Страница 66 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. На рисунке 179 найдите градусную меру угла x.

Рис. 179

Линии: a, b, m, n

Углы: $x$, $80^\circ$, $140^\circ$, $40^\circ$

Линии: a, b, m, n

Углы: $150^\circ$, $160^\circ$, $x$

98. На рисунке 179 найдите градусную меру угла $x$.

Рис. 179

а

$a$, $b$, $m$, $n$, $x$, $80^\circ$, $140^\circ$, $40^\circ$.

б

$a$, $b$, $m$, $n$, $150^\circ$, $160^\circ$, $x$.

а

1. Сначала определим, параллельны ли прямые a и b. Рассмотрим их и секущую n. Углы $40^\circ$ и $140^\circ$ являются внутренними односторонними углами.

2. Согласно свойству параллельных прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Проверим это условие: $40^\circ + 140^\circ = 180^\circ$.

3. Так как сумма углов равна $180^\circ$, мы можем заключить, что прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$).

4. Теперь рассмотрим параллельные прямые a и b и секущую m. Обозначим угол, вертикальный углу x, как $\angle 1$. Углы $\angle 1$ и $80^\circ$ являются внутренними односторонними углами.

5. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle 1 + 80^\circ = 180^\circ$.

6. Из этого уравнения находим $\angle 1$: $\angle 1 = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

7. Поскольку углы x и $\angle 1$ вертикальные, они равны: $x = \angle 1 = 100^\circ$.

Ответ: $x = 100^\circ$

б

1. Для нахождения угла x продолжим секущие m и n до их пересечения в точке, которую назовем P. Это создаст два треугольника.

2. Рассмотрим верхний треугольник, образованный прямыми a, m и n. Внутренние углы этого треугольника при прямой a являются смежными к данным углам $150^\circ$ и $160^\circ$. Найдем их величины:

• Первый угол: $180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.
• Второй угол: $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

3. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол (при вершине P): $180^\circ - (20^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

4. Теперь рассмотрим нижний треугольник, образованный прямыми b, m и n. Угол при вершине P в этом треугольнике является вертикальным к углу, найденному в предыдущем шаге, и, следовательно, тоже равен $130^\circ$.

5. Внутренний угол этого треугольника при прямой b и секущей m является смежным с данным углом $160^\circ$. Его величина: $180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

6. Искомый угол x является вертикальным к третьему внутреннему углу нижнего треугольника (при пересечении прямых b и n). Обозначим этот внутренний угол как $\angle y$. Таким образом, $x = \angle y$.

7. Зная два угла нижнего треугольника ($130^\circ$ и $20^\circ$), найдем третий угол $\angle y$: $\angle y = 180^\circ - (130^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

8. Так как $x = \angle y$, то $x = 30^\circ$.

Ответ: $x = 30^\circ$

99. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

99. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — искомые односторонние углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей.

По свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:
$ \alpha + \beta = 180^\circ $

По условию задачи, один из углов в 4 раза больше другого. Допустим, угол $\alpha$ больше угла $\beta$. Тогда мы можем записать второе уравнение:
$ \alpha = 4\beta $

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим второе уравнение в первое:
$ 4\beta + \beta = 180^\circ $

Решим полученное уравнение относительно $\beta$:
$ 5\beta = 180^\circ $
$ \beta = \frac{180^\circ}{5} $
$ \beta = 36^\circ $

Мы нашли меньший угол. Теперь найдем больший угол $\alpha$, подставив значение $\beta$ во второе уравнение:
$ \alpha = 4 \cdot 36^\circ $
$ \alpha = 144^\circ $

Таким образом, мы нашли оба угла. Проверим: их сумма $144^\circ + 36^\circ = 180^\circ$, и один угол ($144^\circ$) действительно в 4 раза больше другого ($36^\circ$).

Ответ: $36^\circ$ и $144^\circ$.

100. На рисунке 180 прямые $DE$ и $FK$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $PAE$ и $FBM$ параллельны.

Рис. 180

100. На рисунке 180 прямые $DE$ и $FK$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $PAE$ и $FBM$ параллельны.

