Страница 69 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. Найдите сторону $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, если $AC = 8 \text{ см}$, $BC = 3 \text{ см}$.

123. Найдите сторону $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, если $AC = 8$ см, $BC = 3$ см.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Нам даны длины двух сторон: $AC = 8$ см и $BC = 3$ см. Третья сторона $AB$ должна быть равна одной из данных сторон.

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: сторона $AB$ равна стороне $BC$.
В этом случае $AB = BC = 3$ см. Тогда стороны треугольника равны 3 см, 3 см и 8 см. Проверим, выполняется ли для этих сторон неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Проверяем для двух меньших сторон: $3 + 3 > 8$.
Получаем $6 > 8$, что является неверным. Следовательно, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Случай 2: сторона $AB$ равна стороне $AC$.
В этом случае $AB = AC = 8$ см. Тогда стороны треугольника равны 8 см, 8 см и 3 см. Снова проверим неравенство треугольника:
$8 + 8 > 3 \implies 16 > 3$ (верно)
$8 + 3 > 8 \implies 11 > 8$ (верно)
Все неравенства выполняются, значит, такой треугольник существует.

Таким образом, единственно возможным является второй случай. Длина стороны $AB$ равна 8 см.
Ответ: 8 см.

124. Сравните углы треугольника $PKE$, если $PK > PE$ и $PK = KE$.

124. Сравните углы треугольника $PKE$, если $PK > PE$ и $PK = KE$.

В треугольнике $PKE$ даны соотношения между сторонами: $PK > PE$ и $PK = KE$.

1. Рассмотрим равенство $PK = KE$. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Стороне $PK$ противолежит угол $∠E$ (или $∠PEK$), а стороне $KE$ противолежит угол $∠P$ (или $∠KPE$). Следовательно, из равенства сторон $PK = KE$ следует равенство противолежащих им углов: $∠P = ∠E$. Это также означает, что треугольник $PKE$ — равнобедренный с основанием $PE$.

2. Теперь рассмотрим неравенство $PK > PE$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Стороне $PK$ противолежит угол $∠E$, а стороне $PE$ противолежит угол $∠K$ (или $∠PKE$). Так как $PK > PE$, то и угол, лежащий напротив стороны $PK$, больше угла, лежащего напротив стороны $PE$. Таким образом, $∠E > ∠K$.

3. Объединим полученные результаты. Из пункта 1 мы знаем, что $∠P = ∠E$. Из пункта 2 мы знаем, что $∠E > ∠K$. Совместив эти два вывода, мы получаем итоговое соотношение между углами треугольника $PKE$.

Ответ: $∠P = ∠E > ∠K$.

125. Сравните стороны треугольника ABC, если $ \angle A < \angle B $ и $ \angle B < \angle C. $

125. Сравните стороны треугольника $ABC$, если $ \angle A < \angle B$ и $ \angle B < \angle C$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Теорема гласит: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике $ABC$ даны следующие соотношения между углами: $ \angle A < \angle B $ и $ \angle B < \angle C $.

Объединим эти неравенства в одно: $ \angle A < \angle B < \angle C $.

Теперь определим, какие стороны лежат напротив каждого из этих углов:

• Напротив угла $ \angle A $ лежит сторона $BC$.
• Напротив угла $ \angle B $ лежит сторона $AC$.
• Напротив угла $ \angle C $ лежит сторона $AB$.

Согласно теореме, так как $ \angle A < \angle B $, то и сторона, лежащая напротив угла $ \angle A $, меньше стороны, лежащей напротив угла $ \angle B $. Таким образом, $ BC < AC $.

Аналогично, так как $ \angle B < \angle C $, то сторона, лежащая напротив угла $ \angle B $, меньше стороны, лежащей напротив угла $ \angle C $. Таким образом, $ AC < AB $.

Соединив полученные неравенства, мы можем сравнить все три стороны треугольника:

$ BC < AC < AB $

Ответ: $ BC < AC < AB $.

126. Существует ли треугольник $DEF$, в котором $\angle E = 72^\circ$, $\angle F = 43^\circ$, $DE = 16$ см, $DF = 14$ см?

