Страница 68 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Один из углов треугольника равен $96^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным:

1) $92^\circ$;

2) $97^\circ$?

111. Один из углов треугольника равен $96^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным: 1) $92^\circ$; 2) $97^\circ$?

Пусть углы треугольника равны $ \alpha, \beta $ и $ \gamma $. По условию, один из углов равен $ 96^\circ $. Пусть $ \alpha = 96^\circ $.

Сумма углов треугольника равна $ 180^\circ $, поэтому $ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $.
Отсюда $ \beta + \gamma = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ $.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Внешний угол, не смежный с углом $ \alpha $, — это внешний угол при вершине с углом $ \beta $ или при вершине с углом $ \gamma $.

Внешний угол при вершине $ \beta $ равен $ \alpha + \gamma = 96^\circ + \gamma $.
Внешний угол при вершине $ \gamma $ равен $ \alpha + \beta = 96^\circ + \beta $.

Так как любой внутренний угол треугольника является положительной величиной ($ \beta > 0^\circ $ и $ \gamma > 0^\circ $), то любой внешний угол, не смежный с углом в $ 96^\circ $, должен быть строго больше, чем $ 96^\circ $.

1) 92°

Проверим, может ли такой внешний угол быть равен $ 92^\circ $.
Значение $ 92^\circ $ меньше $ 96^\circ $, что противоречит выведенному нами условию ($ 92^\circ < 96^\circ $). Следовательно, внешний угол, не смежный с углом $ 96^\circ $, не может быть равен $ 92^\circ $.
Если бы он был равен $ 92^\circ $, то мы бы имели, например, $ 96^\circ + \gamma = 92^\circ $, откуда $ \gamma = 92^\circ - 96^\circ = -4^\circ $. Угол треугольника не может быть отрицательным.
Ответ: нет, не может.

2) 97°

Проверим, может ли такой внешний угол быть равен $ 97^\circ $.
Значение $ 97^\circ $ больше $ 96^\circ $, что не противоречит условию ($ 97^\circ > 96^\circ $). Найдем углы такого треугольника.
Пусть внешний угол при одной из вершин (например, при вершине с углом $ \beta $) равен $ 97^\circ $. Тогда $ \alpha + \gamma = 97^\circ $, то есть $ 96^\circ + \gamma = 97^\circ $. Отсюда находим $ \gamma = 1^\circ $.
Так как $ \beta + \gamma = 84^\circ $, то $ \beta = 84^\circ - \gamma = 84^\circ - 1^\circ = 83^\circ $.
Таким образом, мы получили треугольник с углами $ 96^\circ, 83^\circ, 1^\circ $. Сумма углов $ 96^\circ + 83^\circ + 1^\circ = 180^\circ $, все углы положительные, значит такой треугольник существует.
Ответ: да, может.

112. Один из внешних углов треугольника равен $87^\circ$, а один из углов треугольника, не смежный с ним, — $48^\circ$. Найдите второй угол треугольника, не смежный с данным внешним.

112. Один из внешних углов треугольника равен $87^\circ$, а один из углов треугольника, не смежный с ним, — $48^\circ$. Найдите второй угол треугольника, не смежный с данным внешним.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством внешнего угла треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Обозначим искомый угол как $x$.

По условию задачи нам даны:

• Величина внешнего угла: $87^\circ$
• Величина одного из внутренних углов, не смежных с ним: $48^\circ$

Согласно теореме, мы можем составить уравнение:

$87^\circ = 48^\circ + x$

Чтобы найти $x$, вычтем $48^\circ$ из $87^\circ$:

$x = 87^\circ - 48^\circ$

$x = 39^\circ$

Таким образом, второй угол треугольника, не смежный с данным внешним, равен $39^\circ$.

Ответ: $39^\circ$

113. Один из внешних углов треугольника равен 128°. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из них в 7 раз больше другого.

113. Один из внешних углов треугольника равен $128^\circ$. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из них в 7 раз больше другого.

По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть искомые углы треугольника равны $ \alpha $ и $ \beta $.

Тогда их сумма равна данному внешнему углу:

$ \alpha + \beta = 128^\circ $

Согласно условию, один из этих углов в 7 раз больше другого. Пусть $ \alpha = x $, тогда $ \beta = 7x $.

