Страница 72 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. На рисунке 192 точка O — центр окружности, $\angle ADF = 63^\circ$. Найдите $\angle AOF$.

Рис. 192

153. На рисунке 192 точка O — центр окружности, $\angle ADF = 63^\circ$. Найдите $\angle AOF$.

Рис. 192

Для решения этой задачи воспользуемся свойством углов в окружности.

Угол $\angle ADF$ является вписанным углом, так как его вершина (точка D) лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность. Этот угол опирается на дугу $AF$.

Угол $\angle AOF$ является центральным углом, так как его вершина (точка O) совпадает с центром окружности. Этот угол также опирается на дугу $AF$.

Существует теорема, связывающая величину центрального и вписанного углов, которые опираются на одну и ту же дугу. Согласно этой теореме, градусная мера центрального угла в два раза больше градусной меры вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Таким образом, мы можем записать следующую формулу:

$\angle AOF = 2 \cdot \angle ADF$

По условию задачи, нам известна величина вписанного угла: $\angle ADF = 63^\circ$.

Подставим это значение в формулу для нахождения центрального угла:

$\angle AOF = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ$

Следовательно, искомый угол $\angle AOF$ равен $126^\circ$.

Ответ: $126^\circ$

154. В окружности с центром O проведены диаметр AD и хорда DE. Найдите $\angle AEO$, если $\angle ADE = 34^\circ$.

154. В окружности с центром $O$ проведены диаметр $AD$ и хорда $DE$. Найдите $\angle AEO$, если $\angle ADE = 34^\circ$.

Рассмотрим треугольник $DOE$. Поскольку $O$ является центром окружности, отрезки $OD$ и $OE$ являются её радиусами. Следовательно, $OD = OE$.

Так как две стороны треугольника $DOE$ равны, он является равнобедренным с основанием $DE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle OED = \angle ODE$

По условию задачи, $\angle ADE = 34^\circ$. Так как точка $O$ лежит на диаметре $AD$, угол $\angle ODE$ является тем же углом, что и $\angle ADE$. Таким образом, $\angle ODE = 34^\circ$.

Из равенства углов при основании следует, что $\angle OED = 34^\circ$.

Теперь рассмотрим угол $\angle AED$. Этот угол является вписанным в окружность и опирается на диаметр $AD$. По свойству вписанных углов, угол, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть его величина равна $90^\circ$.

$\angle AED = 90^\circ$

Угол $\angle AED$ состоит из двух углов: $\angle AEO$ и $\angle OED$. То есть:

$\angle AED = \angle AEO + \angle OED$

Подставим известные нам значения в это равенство:

$90^\circ = \angle AEO + 34^\circ$

Отсюда можем найти искомый угол $\angle AEO$:

$\angle AEO = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$

Ответ: $56^\circ$.

155. На рисунке 193 хорда $ MK $ пересекает диаметр $ AB $ в точке $ F $, $ \angle MPF = \angle KTF = 90^\circ $, $ \angle MFP = 30^\circ $, $ MK = 22 $ см. Найдите сумму длин отрезков $ MP $ и $ KT $.

Рис. 193

155. На рисунке 193 хорда $MK$ пересекает диаметр $AB$ в точке $F$, $\angle MPF = \angle KTF = 90^\circ$, $\angle MFP = 30^\circ$, $MK = 22$ см. Найдите сумму длин отрезков $MP$ и $KT$.

Рис. 193

Решение:

Рассмотрим треугольники ΔMPF и ΔKTF. Согласно условию задачи, $ \angle MPF = 90^\circ $ и $ \angle KTF = 90^\circ $, следовательно, оба этих треугольника являются прямоугольными.