126. Существует ли треугольник $DEF$, в котором $\angle E = 72^\circ$, $\angle F = 43^\circ$, $DE = 16$ см, $DF = 14$ см?

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными параметрами, воспользуемся свойством соотношения сторон и углов треугольника. Это свойство гласит, что в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике $DEF$ нам даны два угла: $∠E = 72°$ и $∠F = 43°$. Сравним их величины:

$72° > 43°$, следовательно, $∠E > ∠F$.

Согласно указанному выше свойству, сторона, лежащая напротив угла $E$, должна быть длиннее стороны, лежащей напротив угла $F$.

Сторона, лежащая напротив угла $E$, — это сторона $DF$.
Сторона, лежащая напротив угла $F$, — это сторона $DE$.

Следовательно, должно выполняться неравенство: $DF > DE$.

Теперь посмотрим на длины сторон, данные в условии задачи:
$DE = 16$ см,
$DF = 14$ см.

Сравнивая эти значения, мы получаем: $14$ см < $16$ см, то есть $DF < DE$.

Полученное неравенство ($DF < DE$) противоречит требованию, вытекающему из соотношения углов ($DF > DE$). Это означает, что треугольник с заданными параметрами существовать не может.

Ответ: нет, такой треугольник не существует.

127. Существует ли треугольник MPK, в котором $\angle P = 110^{\circ}$, $MK = 8$ см, $PK = 9$ см?

127. Существует ли треугольник $MPK$, в котором $\angle P = 110^\circ$, $MK = 8$ см, $PK = 9$ см?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством соотношения сторон и углов в треугольнике. Оно гласит, что в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Рассмотрим треугольник $MPK$. По условию, нам даны:
Угол $\angle P = 110^\circ$.
Длина стороны $MK = 8$ см.
Длина стороны $PK = 9$ см.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем сумму двух других углов, $\angle M$ и $\angle K$:
$\angle M + \angle K = 180^\circ - \angle P = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Поскольку углы $\angle M$ и $\angle K$ должны быть положительными, то каждый из них точно меньше $70^\circ$. Это означает, что угол $\angle P = 110^\circ$ является наибольшим углом в треугольнике $MPK$.

Согласно свойству треугольника, сторона, лежащая напротив наибольшего угла, должна быть наибольшей стороной. В треугольнике $MPK$ напротив угла $\angle P$ лежит сторона $MK$. Следовательно, сторона $MK$ должна быть самой длинной в этом треугольнике. Это значит, что ее длина должна быть больше длины любой другой стороны, в частности, стороны $PK$.

Таким образом, должно выполняться неравенство: $MK > PK$.

Подставим в это неравенство значения длин сторон, данные в условии:
$8 \text{ см} > 9 \text{ см}$.

Данное неравенство является ложным, так как $8$ меньше $9$. Мы получили противоречие: сторона $MK$, лежащая напротив наибольшего угла, не является наибольшей стороной. Следовательно, треугольник с заданными параметрами существовать не может.

Ответ: Нет, такой треугольник не существует.

128. Может ли наибольшая сторона треугольника лежать против угла $54^\circ$?

128. Может ли наибольшая сторона треугольника лежать против угла $54^\circ$?

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона. Таким образом, если предположить, что наибольшая сторона треугольника лежит против угла в $54°$, то этот угол должен быть наибольшим в данном треугольнике.

Проверим это предположение. Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Сумма углов в треугольнике всегда равна $180°$: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$.

Допустим, $\alpha = 54°$ и это наибольший угол. Тогда два других угла, $\beta$ и $\gamma$, должны быть меньше или равны $54°$:

$\beta \le 54°$

$\gamma \le 54°$

Найдем сумму двух других углов из основного свойства треугольника:

$\beta + \gamma = 180° - \alpha = 180° - 54° = 126°$.

Теперь сравним это с суммой, которую мы можем получить из нашего предположения. Если $\beta \le 54°$ и $\gamma \le 54°$, то их максимальная возможная сумма:

$\beta + \gamma \le 54° + 54° = 108°$.

Мы получили противоречие: с одной стороны, сумма двух углов должна быть ровно $126°$, а с другой стороны, при нашем предположении она не может быть больше $108°$. Следовательно, предположение о том, что угол в $54°$ является наибольшим, неверно. В треугольнике обязательно должен быть угол больше $54°$.

