Страница 63 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. На высоте $CH$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Докажите, что если $\angle AKH = \angle BKH$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

82. На высоте $CH$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Докажите, что если $\angle AKH = \angle BKH$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

По условию, $CH$ является высотой треугольника $ \triangle ABC $, проведенной к стороне $AB$. Это означает, что $ CH \perp AB $, и, следовательно, $ \angle CHA = \angle CHB = 90^\circ $.

Поскольку точка $K$ лежит на высоте $CH$, то отрезок $KH$ также перпендикулярен $AB$. Таким образом, треугольники $ \triangle AKH $ и $ \triangle BKH $ являются прямоугольными с прямыми углами $ \angle KHA $ и $ \angle KHB $ соответственно.

Рассмотрим сумму углов в этих прямоугольных треугольниках. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

Для $ \triangle AKH $: $ \angle KAH + \angle AKH + \angle KHA = 180^\circ $.
Так как $ \angle KHA = 90^\circ $, то $ \angle KAH = 180^\circ - 90^\circ - \angle AKH = 90^\circ - \angle AKH $.

Для $ \triangle BKH $: $ \angle KBH + \angle BKH + \angle KHB = 180^\circ $.
Так как $ \angle KHB = 90^\circ $, то $ \angle KBH = 180^\circ - 90^\circ - \angle BKH = 90^\circ - \angle BKH $.

В условии задачи дано, что $ \angle AKH = \angle BKH $.

Сравнивая выражения для углов $ \angle KAH $ и $ \angle KBH $, получаем:
$ \angle KAH = 90^\circ - \angle AKH $
$ \angle KBH = 90^\circ - \angle BKH $
Поскольку правые части этих равенств равны (так как $ \angle AKH = \angle BKH $), то равны и левые: $ \angle KAH = \angle KBH $.

Углы $ \angle KAH $ и $ \angle KBH $ являются углами при основании $AB$ треугольника $ \triangle ABC $, то есть $ \angle CAB = \angle KAH $ и $ \angle CBA = \angle KBH $. Следовательно, $ \angle CAB = \angle CBA $.

По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Так как в $ \triangle ABC $ углы при основании равны, то стороны, лежащие напротив этих углов, также равны: $AC = BC$.

Таким образом, треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

83. На рисунке 167 $CD = DN$, $\angle OCN = \angle ONC$. Докажите, что $\triangle DCO = \triangle DNO$.

Рис. 167

83. На рисунке 167 $CD = DN$, $\angle OCN = \angle ONC$. Докажите, что $\triangle DCO = \triangle DNO$.

Рис. 167

Для доказательства равенства треугольников $\Delta DCO$ и $\Delta DNO$ проанализируем имеющиеся данные.

1. Рассмотрим треугольник $\Delta OCN$. По условию, в этом треугольнике углы при основании $CN$ равны: $\angle OCN = \angle ONC$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $\Delta OCN$ — равнобедренный, а его боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой: $OC = ON$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\Delta DCO$ и $\Delta DNO$. Сравним их элементы:

• $CD = DN$ — по условию задачи.
• $CO = ON$ — как было доказано в предыдущем пункте.
• $DO$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $\Delta DCO$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\Delta DNO$. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), эти треугольники равны.

Следовательно, $\Delta DCO = \Delta DNO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\Delta DCO$ и $\Delta DNO$ доказано на основании третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам).

84. На стороне NP треугольника DNP отметили точку C так, что $NC : CP = 3 : 2$. Биссектриса NM перпендикулярна отрезку DC. Найдите DN, если известно, что $PC = 4 \text{ см}$.

84. На стороне $NP$ треугольника $DNP$ отметили точку $C$ так, что $NC : CP = 3 : 2$. Биссектриса $NM$ перпендикулярна отрезку $DC$. Найдите $DN$, если известно, что $PC = 4 \text{ см}$.

1. Найдём длину отрезка $NC$. Из условия задачи известно, что соотношение отрезков $NC : CP = 3 : 2$, а длина отрезка $PC = 4$ см. Составим пропорцию: $\frac{NC}{PC} = \frac{3}{2}$ Подставим известное значение $PC$: $\frac{NC}{4} = \frac{3}{2}$ Выразим и вычислим $NC$: $NC = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$ см.

2. Рассмотрим треугольник $DNC$. Пусть биссектриса $NM$ пересекает отрезок $DC$ в точке $K$. Поскольку $NM$ является биссектрисой угла $DNP$, то она делит угол $\angle DNP$ пополам: $\angle DNM = \angle PNM$. Так как точка $C$ лежит на стороне $NP$, то отрезок $NK$ является биссектрисой угла $DNC$ в треугольнике $DNC$. Также по условию задачи биссектриса $NM$ перпендикулярна отрезку $DC$ ($NM \perp DC$), это означает, что отрезок $NK$ является высотой в треугольнике $DNC$, проведённой из вершины $N$ к стороне $DC$.

3. В треугольнике $DNC$ отрезок $NK$ одновременно является и биссектрисой, и высотой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, совпадает с высотой, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $DNC$ — равнобедренный с основанием $DC$. Его боковые стороны, исходящие из вершины $N$, равны: $DN = NC$.

4. Зная, что $NC = 6$ см, и доказав, что $DN = NC$, находим длину $DN$: $DN = 6$ см.

Ответ: 6 см.

85. На рисунке 168 $AB = CD, BC = AD$. Найдите $\angle BCD$, если $\angle BAD = 43^\circ$.

Рис. 168

85. На рисунке 168 $AB = CD, BC = AD$. Найдите $\angle BCD$, если $\angle BAD = 43^\circ$.

Рис. 168

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи, его противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = AD$.

Проведем диагональ $BD$, которая разделит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.

