Страница 61 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. На рисунке 162 $DO = OB$, $\angle EDO = \angle OBF$. Докажите, что $\triangle COE = \triangle AOF$.

Рис. 162

67. На рисунке 162 $DO = OB$, $\angle EDO = \angle OBF$. Докажите, что $\triangle COE = \triangle AOF$.

Рис. 162

Для доказательства равенства треугольников $\triangle COE$ и $\triangle AOF$ сначала докажем равенство треугольников $\triangle EDO$ и $\triangle FBO$.

1. Рассмотрим $\triangle EDO$ и $\triangle FBO$.

В этих треугольниках:

• $DO = OB$ (по условию).
• $\angle EDO = \angle OBF$ (по условию).
• $\angle EOD = \angle FOB$ (как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых AC и EF).

Следовательно, $\triangle EDO = \triangle FBO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

2. Из равенства треугольников $\triangle EDO$ и $\triangle FBO$ следует равенство их соответствующих сторон и углов:

• $EO = FO$
• $\angle DEO = \angle BFO$

3. Теперь рассмотрим треугольники, равенство которых требуется доказать: $\triangle COE$ и $\triangle AOF$.

В этих треугольниках:

• $EO = FO$ (из доказанного в пункте 2).
• $\angle COE = \angle AOF$ (как вертикальные углы).
• $\angle CEO = \angle AFO$ (так как это те же углы, что и $\angle DEO$ и $\angle BFO$, равенство которых было доказано в пункте 2).

Таким образом, $\triangle COE = \triangle AOF$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle COE$ и $\triangle AOF$ доказано на основе признака равенства по стороне и двум прилежащим к ней углам (ASA).

68. На рисунке 163 $PO = OF$, $\angle APO = \angle CFO$, $\angle ACB = \angle CAD$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle ADC$.

Рис. 163

68. На рисунке 163 $PO = OF$, $\angle APO = \angle CFO$, $\angle ACB = \angle CAD$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle ADC$.

Рис. 163

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $, сначала рассмотрим треугольники $ \triangle APO $ и $ \triangle CFO $.

В этих треугольниках:

• $ PO = OF $ (по условию).
• $ \angle APO = \angle CFO $ (по условию).
• $ \angle AOP = \angle COF $ (как вертикальные углы).

Следовательно, $ \triangle APO = \triangle CFO $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $ \triangle APO $ и $ \triangle CFO $ следует равенство их соответственных элементов. В частности, равны углы $ \angle PAO $ и $ \angle FCO $. Поскольку точка $ P $ лежит на стороне $ AB $, а точка $ F $ – на стороне $ CD $, то это равенство можно записать как $ \angle BAC = \angle DCA $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $:

• $ \angle ACB = \angle CAD $ (по условию).
• $ AC $ – общая сторона.
• $ \angle BAC = \angle DCA $ (доказано выше).

Таким образом, $ \triangle ABC = \triangle ADC $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $ \triangle ABC = \triangle ADC $, доказано.

69. На рисунке 164 $AB = BC$, $\angle ABD = \angle CBE$, $\angle BAD = \angle BCE$. Найдите угол $BDC$, если $\angle BEA = 100^\circ$.

Рис. 164

69. На рисунке 164 $AB = BC$, $\angle ABD = \angle CBE$, $\angle BAD = \angle BCE$. Найдите угол $BDC$, если $\angle BEA = 100^\circ$.

Рис. 164

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBE$. По условию задачи дано, что $\angle BAD = \angle BCE$ и $\angle ABD = \angle CBE$. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, треугольник $ABD$ подобен треугольнику $CBE$ ($\triangle ABD \sim \triangle CBE$) по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BE} = \frac{AD}{CE}$. По условию задачи известно, что $AB = BC$, следовательно, отношение их длин $\frac{AB}{CB} = 1$. Из этого следует, что и отношение $\frac{BD}{BE} = 1$, что означает $BD = BE$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABE$ и $CBD$. Сравним их элементы:

1. $AB = BC$ по условию.

2. $BE = BD$ как было доказано выше.