Поскольку угол в $54°$ не может быть наибольшим углом в треугольнике, то и лежащая против него сторона не может быть наибольшей.

Ответ: нет, не может.

129. В треугольнике MNK известно, что $MN = 0,9$ см, $MK = 3,7$ см. Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу. Сколько решений имеет задача?

129. В треугольнике $MNK$ известно, что $MN = 0,9$ см, $MK = 3,7$ см. Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу. Сколько решений имеет задача?

Пусть стороны треугольника $MNK$ равны $a, b, c$. По условию, $a = MN = 0,9$ см, $b = MK = 3,7$ см. Требуется найти сторону $c = NK$.

Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника: любая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон, но больше модуля их разности.

Применим это правило для стороны $c$:

$|a - b| < c < a + b$

Подставим известные значения длин сторон $a$ и $b$:

$|0,9 - 3,7| < c < 0,9 + 3,7$

$|-2,8| < c < 4,6$

$2,8 < c < 4,6$

В условии задачи сказано, что длина третьей стороны, выраженная в сантиметрах, является целым числом. Найдем все целые числа, которые находятся в интервале от 2,8 до 4,6.

Этому условию удовлетворяют целые числа 3 и 4.

Следовательно, длина третьей стороны треугольника может быть равна 3 см или 4 см.

Так как существует два возможных значения для длины третьей стороны, задача имеет два решения.

Ответ: длина третьей стороны может быть 3 см или 4 см; задача имеет 2 решения.

130. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 1°. Найдите другой острый угол.

130. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $1^\circ$. Найдите другой острый угол.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

В прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Следовательно, сумма двух других, острых, углов в прямоугольном треугольнике равна:

$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Согласно условию, один из острых углов равен $1^\circ$. Чтобы найти величину второго острого угла, необходимо вычесть известный угол из их общей суммы ($90^\circ$).

Пусть неизвестный острый угол равен $x$. Тогда получаем уравнение:

$x + 1^\circ = 90^\circ$

Решим его относительно $x$:

$x = 90^\circ - 1^\circ$

$x = 89^\circ$

Таким образом, второй острый угол равен $89^\circ$.

Ответ: $89^\circ$

131. На рисунке 185 $\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$, $\angle ACB = \angle DBC$. Докажите, что $AB = CD$.

Рис. 185

131. На рисунке 185 $\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$, $\angle ACB = \angle DBC$. Докажите, что $AB = CD$.

Рис. 185

Рассмотрим треугольники $ΔABC$ и $ΔDCB$. Для того чтобы доказать, что $AB = CD$, мы докажем, что эти треугольники равны.

Сравним элементы этих треугольников:
1. Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников ($BC$ в $ΔABC$ и $CB$ в $ΔDCB$).
2. По условию задачи дано, что $\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$.
3. Также по условию задачи $\angle ACB = \angle DBC$.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника (сторона $BC$ и углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника (сторона $CB$ и углы $\angle DCB$ и $\angle DBC$).

Следовательно, $ΔABC = ΔDCB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона $AB$ треугольника $ΔABC$ лежит напротив угла $\angle ACB$. Сторона $CD$ треугольника $ΔDCB$ лежит напротив угла $\angle DBC$. Так как по условию $\angle ACB = \angle DBC$, то соответственные стороны $AB$ и $CD$ равны.

Итак, $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = CD$ доказано.

132. На рисунке 186 $\angle ABO = \angle DCO = 90^\circ, AO = DO$. Найдите $CD$, если $AB = 7$ см.

Рис. 186

132. На рисунке 186 $\angle ABO = \angle DCO = 90^\circ$, $AO = DO$. Найдите $CD$, если $AB = 7$ см.

Рис. 186

(Изображение геометрической фигуры с точками A, B, C, D, O. Углы $\angle ABO$ и $\angle DCO$ отмечены как прямые. Отрезки $AO$ и $DO$ отмечены как равные.)

Рассмотрим треугольники $ΔABO$ и $ΔDCO$.

По условию задачи дано, что $∠ABO = ∠DCO = 90°$. Это означает, что треугольники $ΔABO$ и $ΔDCO$ являются прямоугольными.