В прямоугольном треугольнике ΔMPF катет MP лежит напротив угла $ \angle MFP $. По условию $ \angle MFP = 30^\circ $. Используя определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, получаем:
$ \sin(\angle MFP) = \frac{MP}{MF} $
Отсюда выразим длину катета MP:
$ MP = MF \cdot \sin(\angle MFP) = MF \cdot \sin(30^\circ) $
Так как значение синуса 30 градусов равно $ \frac{1}{2} $, то:
$ MP = \frac{1}{2} MF $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ΔKTF. Углы $ \angle KFT $ и $ \angle MFP $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении хорды MK и диаметра AB. Вертикальные углы равны, поэтому:
$ \angle KFT = \angle MFP = 30^\circ $
В прямоугольном треугольнике ΔKTF катет KT лежит напротив угла $ \angle KFT $. Аналогично предыдущему случаю:
$ \sin(\angle KFT) = \frac{KT}{KF} $
Выразим длину катета KT:
$ KT = KF \cdot \sin(\angle KFT) = KF \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} KF $

Для того чтобы найти сумму длин отрезков MP и KT, сложим полученные выражения:
$ MP + KT = \frac{1}{2} MF + \frac{1}{2} KF $
Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:
$ MP + KT = \frac{1}{2} (MF + KF) $
Поскольку точка F лежит на хорде MK, сумма длин отрезков MF и KF равна длине всей хорды MK:
$ MF + KF = MK $
По условию задачи длина хорды $ MK = 22 $ см. Подставим это значение в наше равенство:
$ MP + KT = \frac{1}{2} \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 22 = 11 $ см.

Ответ: 11 см.

156. Дан отрезок $EF$ длиной 4 см. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $E$ и $F$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой $EF$.

156. Дан отрезок $EF$ длиной 4 см. Найдите ГМТ, равноудаленных от точек $E$ и $F$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой $EF$.

Для нахождения искомого геометрического места точек (ГМТ) необходимо определить множество точек, удовлетворяющих двум заданным условиям одновременно. Проанализируем каждое условие по отдельности.

1. ГМТ, равноудалённых от точек E и F

Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка (в данном случае от точек E и F), представляет собой серединный перпендикуляр к этому отрезку. Обозначим эту прямую как $m$. Прямая $m$ проходит через середину M отрезка EF и перпендикулярна ему.

2. ГМТ, находящихся на расстоянии 2 см от прямой EF

Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии $d$ от некоторой прямой, состоит из двух прямых, параллельных данной прямой и расположенных по обе стороны от неё на расстоянии $d$. В нашем случае расстояние равно 2 см, следовательно, это ГМТ состоит из двух прямых, $p_1$ и $p_2$, параллельных прямой EF и удалённых от неё на 2 см.

Поиск искомого ГМТ

Искомые точки должны удовлетворять обоим условиям, то есть они должны лежать на пересечении найденных геометрических мест. Нам нужно найти точки пересечения серединного перпендикуляра $m$ с парой параллельных прямых $p_1$ и $p_2$.

Пусть M — середина отрезка EF. По условию, длина $EF = 4$ см, значит, $EM = MF = \frac{1}{2} EF = \frac{4}{2} = 2$ см. Серединный перпендикуляр $m$ проходит через точку M.

Точки, которые мы ищем, лежат на прямой $m$. Расстояние от любой точки на прямой $m$ до прямой EF равно длине отрезка, соединяющего эту точку с точкой M (поскольку $m \perp EF$). По второму условию, это расстояние должно быть равно 2 см.

Следовательно, на прямой $m$ существуют две такие точки. Обозначим их $P_1$ и $P_2$. Они расположены по разные стороны от прямой EF, и расстояние от каждой из них до точки M равно 2 см. То есть, $P_1M = 2$ см и $P_2M = 2$ см.

Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух точек, $P_1$ и $P_2$.

Для проверки: рассмотрим, например, точку $P_1$. Она лежит на серединном перпендикуляре $m$, поэтому она равноудалена от E и F. Расстояние от $P_1$ до прямой EF равно $P_1M = 2$ см. Оба условия выполнены. Аналогично для точки $P_2$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку EF на расстоянии 2 см от прямой EF.

157. На одной из сторон острого угла отмечены точки $E$ и $F$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $E$ и $F$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

157. На одной из сторон острого угла отмечены точки $E$ и $F$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $E$ и $F$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

Искомое геометрическое место точек (ГМТ) должно удовлетворять одновременно двум условиям. Для того чтобы найти это ГМТ, необходимо найти пересечение ГМТ, удовлетворяющих каждому из условий в отдельности.

1. ГМТ, равноудалённых от точек E и F.
Множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных точек (в нашем случае E и F), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок EF). Обозначим эту прямую как $m$. Поскольку точки E и F лежат на одной из сторон угла, то прямая $m$ перпендикулярна этой стороне.