Сравним эти два треугольника:

• $AB = CD$ (по условию задачи)
• $AD = BC$ (по условию задачи)
• $BD$ — общая сторона

Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle CDB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что их соответственные углы равны. В данных треугольниках угол $\angle BCD$ лежит напротив стороны $BD$, а угол $\angle BAD$ также лежит напротив стороны $BD$. Следовательно, эти углы являются соответственными.

Значит, $\angle BCD = \angle BAD$.

По условию $\angle BAD = 43^\circ$, следовательно, $\angle BCD = 43^\circ$.

Ответ: $43^\circ$

86. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AC = A_1C_1$, $CD = C_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $AB = A_1B_1$.

86. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AC = A_1C_1$, $CD = C_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $AB = A_1B_1$.

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, воспользуемся данными из условия задачи.

1. Рассмотрим треугольники $ADC$ и $A_1D_1C_1$.

По условию нам известно, что:

• $AC = A_1C_1$
• $CD = C_1D_1$
• $AD = A_1D_1$

Поскольку три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то $\triangle ADC = \triangle A_1D_1C_1$ (по третьему признаку равенства треугольников, SSS).

2. Из равенства треугольников $ADC$ и $A_1D_1C_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle DAC$, лежащий напротив стороны $CD$, равен углу $\angle D_1A_1C_1$, лежащему напротив равной ей стороны $C_1D_1$.

Таким образом, $\angle DAC = \angle D_1A_1C_1$.

3. Так как точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $D_1$ – на стороне $A_1B_1$, то угол $\angle DAC$ является тем же углом, что и $\angle BAC$, а угол $\angle D_1A_1C_1$ – тем же углом, что и $\angle B_1A_1C_1$.

Следовательно, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

4. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

У них:

• $AB = A_1B_1$ (по условию)
• $AC = A_1C_1$ (по условию)
• $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (как доказано выше)

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано.

87. На рисунке 169 $MP = PE$, $MF = FE$. Докажите, что $\angle MKP = \angle EKP$.

Рис. 169

87. На рисунке 169 $MP = PE$, $MF = FE$. Докажите, что $\angle MKP = \angle EKP$.

Рис. 169

Для доказательства равенства углов $\angle MKP$ и $\angle EKP$, мы последовательно докажем равенство двух пар треугольников.

Сначала рассмотрим треугольники $\triangle MPF$ и $\triangle EPF$.
Согласно условию задачи, у нас есть следующие равенства сторон:

• $MP = PE$
• $MF = FE$

Сторона $PF$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, треугольники $\triangle MPF$ и $\triangle EPF$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). $ \triangle MPF \cong \triangle EPF $ (по SSS).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, нас интересуют углы при вершине P: $ \angle MPF = \angle EPF $.

Далее, рассмотрим треугольники $\triangle MKP$ и $\triangle EKP$.
Из рисунка видно, что точки P, F и K лежат на одной прямой, поэтому $\angle MPK$ это тот же угол, что и $\angle MPF$, а $\angle EPK$ — тот же, что и $\angle EPF$. Следовательно, $\angle MPK = \angle EPK$.

Теперь мы можем сравнить элементы треугольников $\triangle MKP$ и $\triangle EKP$:

• $MP = PE$ (по условию).
• $\angle MPK = \angle EPK$ (как доказано выше).
• $PK$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $\triangle MKP$ и $\triangle EKP$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). $ \triangle MKP \cong \triangle EKP $ (по SAS).

Из равенства треугольников $\triangle MKP$ и $\triangle EKP$ следует равенство всех их соответствующих элементов. Углы $\angle MKP$ и $\angle EKP$ являются соответствующими в этих равных треугольниках.

Таким образом, $\angle MKP = \angle EKP$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle MKP = \angle EKP$ доказано.

88. На рисунке 170 $AB = CD$, $AM = CK$, $BK = DM$. Найдите $BC$, если $AD = 6$ см.

Рис. 170

88. На рисунке 170 $AB = CD$, $AM = CK$, $BK = DM$. Найдите $BC$, если $AD = 6$ см.

Рис. 170

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Точки $M$ и $K$ лежат на его диагонали $AC$.

1. Докажем, что $AK = CM$.

Точки $A$, $M$, $K$, $C$ лежат на одной прямой. Длина отрезка $AC$ может быть выражена как $AC = AK + KC$ или $AC = AM + MC$.

Из первого равенства выразим $AK$: $AK = AC - KC$.

Из второго равенства выразим $CM$: $CM = AC - AM$.

По условию задачи дано, что $AM = CK$. Заменим в выражении для $CM$ отрезок $AM$ на равный ему $CK$: $CM = AC - CK$.

Теперь мы видим, что правые части выражений для $AK$ и $CM$ равны: $AC - KC = AC - CK$. Следовательно, равны и левые части: $AK = CM$.

2. Докажем, что $\triangle ABK \cong \triangle CDM$.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $CDM$. Сравним их стороны:

• $AB = CD$ (по условию).
• $BK = DM$ (по условию).
• $AK = CM$ (как доказано в пункте 1).

Поскольку три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (SSS).

3. Докажем, что $ABCD$ — параллелограмм.

Из равенства треугольников $\triangle ABK \cong \triangle CDM$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAK = \angle DCM$.

Углы $\angle BAK$ и $\angle DCM$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$. Так как эти углы равны, то прямые $AB$ и $DC$ параллельны: $AB \parallel DC$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ две противоположные стороны $AB$ и $DC$ равны ($AB = CD$) и параллельны ($AB \parallel DC$). По признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

4. Найдем длину стороны $BC$.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, $BC = AD$.

По условию задачи, $AD = 6$ см.

Значит, $BC = 6$ см.

Ответ: $BC = 6$ см.