3. Угол $\angle ABE$ состоит из суммы углов $\angle ABD$ и $\angle DBE$, то есть $\angle ABE = \angle ABD + \angle DBE$. Аналогично, угол $\angle CBD = \angle CBE + \angle DBE$. Так как по условию $\angle ABD = \angle CBE$, то и $\angle ABE = \angle CBD$.

Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $ABE$ ($AB$, $BE$ и $\angle ABE$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $CBD$ ($BC$, $BD$ и $\angle CBD$). Следовательно, $\triangle ABE = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках соответственные углы равны. Угол $BDC$ в треугольнике $CBD$ является соответственным углу $BEA$ в треугольнике $ABE$. Отсюда следует, что $\angle BDC = \angle BEA$.

По условию задачи $\angle BEA = 100^\circ$, значит, искомый угол $\angle BDC$ также равен $100^\circ$.

Ответ: 100°.

70. Основание равнобедренного треугольника равно 4 см, а боковая сторона — 11 см. Найдите периметр треугольника.

70. Основание равнобедренного треугольника равно 4 см, а боковая сторона — 11 см. Найдите периметр треугольника.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Формула для вычисления периметра $P$: $P = a + b + c$, где $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника.

В задаче дан равнобедренный треугольник. Особенностью равнобедренного треугольника является то, что две его боковые стороны равны.

Согласно условию:

• длина основания равна 4 см;
• длина боковой стороны равна 11 см.

Следовательно, у треугольника есть три стороны с длинами 4 см, 11 см и 11 см.

Теперь подставим длины сторон в формулу периметра и вычислим его:
$P = 4 + 11 + 11 = 26$ см.

Ответ: 26 см.

71. Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, а основание — 8 см. Найдите боковую сторону треугольника.

71. Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, а основание — 8 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Периметр равнобедренного треугольника — это сумма длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны между собой.

Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания как $b$.

Формула для вычисления периметра $P$ равнобедренного треугольника: $P = a + a + b = 2a + b$

Из условия задачи нам известно, что периметр $P = 26$ см, а основание $b = 8$ см. Подставим эти значения в формулу: $26 = 2a + 8$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти длину боковой стороны $a$.

Вычтем из периметра длину основания, чтобы найти сумму длин двух боковых сторон: $2a = 26 - 8$ $2a = 18$

Разделим полученную сумму на 2, так как боковые стороны равны: $a = 18 / 2$ $a = 9$

Следовательно, длина боковой стороны треугольника равна 9 см.

Ответ: 9 см.

72. Периметр равностороннего треугольника равен 18 см. Одна из его сторон является основанием равнобедренного треугольника, периметр которого равен 20 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника.

72. Периметр равностороннего треугольника равен 18 см. Одна из его сторон является основанием равнобедренного треугольника, периметр которого равен 20 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника.

Сначала найдем длину стороны равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все три стороны равны. Пусть длина стороны равна $a$. Его периметр ($P_{равн}$) вычисляется по формуле $P_{равн} = 3a$.

По условию задачи, периметр равностороннего треугольника равен 18 см. Используя эту информацию, найдем длину его стороны:
$3a = 18$ см
$a = 18 / 3 = 6$ см.

Далее, по условию, одна из сторон этого равностороннего треугольника является основанием для равнобедренного треугольника. Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно 6 см.

Периметр равнобедренного треугольника ($P_{равноб}$) равен сумме длин его основания и двух равных боковых сторон. Обозначим длину боковой стороны как $b$. Тогда формула периметра: $P_{равноб} = a + 2b$.

Нам известно, что периметр равнобедренного треугольника равен 20 см, а его основание $a = 6$ см. Подставим эти значения в формулу и найдем длину боковой стороны $b$:
$20 = 6 + 2b$
$2b = 20 - 6$
$2b = 14$
$b = 14 / 2 = 7$ см.

Следовательно, стороны равнобедренного треугольника: основание — 6 см, и две боковые стороны — по 7 см каждая.

Ответ: стороны равнобедренного треугольника равны 6 см, 7 см и 7 см.