Страница 70 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. В треугольнике $ABC$ провели медиану $BM$. Из точек $A$ и $C$ на прямую $BM$ опустили перпендикуляры $AK$ и $CN$. Докажите, что $AK = CN$.

135. В треугольнике $ABC$ провели медиану $BM$. Из точек $A$ и $C$ на прямую $BM$ опустили перпендикуляры $AK$ и $CN$. Докажите, что $AK = CN$.

Для доказательства равенства отрезков $AK$ и $CN$ рассмотрим треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CNM $.

1. По условию, $ BM $ — медиана треугольника $ \triangle ABC $. По определению медианы, точка $ M $ является серединой стороны $ AC $, следовательно, отрезки $ AM $ и $ CM $ равны: $ AM = CM $.

2. По условию, $ AK $ и $ CN $ — перпендикуляры, опущенные из точек $ A $ и $ C $ на прямую $ BM $. Это означает, что $ \angle AKM $ и $ \angle CNM $ — прямые углы, то есть $ \angle AKM = \angle CNM = 90^\circ $. Следовательно, треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CNM $ являются прямоугольными.

3. Углы $ \angle AMK $ и $ \angle CMN $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $ AC $ и $ BM $. По свойству вертикальных углов, они равны: $ \angle AMK = \angle CMN $.

Таким образом, сравнивая прямоугольные треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CNM $, мы имеем:
- $ AM = CM $ (равные гипотенузы).
- $ \angle AMK = \angle CMN $ (равные острые углы).

Следовательно, треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CNM $ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон (катетов). Катет $ AK $ лежит напротив угла $ \angle AMK $, а катет $ CN $ лежит напротив равного ему угла $ \angle CMN $. Значит, $ AK = CN $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ AK = CN $ доказано на основании признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу ($ \triangle AKM = \triangle CNM $).

136. Прямоугольные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общую гипотенузу $AC$, а точки $B$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AC$. Докажите, что если $\angle BAC = \angle ACD$, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

136. Прямоугольные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общую гипотенузу $AC$, а точки $B$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AC$. Докажите, что если $\angle BAC = \angle ACD$, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

По условию, треугольники $ABC$ и $ADC$ являются прямоугольными и имеют общую гипотенузу $AC$. Это означает, что углы, опирающиеся на гипотенузу, прямые: $∠ABC = 90°$ и $∠ADC = 90°$.

Рассмотрим треугольники $ΔABC$ и $ΔCDA$. Сравним эти треугольники:

1. $AC$ — общая сторона (является гипотенузой для обоих треугольников).
2. $∠BAC = ∠ACD$ (по условию задачи).

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $ΔABC = ΔCDA$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $∠BCA$ в треугольнике $ΔABC$ соответствует углу $∠CAD$ в треугольнике $ΔCDA$. Таким образом, $∠BCA = ∠CAD$.

Теперь рассмотрим прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются накрест лежащими углами при этих прямых и секущей.

Поскольку мы доказали, что накрест лежащие углы $∠BCA$ и $∠CAD$ равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины второго острого угла.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины второго острого угла.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых углы $\angle C$ и $\angle C_1$ — прямые.

Пусть по условию задачи нам дано:
1. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
2. Один острый угол первого треугольника равен соответствующему острому углу второго, например, $\angle A = \angle A_1$.
3. Биссектрисы, проведённые из вершин вторых острых углов, равны. Пусть $BL$ — биссектриса угла $\angle B$ в $\triangle ABC$, а $B_1L_1$ — биссектриса угла $\angle B_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$. По условию, $BL = B_1L_1$.

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике составляет $90^\circ$. Для $\triangle ABC$ имеем $\angle A + \angle B = 90^\circ$, откуда $\angle B = 90^\circ - \angle A$. Аналогично, для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$, откуда $\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$. Поскольку по условию $\angle A = \angle A_1$, то отсюда следует, что и вторые острые углы также равны: $\angle B = \angle B_1$.

2. Так как $BL$ и $B_1L_1$ являются биссектрисами равных углов $\angle B$ и $\angle B_1$ соответственно, они делят эти углы на равные половины: $\angle CBL = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle C_1B_1L_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$. Из того, что $\angle B = \angle B_1$, следует, что $\angle CBL = \angle C_1B_1L_1$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle BCL$ и $\triangle B_1C_1L_1$. Они оба являются прямоугольными, так как $\angle C = 90^\circ$ и $\angle C_1 = 90^\circ$. В этих треугольниках равны гипотенузы ($BL = B_1L_1$ по условию) и по одному острому углу ($\angle CBL = \angle C_1B_1L_1$ как было доказано выше). Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle BCL$ и $\triangle B_1C_1L_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

4. Из равенства треугольников $\triangle BCL$ и $\triangle B_1C_1L_1$ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, равны их катеты: $BC = B_1C_1$.

