Страница 65 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-09-079592-0
Популярные ГДЗ в 7 классе
Cтраница 65

№94 (с. 65)
Учебник 2017. №94 (с. 65)


94. На рисунке 176 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 2 = \angle 3$. Докажите, что прямые $a$ и $c$ параллельны.
Рис. 176
Учебник 2021. №94 (с. 65)


94. На рисунке 176 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 2 = \angle 3$. Докажите, что прямые а и с параллельны.
Рис. 176
Решение. №94 (с. 65)

Решение 2 (2021). №94 (с. 65)
Для доказательства того, что прямые $a$ и $c$ параллельны, мы воспользуемся признаками параллельности прямых и свойством транзитивности параллельных прямых.
1. Докажем, что $a \parallel b$.
Рассмотрим прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $m$. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются соответственными. По условию задачи дано, что $\angle 1 = \angle 2$. Согласно признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $a \parallel b$.
2. Докажем, что $b \parallel c$.
Теперь рассмотрим прямые $b$ и $c$, пересеченные той же секущей $m$. Углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются внутренними накрест лежащими. По условию задачи дано, что $\angle 2 = \angle 3$. Согласно признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $b \parallel c$.
3. Докажем, что $a \parallel c$.
Из первого пункта мы знаем, что $a \parallel b$. Из второго пункта мы знаем, что $b \parallel c$. Существует теорема (свойство транзитивности параллельности): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Так как прямая $a$ параллельна прямой $b$, а прямая $b$ в свою очередь параллельна прямой $c$, то из этого следует, что прямая $a$ параллельна прямой $c$, то есть $a \parallel c$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Параллельность прямых $a$ и $c$ доказана.
№95 (с. 65)
Учебник 2017. №95 (с. 65)


95. На рисунке 177 $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Докажите, что прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны.
Рис. 177
Учебник 2021. №95 (с. 65)


95. На рисунке 177 $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Докажите, что прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны.
Рис. 177
Решение. №95 (с. 65)

Решение 2 (2021). №95 (с. 65)
Рассмотрим два треугольника, $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. По условию задачи, стороны этих треугольников соответственно равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$.
Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Таким образом, мы можем заключить, что $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.
В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Следовательно, угол $ \angle BAC $ (лежащий против стороны $BC$) равен углу $ \angle B_1A_1C_1 $ (лежащему против равной ей стороны $B_1C_1$). То есть, $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $.
Рассмотрим прямые $AB$ и $A_1B_1$ и прямую $AA_1$, которая является для них секущей. Углы $ \angle BAC $ и $ \angle B_1A_1C_1 $ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $A_1B_1$ секущей $AA_1$.
Поскольку мы доказали, что эти накрест лежащие углы равны ($ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $), то, по признаку параллельности прямых, прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны.
Ответ: Параллельность прямых $AB$ и $A_1B_1$ доказана.
№96 (с. 65)
Учебник 2017. №96 (с. 65)


96. На рисунке 178 $MK = KE$, $\angle NMK = \angle FMK$, $\angle MNK = \angle ENK$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.
Рис. 178Учебник 2021. №96 (с. 65)


96. На рисунке 178 $MK = KE$, $\angle NMK = \angle FMK$, $\angle MNK = \angle ENK$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.
Рис. 178
Решение. №96 (с. 65)


Решение 2 (2021). №96 (с. 65)
Рассмотрим треугольник $MNE$.
1. По условию задачи, отрезок $MK$ равен отрезку $KE$ ($MK = KE$). Это означает, что точка $K$ является серединой стороны $ME$. Следовательно, отрезок $NK$ является медианой треугольника $MNE$, проведенной из вершины $N$.
2. Также по условию, угол $MNK$ равен углу $ENK$ ($∠MNK = ∠ENK$). Это означает, что отрезок $NK$ является также и биссектрисой угла $MNE$.
3. В треугольнике $MNE$ отрезок $NK$ является одновременно и медианой, и биссектрисой. Согласно свойству равнобедренного треугольника, если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной и той же вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $MNE$ является равнобедренным с основанием $ME$.
4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда следует, что $∠NME = ∠NEM$.
5. Углы $∠NME$ и $∠NEM$ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $ME$.
6. Поскольку накрест лежащие углы равны ($∠NME = ∠NEM$), то по признаку параллельности прямых, прямые $AB$ и $CD$ параллельны, что и требовалось доказать.
Ответ: Параллельность прямых $AB$ и $CD$ доказана.
№97 (с. 65)
Учебник 2017. №97 (с. 65)

97. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из этих углов равен $106^\circ$.
Учебник 2021. №97 (с. 65)

97. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из этих углов равен $106^\circ$.
Решение. №97 (с. 65)

Решение 2 (2021). №97 (с. 65)
При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется 8 углов. Эти углы можно разделить на две группы равных между собой углов: острые и тупые. Сумма любого острого и любого тупого угла равна $180^\circ$, так как они являются смежными или внутренними односторонними.
По условию задачи, один из углов равен $106^\circ$. Так как этот угол больше $90^\circ$, он является тупым. Следовательно, все тупые углы, образованные при пересечении, будут равны $106^\circ$.
В каждой точке пересечения есть два тупых угла (они вертикальны друг другу) и два острых угла. Всего у нас две точки пересечения. Таким образом, мы имеем 4 тупых угла, и все они равны $106^\circ$.
Остальные 4 угла являются острыми. Чтобы найти их величину, нужно из $180^\circ$ вычесть величину тупого угла, так как острый и тупой углы в данном случае являются смежными.
$180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$
Следовательно, все 4 острых угла равны $74^\circ$.
Таким образом, при пересечении образуются четыре угла по $106^\circ$ и четыре угла по $74^\circ$.
Ответ: четыре угла равны $106^\circ$, и четыре угла равны $74^\circ$.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.