Страница 65 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. На рисунке 176 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 2 = \angle 3$. Докажите, что прямые $a$ и $c$ параллельны.

Рис. 176

94. На рисунке 176 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 2 = \angle 3$. Докажите, что прямые а и с параллельны.

Рис. 176

Для доказательства того, что прямые $a$ и $c$ параллельны, мы воспользуемся признаками параллельности прямых и свойством транзитивности параллельных прямых.

1. Докажем, что $a \parallel b$.
Рассмотрим прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $m$. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются соответственными. По условию задачи дано, что $\angle 1 = \angle 2$. Согласно признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $a \parallel b$.

2. Докажем, что $b \parallel c$.
Теперь рассмотрим прямые $b$ и $c$, пересеченные той же секущей $m$. Углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются внутренними накрест лежащими. По условию задачи дано, что $\angle 2 = \angle 3$. Согласно признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $b \parallel c$.

3. Докажем, что $a \parallel c$.
Из первого пункта мы знаем, что $a \parallel b$. Из второго пункта мы знаем, что $b \parallel c$. Существует теорема (свойство транзитивности параллельности): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Так как прямая $a$ параллельна прямой $b$, а прямая $b$ в свою очередь параллельна прямой $c$, то из этого следует, что прямая $a$ параллельна прямой $c$, то есть $a \parallel c$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $a$ и $c$ доказана.

95. На рисунке 177 $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Докажите, что прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны.

Рис. 177

95. На рисунке 177 $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Докажите, что прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны.

Рис. 177

Рассмотрим два треугольника, $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. По условию задачи, стороны этих треугольников соответственно равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$.

Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Таким образом, мы можем заключить, что $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Следовательно, угол $ \angle BAC $ (лежащий против стороны $BC$) равен углу $ \angle B_1A_1C_1 $ (лежащему против равной ей стороны $B_1C_1$). То есть, $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $.

Рассмотрим прямые $AB$ и $A_1B_1$ и прямую $AA_1$, которая является для них секущей. Углы $ \angle BAC $ и $ \angle B_1A_1C_1 $ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $A_1B_1$ секущей $AA_1$.

Поскольку мы доказали, что эти накрест лежащие углы равны ($ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $), то, по признаку параллельности прямых, прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны.

Ответ: Параллельность прямых $AB$ и $A_1B_1$ доказана.

96. На рисунке 178 $MK = KE$, $\angle NMK = \angle FMK$, $\angle MNK = \angle ENK$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

96. На рисунке 178 $MK = KE$, $\angle NMK = \angle FMK$, $\angle MNK = \angle ENK$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Рис. 178

Рассмотрим треугольник $MNE$.

1. По условию задачи, отрезок $MK$ равен отрезку $KE$ ($MK = KE$). Это означает, что точка $K$ является серединой стороны $ME$. Следовательно, отрезок $NK$ является медианой треугольника $MNE$, проведенной из вершины $N$.

2. Также по условию, угол $MNK$ равен углу $ENK$ ($∠MNK = ∠ENK$). Это означает, что отрезок $NK$ является также и биссектрисой угла $MNE$.

3. В треугольнике $MNE$ отрезок $NK$ является одновременно и медианой, и биссектрисой. Согласно свойству равнобедренного треугольника, если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной и той же вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $MNE$ является равнобедренным с основанием $ME$.

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда следует, что $∠NME = ∠NEM$.

5. Углы $∠NME$ и $∠NEM$ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $ME$.

6. Поскольку накрест лежащие углы равны ($∠NME = ∠NEM$), то по признаку параллельности прямых, прямые $AB$ и $CD$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $AB$ и $CD$ доказана.

97. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из этих углов равен $106^\circ$.

97. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из этих углов равен $106^\circ$.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется 8 углов. Эти углы можно разделить на две группы равных между собой углов: острые и тупые. Сумма любого острого и любого тупого угла равна $180^\circ$, так как они являются смежными или внутренними односторонними.

По условию задачи, один из углов равен $106^\circ$. Так как этот угол больше $90^\circ$, он является тупым. Следовательно, все тупые углы, образованные при пересечении, будут равны $106^\circ$.

В каждой точке пересечения есть два тупых угла (они вертикальны друг другу) и два острых угла. Всего у нас две точки пересечения. Таким образом, мы имеем 4 тупых угла, и все они равны $106^\circ$.

Остальные 4 угла являются острыми. Чтобы найти их величину, нужно из $180^\circ$ вычесть величину тупого угла, так как острый и тупой углы в данном случае являются смежными.

$180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$

Следовательно, все 4 острых угла равны $74^\circ$.

Таким образом, при пересечении образуются четыре угла по $106^\circ$ и четыре угла по $74^\circ$.

Ответ: четыре угла равны $106^\circ$, и четыре угла равны $74^\circ$.