Дано:
Прямые $DE$ и $FK$ параллельны ($DE \parallel FK$).
Прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, является секущей для прямых $DE$ и $FK$ соответственно.
$AC$ — биссектриса угла $PAE$.
$BG$ — биссектриса угла $FBM$.

Доказать:
Биссектрисы углов $PAE$ и $FBM$ параллельны, то есть $AC \parallel BG$.

Доказательство:
1. Рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $FK$ и секущую, проходящую через точки $A$ и $B$. Углы $PAE$ и $FBM$, упомянутые в условии, являются внешними накрест лежащими углами (alternate exterior angles). Так как прямые $DE$ и $FK$ параллельны, то внешние накрест лежащие углы равны: $$ \angle PAE = \angle FBM $$

2. По условию, $AC$ является биссектрисой угла $PAE$. По определению биссектрисы: $$ \angle PAC = \frac{1}{2} \angle PAE $$

3. По условию, $BG$ является биссектрисой угла $FBM$. По определению биссектрисы: $$ \angle FBG = \frac{1}{2} \angle FBM $$

4. Для того чтобы доказать, что прямые $AC$ и $BG$ параллельны, докажем равенство соответственных углов, образованных этими прямыми и секущей $AB$. Соответственным углом для угла $PAC$ является угол $ABG$.

5. Рассмотрим угол $ABK$. Он является вертикальным к углу $FBM$. По свойству вертикальных углов: $$ \angle ABK = \angle FBM $$

6. Так как $BG$ является биссектрисой угла $FBM$, она также является биссектрисой вертикального ему угла $ABK$. Следовательно, луч $BG$ делит угол $ABK$ на два равных угла, и: $$ \angle ABG = \frac{1}{2} \angle ABK $$

7. Используя равенства, полученные в шагах 1, 2, 5 и 6, мы можем сопоставить углы $PAC$ и $ABG$: $$ \angle PAC = \frac{1}{2} \angle PAE $$ $$ \angle ABG = \frac{1}{2} \angle ABK = \frac{1}{2} \angle FBM $$ Поскольку $ \angle PAE = \angle FBM $, то и их половины равны: $$ \angle PAC = \angle ABG $$

8. Углы $PAC$ и $ABG$ являются соответственными углами при прямых $AC$ и $BG$ и секущей $AB$. Так как эти соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $AC$ и $BG$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что биссектрисы углов $PAE$ и $FBM$ параллельны.

101. На стороне $BC$ угла $ABC$ отметили точку $D$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BA$. Эта прямая пересекла биссектрису угла $ABC$ в точке $M$. Найдите углы $ABM$ и $BDM$, если $\angle BMD = 35^\circ$.

101. На стороне $BC$ угла $ABC$ отметили точку $D$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BA$. Эта прямая пересекла биссектрису угла $ABC$ в точке $M$. Найдите углы $ABM$ и $BDM$, если $\angle BMD = 35^{\circ}$.

Нахождение угла ABM

По условию задачи, через точку D проведена прямая, параллельная стороне BA. Обозначим эту прямую как DM. Таким образом, мы имеем две параллельные прямые $BA$ и $DM$, и секущую $BM$.

Углы $ \angle ABM $ и $ \angle BMD $ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BA$ и $DM$ и секущей $BM$. По свойству параллельных прямых, такие углы равны: $ \angle ABM = \angle BMD $.

Так как по условию $ \angle BMD = 35^{\circ} $, то и $ \angle ABM = 35^{\circ} $.

Ответ: $ \angle ABM = 35^{\circ} $.

Нахождение угла BDM

По условию, BM — биссектриса угла $ \angle ABC $. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла: $ \angle ABM = \angle MBC $.

Точка D лежит на стороне BC, поэтому угол $ \angle MBC $ — это тот же угол, что и $ \angle MBD $. Следовательно, $ \angle MBD = \angle ABM $.

Из предыдущего шага известно, что $ \angle ABM = 35^{\circ} $, а значит $ \angle MBD = 35^{\circ} $.

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle BDM $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^{\circ} $: $ \angle BDM + \angle BMD + \angle MBD = 180^{\circ} $.

