к стороне $ME$. Точка $N$ — это точка пересечения этого перпендикуляра со стороной $KM$.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен. Поскольку точка $N$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $ME$, то расстояния от точки $N$ до вершин $M$ и $E$ равны. Таким образом, получаем равенство: $NE = NM$.

Периметр треугольника $KNE$ ($P_{KNE}$) равен сумме длин его сторон: $P_{KNE} = KN + NE + KE$.

По условию $P_{KNE} = 36$ см. Значит: $KN + NE + KE = 36$.

Используя выведенное ранее равенство $NE = NM$, заменим в формуле периметра $NE$ на $NM$: $KN + NM + KE = 36$.

Поскольку точка $N$ лежит на стороне $KM$, то сумма длин отрезков $KN$ и $NM$ равна длине всей стороны $KM$: $KN + NM = KM$.

Подставим это соотношение в уравнение для периметра: $KM + KE = 36$.

Мы знаем, что $KM = 24$ см. Подставим это значение в уравнение и найдем длину стороны $KE$: $24 + KE = 36$. $KE = 36 - 24$. $KE = 12$ см.

Ответ: 12 см.

78. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $D$ и $E$ так, что $AD = CE$. Докажите, что $AE = CD$.

78. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $D$ и $E$ так, что $AD = CE$. Докажите, что $AE = CD$.

Дано:

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковыми сторонами являются $AB$ и $BC$. На этих сторонах отмечены точки $D$ и $E$ соответственно. Известно, что $AD = CE$.

Доказать:

$AE = CD$.

Доказательство:

Для доказательства равенства отрезков $AE$ и $CD$ рассмотрим треугольники $\Delta ADC$ и $\Delta CEA$.

Сравним эти два треугольника:

1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников ($\Delta ADC$ и $\Delta CEA$).

2. По условию задачи нам дано, что $AD = CE$.

3. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Угол $\angle DAC$ является частью угла $\angle BAC$ (фактически, это тот же угол), а угол $\angle ECA$ является частью угла $\angle BCA$ (аналогично, это тот же угол). Следовательно, мы можем утверждать, что $\angle DAC = \angle ECA$.

Таким образом, мы установили, что в треугольниках $\Delta ADC$ и $\Delta CEA$ две стороны и угол между ними соответственно равны:

$AD = CE$ (по условию),

$AC$ — общая сторона,

$\angle DAC = \angle ECA$ (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\Delta ADC = \Delta CEA$.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. Сторона $AE$ в треугольнике $\Delta CEA$ лежит напротив угла $\angle ECA$. Сторона $CD$ в треугольнике $\Delta ADC$ лежит напротив угла $\angle DAC$. Так как $\angle DAC = \angle ECA$, то противолежащие им стороны $CD$ и $AE$ также равны.

Значит, $AE = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AE = CD$ доказано на основании равенства треугольников $\Delta ADC$ и $\Delta CEA$ по первому признаку.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и медиане, проведённой к основанию.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и медиане, проведённой к основанию.

Пусть даны два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.По определению равнобедренного треугольника, боковые стороны равны: $AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$.

Пусть $BM$ – медиана, проведённая к основанию $AC$ в $\triangle ABC$, а $B_1M_1$ – медиана, проведённая к основанию $A_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.

По условию задачи известно, что:

• основания треугольников равны: $AC = A_1C_1$;
• медианы, проведённые к основаниям, также равны: $BM = B_1M_1$.

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $BM$ является медианой, проведённой к основанию $AC$, то точка $M$ – середина отрезка $AC$. Следовательно, $AM = MC = \frac{1}{2}AC$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Значит, $BM \perp AC$, и треугольник $\triangle ABM$ является прямоугольным ($\angle BMA = 90^\circ$).

2. Аналогично для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Так как $B_1M_1$ является медианой к основанию $A_1C_1$, то $A_1M_1 = M_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$. Медиана $B_1M_1$ также является высотой, поэтому $B_1M_1 \perp A_1C_1$, и треугольник $\triangle A_1B_1M_1$ является прямоугольным ($\angle B_1M_1A_1 = 90^\circ$).