5. Теперь сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них равны катеты ($BC = B_1C_1$) и прилежащие к ним острые углы ($\angle B = \angle B_1$). Таким образом, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $CM$ и $C_1M_1$. Докажите, что если $AM = A_1M_1$, $CM = C_1M_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $CM$ и $C_1M_1$. Докажите, что если $AM = A_1M_1$, $CM = C_1M_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Рассмотрим остроугольные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, в которых проведены высоты $CM$ к стороне $AB$ и $C_1M_1$ к стороне $A_1B_1$.

По условию задачи нам дано:

• $AM = A_1M_1$
• $CM = C_1M_1$
• $\angle B = \angle B_1$

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Сначала рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle CMB$ и $\triangle C_1M_1B_1$. Они являются прямоугольными, так как $CM$ и $C_1M_1$ — высоты, следовательно $\angle CMB = \angle C_1M_1B_1 = 90^\circ$.

Сравним эти треугольники:

• Катет $CM$ равен катету $C_1M_1$ (по условию).
• Прилежащий к этому катету острый угол $\angle B$ равен прилежащему острому углу $\angle B_1$ (по условию).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle CMB$ и $\triangle C_1M_1B_1$ равны по катету и прилежащему острому углу. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон: $MB = M_1B_1$ и $BC = B_1C_1$.

2. Теперь найдём длины сторон $AB$ и $A_1B_1$. Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ остроугольные, основания высот $M$ и $M_1$ лежат на сторонах $AB$ и $A_1B_1$ соответственно. Поэтому длины этих сторон можно выразить как сумму длин отрезков:

$AB = AM + MB$

$A_1B_1 = A_1M_1 + M_1B_1$

Из условия мы знаем, что $AM = A_1M_1$. В предыдущем шаге мы доказали, что $MB = M_1B_1$. Складывая левые и правые части этих равенств, получаем: $AM + MB = A_1M_1 + M_1B_1$, что означает $AB = A_1B_1$.

3. Наконец, сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили следующие равенства:

• $AB = A_1B_1$ (доказано в шаге 2).
• $BC = B_1C_1$ (доказано в шаге 1).
• $\angle B = \angle B_1$ (по условию).

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, доказано.

139. Стороны прямоугольного треугольника равны 8 см, 15 см и 17 см. Укажите длины катетов и гипотенузы этого треугольника.

139. Стороны прямоугольного треугольника равны 8 см, 15 см и 17 см. Укажите длины катетов и гипотенузы этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является стороной, лежащей напротив прямого угла, и всегда является самой длинной стороной. Две другие стороны, образующие прямой угол, называются катетами.

Нам даны длины сторон треугольника: 8 см, 15 см и 17 см.

Чтобы определить, какая из сторон является гипотенузой, а какие — катетами, нужно сравнить их длины. Самая длинная сторона будет гипотенузой.

Сравниваем числа: 8, 15 и 17.

Очевидно, что $17 > 15$ и $17 > 8$.

Следовательно, сторона длиной 17 см является гипотенузой, а стороны длиной 8 см и 15 см — катетами.

Для проверки можно применить теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$):

$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$17^2 = 289$

Так как $289 = 289$, наше определение верно.

Ответ: длины катетов равны 8 см и 15 см, длина гипотенузы — 17 см.

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 48 см, 60 см, 80 см и 100 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведенная к гипотенузе, равны 48 см, 60 см, 80 см и 100 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведенной к гипотенузе.

Пусть $a$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника, $c$ – гипотенуза, а $h$ – высота, проведённая к гипотенузе. Нам даны четыре значения: 48 см, 60 см, 80 см и 100 см, которые соответствуют этим четырём отрезкам.

Для определения соответствия длин сторонам и высоте воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника:
- Гипотенуза $c$ является самой длинной стороной треугольника, то есть $c > a$ и $c > b$.
- Высота $h$, проведённая к гипотенузе, короче обоих катетов, то есть $h < a$ и $h < b$.
- Для сторон выполняется теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
- Площадь треугольника можно вычислить двумя способами, из чего следует равенство: $ab = ch$.

Исходя из этих свойств, мы можем однозначно определить, какое значение какому отрезку соответствует.
1. Так как гипотенуза – самая длинная сторона, её длина должна быть наибольшей из предложенных значений. Следовательно, гипотенуза $c = 100$ см.
2. Так как высота, проведённая к гипотенузе, короче любого из катетов, она должна быть наименьшей из предложенных значений. Следовательно, высота $h = 48$ см.
3. Оставшиеся два значения, 60 см и 80 см, должны быть длинами катетов. Пусть $a = 60$ см и $b = 80$ см.