Также из условия известно, что $AO = DO$. В данных прямоугольных треугольниках стороны $AO$ и $DO$ являются гипотенузами.

Углы $∠AOB$ и $∠DOC$ равны, так как они вертикальные.

Следовательно, прямоугольные треугольники $ΔABO$ и $ΔDCO$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, равны катеты, лежащие напротив равных острых углов. Катет $AB$ лежит напротив угла $∠AOB$, а катет $CD$ лежит напротив угла $∠DOC$. Поскольку $∠AOB = ∠DOC$, то $AB = CD$.

Так как по условию $AB = 7$ см, то и $CD = 7$ см.

Ответ: 7 см.

133. Из точки D, принадлежащей углу ABC, проведены перпендикуляры DE и DF к его сторонам. Найдите угол DBE, если $\angle DBF = 36^\circ$ и $\angle BDE = \angle BDF$.

133. Из точки $D$, принадлежащей углу $ABC$, проведены перпендикуляры $DE$ и $DF$ к его сторонам. Найдите угол $DBE$, если $\angle DBF = 36^\circ$ и $\angle BDE = \angle BDF$.

По условию задачи, из точки $D$ проведены перпендикуляры $DE$ и $DF$ к сторонам угла $ABC$. Это означает, что $DE$ перпендикулярна одной стороне угла (например, $BA$), а $DF$ — другой стороне ($BC$). Следовательно, треугольники $\triangle BDE$ и $\triangle BDF$ являются прямоугольными, так как $\angle DEB = 90^\circ$ и $\angle DFB = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDF$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Поэтому:

$\angle DBF + \angle BDF = 90^\circ$

Из условия известно, что $\angle DBF = 36^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$36^\circ + \angle BDF = 90^\circ$

Отсюда найдем угол $\angle BDF$:

$\angle BDF = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$

В условии задачи также сказано, что $\angle BDE = \angle BDF$. Следовательно:

$\angle BDE = 54^\circ$

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник, $\triangle BDE$. Сумма его острых углов также равна $90^\circ$:

$\angle DBE + \angle BDE = 90^\circ$

Подставим найденное значение угла $\angle BDE$:

$\angle DBE + 54^\circ = 90^\circ$

Теперь мы можем найти искомый угол $\angle DBE$:

$\angle DBE = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$

Ответ: $36^\circ$.

134. На рисунке 187 $NE \perp MK$, $PF \perp MK$, $MN = KP$, $NE = PF$.

Докажите, что $MP = NK$.

Рис. 187

134. На рисунке 187 $NE \perp MK, PF \perp MK, MN = KP, NE = PF.$ Докажите, что $MP = NK.$

Рис. 187

Докажите, что MP = NK.

1. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\Delta NEM$ и $\Delta PFK$.

Согласно условию задачи, $NE \perp MK$ и $PF \perp MK$. Это означает, что углы $\angle NEM$ и $\angle PFK$ являются прямыми, то есть $\angle NEM = \angle PFK = 90^\circ$.

Сравним эти треугольники по известным элементам:
• $MN = KP$ (гипотенузы, дано по условию).
• $NE = PF$ (катеты, дано по условию).

Поскольку гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то эти треугольники равны. Таким образом, $\Delta NEM \cong \Delta PFK$.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, равны их острые углы: $\angle NME = \angle PKF$. Так как точки E и F принадлежат отрезку MK, то можно утверждать, что $\angle NMK = \angle PKM$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\Delta MPK$ и $\Delta NKM$.

Для этих треугольников имеем:
• $KP = MN$ (дано по условию).
• $MK$ — общая сторона.
• $\angle PKM = \angle NMK$ (как было доказано в предыдущем пункте).

Следовательно, $\Delta MPK \cong \Delta NKM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\Delta MPK$ и $\Delta NKM$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $MP$ в треугольнике $\Delta MPK$ лежит напротив угла $\angle MKP$, а сторона $NK$ в треугольнике $\Delta NKM$ лежит напротив равного ему угла $\angle NMK$. Значит, эти стороны являются соответствующими и, следовательно, равными.

Таким образом, $MP = NK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $MP = NK$ доказано.