Подставим известные значения углов ($ \angle BMD = 35^{\circ} $ и $ \angle MBD = 35^{\circ} $):
$ \angle BDM + 35^{\circ} + 35^{\circ} = 180^{\circ} $
$ \angle BDM + 70^{\circ} = 180^{\circ} $

Отсюда находим $ \angle BDM $:
$ \angle BDM = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} $

Ответ: $ \angle BDM = 110^{\circ} $.

102. На рисунке 181 биссектриса угла $CKF$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$, а биссектриса угла $KFB$ пересекает прямую $CD$ в точке $P$. Докажите, что если $EF = FK$, то $EF = KP$.

Рис. 181

102. На рисунке 181 биссектриса угла $CKF$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$, а биссектриса угла $KFB$ пересекает прямую $CD$ в точке $P$. Докажите, что если $EF = FK$, то $EF = KP$.

Рис. 181

Рассмотрим треугольник $\triangle EFK$. По условию $EF = FK$, следовательно, $\triangle EFK$ является равнобедренным, и углы при его основании $EK$ равны: $\angle FEK = \angle FKE$.

Поскольку по условию луч $KE$ является биссектрисой угла $\angle CKF$, то он делит этот угол пополам: $\angle CKE = \angle EKF$.

Из двух предыдущих равенств ($\angle FEK = \angle FKE$ и $\angle CKE = \angle EKF$) следует, что $\angle FEK = \angle CKE$.

Углы $\angle FEK$ и $\angle CKE$ являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $EK$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности прямых $AB \parallel CD$.

Теперь рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $FP$. Внутренние накрест лежащие углы при этой секущей равны: $\angle BFP = \angle FPK$.

По условию, луч $FP$ является биссектрисой угла $\angle KFB$, следовательно, $\angle KFP = \angle PFB$.

Из двух последних равенств ($\angle BFP = \angle FPK$ и $\angle KFP = \angle PFB$) следует, что $\angle KFP = \angle FPK$.

Рассмотрим треугольник $\triangle KFP$. Так как в нём два угла равны ($\angle KFP = \angle FPK$), то он является равнобедренным с основанием $FP$. Стороны, противолежащие равным углам, равны: $FK = KP$.

Итак, мы имеем $EF = FK$ по условию и $FK = KP$ по доказанному. Отсюда следует, что $EF = KP$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

103. На рисунке 182 $AB \parallel CD$. Найдите $\angle AOC$, если $\angle BAO = 150^\circ$, $\angle OCD = 20^\circ$.

Рис. 182

103. На рисунке 182 $AB \parallel CD$. Найдите $\angle AOC$, если $\angle BAO = 150^\circ$, $\angle OCD = 20^\circ$.

Рис. 182

Для решения задачи проведем через точку $O$ прямую $OK$, параллельную прямым $AB$ и $CD$. Так как по условию $AB \parallel CD$, то $OK \parallel AB$ и $OK \parallel CD$.

Прямая $OK$ делит угол $\angle AOC$ на два угла: $\angle AOK$ и $\angle KOC$. Таким образом, $\angle AOC = \angle AOK + \angle KOC$.

1. Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $OK$ и секущую $AO$. Углы $\angle BAO$ и $\angle AOK$ являются внутренними односторонними углами. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^{\circ}$.
Следовательно, $\angle BAO + \angle AOK = 180^{\circ}$.
Подставим известное значение $\angle BAO = 150^{\circ}$:
$150^{\circ} + \angle AOK = 180^{\circ}$
$\angle AOK = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.

2. Рассмотрим параллельные прямые $OK$ и $CD$ и секущую $CO$. Углы $\angle KOC$ и $\angle OCD$ являются внутренними накрест лежащими углами. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.
Следовательно, $\angle KOC = \angle OCD$.
Так как $\angle OCD = 20^{\circ}$, то $\angle KOC = 20^{\circ}$.

3. Теперь найдем искомый угол $\angle AOC$, сложив величины углов $\angle AOK$ и $\angle KOC$:
$\angle AOC = \angle AOK + \angle KOC = 30^{\circ} + 20^{\circ} = 50^{\circ}$.

Ответ: $50^{\circ}$.