Теперь проверим, выполняются ли для этих значений ключевые равенства для прямоугольного треугольника.
Проверка по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$.
$100^2 = 10000$.
Равенство $10000 = 10000$ выполняется.
Проверка по формуле площади: $ab = ch$.
$60 \cdot 80 = 4800$.
$100 \cdot 48 = 4800$.
Равенство $4800 = 4800$ также выполняется.
Все условия соблюдены, следовательно, наше распределение длин верно.

Длины катетов этого треугольника
На основании проведённого анализа, длины катетов составляют 60 см и 80 см.
Ответ: 60 см и 80 см.

Длина гипотенузы
На основании проведённого анализа, длина гипотенузы составляет 100 см.
Ответ: 100 см.

Длина высоты, проведённой к гипотенузе
На основании проведённого анализа, длина высоты, проведённой к гипотенузе, составляет 48 см.
Ответ: 48 см.

141. На рисунке 188 $\angle MKP = 90^\circ$, $\angle EPM = 90^\circ$. Докажите, что $ME > MK$.

Рис. 188

141. На рисунке 188 $ \angle MKP = 90^\circ $, $ \angle EPM = 90^\circ $. Докажите, что $ ME > MK $.

Рис. 188

Рассмотрим прямоугольный треугольник $△MKP$, в котором по условию $∠MKP = 90°$. В этом треугольнике сторона $MP$ является гипотенузой, так как она лежит напротив прямого угла, а сторона $MK$ — катетом. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, $MP > MK$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $△EPM$, в котором по условию $∠EPM = 90°$. В этом треугольнике сторона $ME$ является гипотенузой, а сторона $MP$ — катетом. Аналогично предыдущему пункту, гипотенуза длиннее катета, поэтому $ME > MP$.

Мы получили два неравенства: $ME > MP$ и $MP > MK$. Используя свойство транзитивности для неравенств (если одна величина больше второй, а вторая больше третьей, то первая величина больше третьей), получаем $ME > MK$.

Ответ: В прямоугольном треугольнике $△MKP$ гипотенуза $MP$ больше катета $MK$. В свою очередь, в прямоугольном треугольнике $△EPM$ гипотенуза $ME$ больше катета $MP$. Из неравенств $ME > MP$ и $MP > MK$ по свойству транзитивности следует, что $ME > MK$.

142. Из точки $D$ к прямой $AB$ проведены наклонные $DA$ и $DB$ и перпендикуляр $DC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и угол $ADC$ равен $38^\circ$. Сравните отрезки $DB$ и $AC$.

142. Из точки $D$ к прямой $AB$ проведены наклонные $DA$ и $DB$ и перпендикуляр $DC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и угол $ADC$ равен $38^\circ$. Сравните отрезки $DB$ и $AC$.

По условию задачи, отрезок $DC$ является перпендикуляром к прямой $AB$. Это означает, что треугольник $\triangle ADC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DCA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ мы можем связать катеты $AC$ и $DC$ через тангенс острого угла $\angle ADC$, который по условию равен $38^\circ$. Отношение противолежащего катета ($AC$) к прилежащему катету ($DC$) равно тангенсу угла:
$\tan(\angle ADC) = \frac{AC}{DC}$

Из этой формулы выразим длину отрезка $AC$:
$AC = DC \cdot \tan(38^\circ)$

Теперь сравним значение $\tan(38^\circ)$ с единицей. Известно, что $\tan(45^\circ) = 1$. Поскольку функция тангенса в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$ является возрастающей, а $38^\circ < 45^\circ$, то справедливо неравенство $\tan(38^\circ) < \tan(45^\circ) = 1$.

Так как $\tan(38^\circ) < 1$, а длина отрезка $DC$ является положительной величиной ($DC > 0$), то:
$AC = DC \cdot \tan(38^\circ) < DC \cdot 1$
Следовательно, $AC < DC$.

Далее рассмотрим треугольник $\triangle BDC$. Так как $DC \perp AB$, этот треугольник также является прямоугольным с прямым углом $\angle DCB = 90^\circ$. В этом треугольнике $DB$ является гипотенузой, а $DC$ - одним из катетов. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Поэтому $DB > DC$.

Мы получили два неравенства: $AC < DC$ и $DB > DC$. Объединяя их, получаем следующую цепочку неравенств:
$AC < DC < DB$

Из этой цепочки следует, что $AC < DB$.

Ответ: $DB > AC$.

143. В прямоугольном треугольнике $CFO$ гипотенуза $CO$ равна $42$ см, $\angle O = 60^\circ$. Найдите катет $FO$.

143. В прямоугольном треугольнике CFO гипотенуза CO равна 42 см, $ \angle O = 60^\circ $. Найдите катет FO.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $CFO$. Так как $CO$ — гипотенуза, то прямой угол в треугольнике — это $\angle F = 90^\circ$.