2. ГМТ, находящихся на расстоянии 2 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.
Множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (в нашем случае 2 см) от заданной прямой, представляет собой пару прямых, параллельных данной прямой и расположенных на этом расстоянии от нее по разные стороны. Обозначим эти прямые как $p_1$ и $p_2$.

Искомые точки должны принадлежать как прямой $m$, так и одной из прямых $p_1$ или $p_2$. Таким образом, искомое ГМТ — это точки пересечения прямой $m$ с парой прямых $p_1$ и $p_2$.

Определим количество таких точек пересечения. Пусть стороны острого угла лежат на прямых $l_1$ (на которой находятся точки E и F) и $l_2$.

• Прямая $m$ перпендикулярна прямой $l_1$ ($m \perp l_1$).
• Прямые $p_1$ и $p_2$ параллельны прямой $l_2$ ($p_1 \parallel l_2$ и $p_2 \parallel l_2$).

По условию, угол между прямыми $l_1$ и $l_2$ является острым, то есть он не равен $90^\circ$. Это означает, что прямые $l_1$ и $l_2$ не перпендикулярны.

Если бы прямые $l_1$ и $l_2$ были перпендикулярны, то прямая $m$ (перпендикулярная $l_1$) была бы параллельна прямой $l_2$ и, следовательно, параллельна прямым $p_1$ и $p_2$. В этом случае прямая $m$ либо не пересекала бы прямые $p_1$ и $p_2$, либо совпадала бы с одной из них.

Но так как угол острый, прямые $l_1$ и $l_2$ не перпендикулярны. Следовательно, прямая $m$ не параллельна прямой $l_2$ и не параллельна прямым $p_1$ и $p_2$. Две непараллельные прямые на плоскости пересекаются в одной и только одной точке. Таким образом, прямая $m$ пересекает прямую $p_1$ в одной точке и прямую $p_2$ также в одной точке.

В результате мы получаем две точки, удовлетворяющие обоим условиям задачи.

Ответ: Искомое геометрическое место точек состоит из двух точек, которые являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку EF с двумя прямыми, параллельными второй стороне угла и удаленными от нее на расстояние 2 см.

158. Найдите ГМТ, расстояние от которых до центра окружности в 3 раза меньше её радиуса.

158. Найдите ГМТ, расстояние от которых до центра окружности в 3 раза меньше её радиуса.

Обозначим центр данной окружности точкой $O$, а её радиус — $R$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), то есть множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию. Пусть $M$ — произвольная точка, принадлежащая искомому ГМТ.

По условию задачи, расстояние от точки $M$ до центра $O$ в 3 раза меньше радиуса $R$. Расстояние между точками $M$ и $O$ — это длина отрезка $OM$. Таким образом, условие можно записать в виде математического равенства: $OM = \frac{R}{3}$.

Это равенство показывает, что все искомые точки $M$ находятся на одном и том же постоянном расстоянии от фиксированной точки $O$. Это расстояние равно $\frac{R}{3}$.

По определению, геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра), есть окружность.

Следовательно, искомое ГМТ является окружностью, центр которой находится в той же точке $O$, что и у данной окружности, а её радиус $r$ равен $r = \frac{R}{3}$. Окружности с общим центром называются концентрическими.

Ответ: окружность, концентрическая данной, радиус которой в 3 раза меньше радиуса данной окружности.

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихся-ся на расстоянии 3 см от прямой $a$ и 5 см от прямой $b$.

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихсяся на расстоянии 3 см от прямой $a$ и 5 см от прямой $b$.

Геометрическое место точек (ГМТ), о котором идет речь в задаче, — это множество всех точек, удовлетворяющих двум условиям одновременно: расстояние от точки до прямой $a$ равно 3 см, и расстояние от той же точки до прямой $b$ равно 5 см.

Рассмотрим каждое условие отдельно.

1. ГМТ, находящихся на расстоянии 3 см от прямой $a$. Это множество состоит из двух прямых, назовем их $a_1$ и $a_2$, которые параллельны прямой $a$ и расположены по разные стороны от нее на расстоянии 3 см.

2. ГМТ, находящихся на расстоянии 5 см от прямой $b$. Аналогично, это множество состоит из двух прямых, назовем их $b_1$ и $b_2$, которые параллельны прямой $b$ и расположены по разные стороны от нее на расстоянии 5 см.