3. Сравним прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. У них:

• Катет $BM = B_1M_1$ (по условию задачи).
• Катет $AM = A_1M_1$, так как $AC = A_1C_1$ (по условию), а $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ равны по двум катетам.

4. Из равенства треугольников $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих сторон и углов:

• $AB = A_1B_1$ (как гипотенузы).
• $\angle A = \angle A_1$ (как соответствующие углы).

5. Теперь сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы имеем:

• $AB = A_1B_1$ (доказано выше).
• $AC = A_1C_1$ (дано по условию).
• $\angle A = \angle A_1$ (доказано выше).

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство равнобедренных треугольников по основанию и медиане, проведённой к основанию, доказано.

80. На рисунке 166 $∠1 = ∠2$. Докажите, что $DE = EF$.

Рис. 166

80. На рисунке 166 $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $DE = EF$.

Рис. 166

Рассмотрим внутренние углы треугольника $△DEF$, а именно $∠EDF$ и $∠EFD$.

Угол $∠1$ и угол $∠EDF$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол (180°). По свойству смежных углов:

$∠EDF = 180° - ∠1$

Аналогично, угол $∠2$ и угол $∠EFD$ также являются смежными. Следовательно:

$∠EFD = 180° - ∠2$

По условию задачи нам дано, что $∠1 = ∠2$.

Если равны правые части выражений ($∠1$ и $∠2$), то должны быть равны и левые. Подставив $∠1 = ∠2$ в наши выражения для внутренних углов, получаем:

$180° - ∠1 = 180° - ∠2$

Из этого следует, что внутренние углы треугольника при основании $DF$ равны:

$∠EDF = ∠EFD$

В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. В $△DEF$ сторона $EF$ лежит напротив угла $∠EDF$, а сторона $DE$ лежит напротив угла $∠EFD$.

Так как углы $∠EDF$ и $∠EFD$ равны, то и противолежащие им стороны равны:

$DE = EF$

Это означает, что треугольник $DEF$ является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Внутренние углы треугольника $∠EDF$ и $∠EFD$ являются смежными с равными по условию углами $∠1$ и $∠2$ соответственно. Следовательно, $∠EDF = 180° - ∠1$ и $∠EFD = 180° - ∠2$, из чего следует, что $∠EDF = ∠EFD$. По признаку равнобедренного треугольника, если углы при основании равны, то и боковые стороны равны, то есть $DE = EF$.

81. На биссектрисе $DB$ равнобедренного треугольника $DEF$ с основанием $EF$ отметили точку $A$. Докажите, что треугольник $AEF$ равнобедренный.

81. На биссектрисе $DB$ равнобедренного треугольника $DEF$ с основанием $EF$ отметили точку $A$. Докажите, что треугольник $AEF$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle ADF$.

По условию задачи, треугольник $DEF$ является равнобедренным с основанием $EF$. Из этого следует, что его боковые стороны равны: $DE = DF$.

Отрезок $DB$ является биссектрисой угла $\angle EDF$, а точка $A$ лежит на этом отрезке. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла: $\angle EDA = \angle FDA$.

Сторона $DA$ является общей для треугольников $\triangle ADE$ и $\triangle ADF$.

Таким образом, мы можем сравнить треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle ADF$. В них:

• $DE = DF$ (по свойству равнобедренного треугольника).
• $\angle EDA = \angle FDA$ (так как $DA$ — часть биссектрисы).
• $DA$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ADE = \triangle ADF$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из того, что треугольники равны, следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AE$ в треугольнике $\triangle ADE$ соответствует стороне $AF$ в треугольнике $\triangle ADF$. Значит, $AE = AF$.

Поскольку в треугольнике $AEF$ две стороны ($AE$ и $AF$) равны, он является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник AEF является равнобедренным, так как доказано равенство его сторон AE и AF.