Известно:

• Гипотенуза $CO = 42$ см.
• Острый угол $\angle O = 60^\circ$.

Требуется найти длину катета $FO$. Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Использование тригонометрических функций

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего (близкого) к этому углу катета к гипотенузе. Для угла $\angle O$ катет $FO$ является прилежащим.

Запишем формулу косинуса для угла $\angle O$:

$\cos(\angle O) = \frac{FO}{CO}$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $\angle O = 60^\circ$ и $CO = 42$ см.

$\cos(60^\circ) = \frac{FO}{42}$

Теперь выразим катет $FO$:

$FO = 42 \cdot \cos(60^\circ)$

Значение косинуса $60^\circ$ является стандартным и равно $\frac{1}{2}$.

$FO = 42 \cdot \frac{1}{2} = 21$ см.

Способ 2. Использование свойств прямоугольного треугольника

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол, $\angle C$:

$\angle C = 90^\circ - \angle O = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Существует свойство, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем треугольнике катет $FO$ лежит как раз напротив угла $\angle C$, который равен $30^\circ$.

Следовательно:

$FO = \frac{1}{2} \cdot CO$

Подставим значение гипотенузы $CO$:

$FO = \frac{1}{2} \cdot 42 = 21$ см.

Ответ: 21 см.

144. В треугольнике $KPE$ известно, что $\angle P = 90^\circ$, $\angle K = 30^\circ$. На катете $PK$ отметили такую точку $F$, что $\angle PEF = 30^\circ$. Найдите $KF$, если $FP = 6$ см.

144. В треугольнике $KPE$ известно, что $\angle P = 90^\circ$, $\angle K = 30^\circ$.

На катете $PK$ отметили такую точку $F$, что $\angle PEF = 30^\circ$.

Найдите $KF$, если $FP = 6$ см.

1. Рассмотрим треугольник $KPE$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Нам известно, что $∠P = 90°$ и $∠K = 30°$. Найдем третий угол $∠E$ (полное название $∠KEP$):
$∠KEP = 180° - ∠P - ∠K = 180° - 90° - 30° = 60°$.

2. Угол $∠KEP$ разделен отрезком $EF$ на два угла: $∠KEF$ и $∠PEF$. По условию задачи, $∠PEF = 30°$. Можем найти величину угла $∠KEF$:
$∠KEF = ∠KEP - ∠PEF = 60° - 30° = 30°$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $KFE$. В этом треугольнике мы знаем два угла: $∠K = 30°$ (из условия) и $∠KEF = 30°$ (из предыдущего пункта).
Поскольку в треугольнике $KFE$ два угла равны ($∠K = ∠KEF$), то он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $KF = FE$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $PFE$ (угол $∠P = 90°$). В нем известен катет $FP = 6$ см и противолежащий ему угол $∠PEF = 30°$. Мы можем найти длину гипотенузы $FE$.
По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(∠PEF) = \frac{FP}{FE}$
$\sin(30°) = \frac{6}{FE}$
Мы знаем, что $\sin(30°) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{1}{2} = \frac{6}{FE}$
Отсюда находим $FE$:
$FE = 6 \cdot 2 = 12$ см.

5. Из пункта 3 мы знаем, что $KF = FE$. Так как мы нашли, что $FE = 12$ см, то и $KF = 12$ см.

Ответ: 12 см.

145. В прямоугольном треугольнике $DEP (\angle P = 90^\circ)$ провели высоту $PK$. Найдите угол $PDE$, если $PE = 6$ см, $KE = 3$ см.

145. В прямоугольном треугольнике DEP ($\angle P = 90^\circ$) провели высоту PK. Найдите угол $\angle PDE$, если $PE = 6 \text{ см}$, $KE = 3 \text{ см}$.

Рассмотрим треугольник $PKE$. Так как $PK$ — высота, проведенная к гипотенузе $DE$ в треугольнике $DEP$, то $\triangle PKE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$ ($\angle PKE = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $KE$ прилежит к углу $\angle PEK$, а сторона $PE$ является гипотенузой. По условию дано, что $PE = 6$ см и $KE = 3$ см.

Найдем величину угла $\angle PEK$ (который также является углом $\angle E$ в треугольнике $DEP$) с помощью косинуса. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos(\angle PEK) = \frac{KE}{PE} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle PEK = \angle E = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим исходный прямоугольный треугольник $DEP$. По условию, угол $\angle P = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Значит:

$\angle PDE + \angle PED = 90^\circ$

Подставим найденное значение угла $\angle PED$ (то есть $\angle E$):

$\angle PDE + 60^\circ = 90^\circ$

Отсюда найдем искомый угол $\angle PDE$:

$\angle PDE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.