Искомые точки являются точками пересечения этих двух пар прямых. Поскольку исходные прямые $a$ и $b$ пересекаются, они не параллельны. Следовательно, любая прямая, параллельная $a$ (т.е. $a_1$ или $a_2$), будет пересекать любую прямую, параллельную $b$ (т.е. $b_1$ или $b_2$).

Таким образом, каждая прямая из первой пары ($a_1, a_2$) пересечет каждую прямую из второй пары ($b_1, b_2$), что даст нам четыре уникальные точки пересечения:

• Точка пересечения прямых $a_1$ и $b_1$.
• Точка пересечения прямых $a_1$ и $b_2$.
• Точка пересечения прямых $a_2$ и $b_1$.
• Точка пересечения прямых $a_2$ и $b_2$.

Эти четыре точки и составляют искомое ГМТ. Они расположены симметрично относительно точки пересечения прямых $a$ и $b$ и являются вершинами параллелограмма.

Ответ: Искомое геометрическое место точек состоит из четырех точек.

160. Даны точки $E$ и $F$. Найдите ГМТ вершин $D$ треугольников $DEF$ таких, что медиана $DM$ равна $2,5$ см.

160. Даны точки $E$ и $F$. Найдите ГМТ вершин $D$ треугольников $DEF$ таких, что медиана $DM$ равна 2,5 см.

По определению, медиана $DM$ в треугольнике $DEF$ — это отрезок, соединяющий вершину $D$ с серединой противолежащей стороны $EF$. Обозначим середину отрезка $EF$ точкой $M$.

Так как точки $E$ и $F$ по условию задачи являются фиксированными, то и отрезок $EF$, и его середина, точка $M$, также имеют постоянное положение на плоскости.

Условие задачи гласит, что длина медианы $DM$ равна 2,5 см. Это означает, что расстояние от искомой вершины $D$ до фиксированной точки $M$ является постоянной величиной, равной 2,5 см.

Геометрическим местом точек (ГМТ), находящихся на заданном постоянном расстоянии от некоторой фиксированной точки, является окружность. В данном случае, центром этой окружности будет точка $M$, а радиусом — длина медианы, то есть $R = 2,5$ см.

Таким образом, все возможные положения вершины $D$ лежат на окружности с центром в середине отрезка $EF$ и радиусом 2,5 см.

Важным уточнением является то, что точки $D$, $E$ и $F$ должны образовывать треугольник. Это означает, что точка $D$ не может лежать на прямой, проходящей через точки $E$ и $F$. Центр окружности, точка $M$, лежит на прямой $EF$. Следовательно, из всего множества точек окружности необходимо исключить две точки, в которых она пересекает прямую $EF$, так как в этих случаях треугольник $DEF$ вырождается в отрезок.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в середине отрезка $EF$ и радиусом 2,5 см, за исключением двух точек пересечения этой окружности с прямой $EF$.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 1,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 2 см.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 1,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 2 см.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, расстояние между которыми равно $d = 1.5$ см. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ) $M$, для которых сумма расстояний до этих прямых равна 2 см. Обозначим расстояние от точки $M$ до прямой $l_1$ как $d_1$, а до прямой $l_2$ как $d_2$. По условию задачи, $d_1 + d_2 = 2$ см.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $M$ относительно полосы, образованной прямыми $l_1$ и $l_2$.

1. Точка M находится между прямыми $l_1$ и $l_2$.

Если точка $M$ расположена в полосе между данными параллельными прямыми, то сумма расстояний от нее до этих прямых всегда равна расстоянию между самими прямыми. То есть, $d_1 + d_2 = d = 1.5$ см. Однако, по условию задачи требуется, чтобы эта сумма была равна 2 см. Так как $1.5 \text{ см} \neq 2 \text{ см}$, в области между прямыми искомых точек нет.

2. Точка M находится вне полосы, образованной прямыми $l_1$ и $l_2$.

Это означает, что точка $M$ лежит по одну сторону от обеих прямых. Пусть, для определенности, точка $M$ находится со стороны прямой $l_1$ (то есть $l_1$ лежит между $M$ и $l_2$).

Пусть расстояние от точки $M$ до ближайшей к ней прямой $l_1$ равно $h$. Тогда $d_1 = h$.

Расстояние от точки $M$ до второй прямой $l_2$ будет равно сумме расстояния от $M$ до $l_1$ и расстояния между прямыми $l_1$ и $l_2$. Таким образом, $d_2 = h + d = h + 1.5$.

Сумма расстояний от точки $M$ до обеих прямых равна:

$d_1 + d_2 = h + (h + 1.5) = 2h + 1.5$

Согласно условию задачи, эта сумма должна быть равна 2 см:

$2h + 1.5 = 2$

$2h = 2 - 1.5$

$2h = 0.5$

$h = 0.25$ см.

Это означает, что все точки, расположенные на расстоянии 0.25 см от прямой $l_1$ с внешней стороны полосы, удовлетворяют условию. Множество таких точек образует прямую, параллельную $l_1$.

Аналогично, если точка $M$ находится со стороны прямой $l_2$ (то есть $l_2$ лежит между $M$ и $l_1$), то, проводя такие же рассуждения, мы найдем, что расстояние от $M$ до $l_2$ также должно быть равно $h = 0.25$ см. Это множество точек также образует прямую, параллельную $l_2$.

Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух прямых, параллельных данным. Каждая из этих прямых расположена с внешней стороны от полосы, образованной данными прямыми, на расстоянии 0.25 см от ближайшей из них.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две прямые, параллельные данным, расположенные вне полосы между ними на расстоянии 0,25 см от каждой из данных прямых.

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых больше 4 см.

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых больше 4 см.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, расстояние между которыми равно $h = 2$ см. Обозначим расстояние от произвольной точки $M$ до прямой $a$ как $d_a$, а до прямой $b$ — как $d_b$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), для которых выполняется условие $d_a + d_b > 4$ см.

Рассмотрим три возможных случая расположения точки $M$ относительно прямых $a$ и $b$.

1. Точка $M$ лежит в полосе между прямыми $a$ и $b$, включая сами прямые. Для любой такой точки сумма расстояний до этих прямых постоянна и равна расстоянию между прямыми: $d_a + d_b = h = 2$ см. Неравенство $2 > 4$ является ложным, следовательно, ни одна точка из этой полосы не принадлежит искомому ГМТ.

2. Точка $M$ лежит вне полосы со стороны прямой $a$. В этом случае расстояние от точки $M$ до дальней прямой $b$ равно сумме ее расстояния до ближней прямой $a$ и расстояния между прямыми: $d_b = d_a + h = d_a + 2$. Подставим это выражение в наше неравенство:$d_a + (d_a + 2) > 4$.Упрощая, получаем:$2d_a + 2 > 4$,$2d_a > 2$,$d_a > 1$ см.Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии более 1 см от прямой $a$ (в той полуплоскости от $a$, которая не содержит прямую $b$). Множество таких точек образует открытую полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая, параллельная прямой $a$ и находящаяся на расстоянии 1 см от неё с внешней стороны.

3. Точка $M$ лежит вне полосы со стороны прямой $b$. Аналогично предыдущему случаю, расстояние от точки $M$ до дальней прямой $a$ равно $d_a = d_b + h = d_b + 2$. Подставим в неравенство:$(d_b + 2) + d_b > 4$.Упрощая, получаем:$2d_b + 2 > 4$,$2d_b > 2$,$d_b > 1$ см.Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии более 1 см от прямой $b$ (в той полуплоскости от $b$, которая не содержит прямую $a$). Это множество точек также образует открытую полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая, параллельная прямой $b$ и находящаяся на расстоянии 1 см от неё с внешней стороны.

Таким образом, искомое геометрическое место точек представляет собой объединение двух непересекающихся открытых полуплоскостей, которые лежат вне полосы, образованной данными прямыми.

Ответ: Искомое ГМТ — это объединение двух открытых полуплоскостей. Первая полуплоскость ограничена прямой, параллельной первой из данных прямых и находящейся от нее на расстоянии 1 см с внешней стороны (в полуплоскости, не содержащей вторую данную прямую). Вторая полуплоскость ограничена прямой, параллельной второй из данных прямых и находящейся от нее на расстоянии 1 см с внешней стороны. Иначе говоря, это вся плоскость за исключением замкнутой полосы шириной 4 см, которая симметрично охватывает данные прямые.