Подставим эти значения в уравнение:

$ x + 7x = 128 $

$ 8x = 128 $

$ x = \frac{128}{8} $

$ x = 16 $

Следовательно, один угол $ \alpha = 16^\circ $.

Второй угол $ \beta = 7x = 7 \cdot 16 = 112^\circ $.

Ответ: $16^\circ$ и $112^\circ$.

114. Два внешних угла треугольника равны $152^\circ$ и $141^\circ$.

Найдите третий внешний угол треугольника.

114. Два внешних угла треугольника равны $152^\circ$ и $141^\circ$. Найдите третий внешний угол треугольника.

Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Использование свойства о сумме внешних углов треугольника

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника (в том числе и треугольника), взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

Пусть два известных внешних угла равны $E_1 = 152^\circ$ и $E_2 = 141^\circ$. Обозначим искомый третий внешний угол как $E_3$.

Тогда их сумма должна быть равна $360^\circ$:

$E_1 + E_2 + E_3 = 360^\circ$

Подставим известные значения в формулу:

$152^\circ + 141^\circ + E_3 = 360^\circ$

Сложим известные углы:

$293^\circ + E_3 = 360^\circ$

Теперь найдем третий внешний угол $E_3$:

$E_3 = 360^\circ - 293^\circ$

$E_3 = 67^\circ$

Способ 2: Через внутренние углы треугольника

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$. Найдем два внутренних угла треугольника ($I_1$ и $I_2$), соответствующие двум известным внешним углам.

$I_1 = 180^\circ - 152^\circ = 28^\circ$

$I_2 = 180^\circ - 141^\circ = 39^\circ$

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Найдем третий внутренний угол $I_3$:

$I_1 + I_2 + I_3 = 180^\circ$

$28^\circ + 39^\circ + I_3 = 180^\circ$

$67^\circ + I_3 = 180^\circ$

$I_3 = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$

Теперь найдем третий внешний угол $E_3$, который является смежным с третьим внутренним углом $I_3$:

$E_3 = 180^\circ - I_3$

$E_3 = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $67^\circ$

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них в 4 раза меньше другого. Сколько решений имеет задача?

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них в 4 раза меньше другого. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике два угла равны (углы при основании). Сумма всех углов треугольника составляет $180^\circ$. Условие, что один угол в 4 раза меньше другого, может быть истолковано двумя способами, поэтому задача имеет два решения.

Случай 1: Угол при основании в 4 раза меньше угла при вершине.

Пусть угол при основании равен $x$. Так как треугольник равнобедренный, второй угол при основании также равен $x$. Тогда угол при вершине, который в 4 раза больше, равен $4x$.

Составим уравнение, используя теорему о сумме углов треугольника:

$x + x + 4x = 180^\circ$

$6x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{6}$

$x = 30^\circ$

Таким образом, углы при основании равны $30^\circ$, а угол при вершине равен $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.

Проверка: $30^\circ + 30^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $30^\circ$, $30^\circ$, $120^\circ$.

Случай 2: Угол при вершине в 4 раза меньше угла при основании.

Пусть угол при вершине равен $x$. Тогда каждый из углов при основании, который в 4 раза больше, равен $4x$.

Составим уравнение:

$x + 4x + 4x = 180^\circ$

$9x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{9}$

$x = 20^\circ$

Таким образом, угол при вершине равен $20^\circ$, а каждый из углов при основании равен $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$.

Проверка: $20^\circ + 80^\circ + 80^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $20^\circ$, $80^\circ$, $80^\circ$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

116. Биссектрисы углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ACB$, если $\angle AOB = 130^\circ$.

116. Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите угол ACB, если $\angle AOB = 130^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный пересечением биссектрис и стороной $AB$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Зная, что по условию $∠AOB = 130°$, мы можем найти сумму двух других углов этого треугольника:
$∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°$
$∠OAB + ∠OBA = 180° - 130° = 50°$.

Поскольку $AO$ и $BO$ являются биссектрисами углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$, они делят эти углы пополам. Следовательно:
$∠OAB = \frac{1}{2}∠BAC$ (или $∠A$)
$∠OBA = \frac{1}{2}∠ABC$ (или $∠B$).

Подставим эти выражения в равенство, полученное в первом шаге:
$\frac{1}{2}∠A + \frac{1}{2}∠B = 50°$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобку и умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму углов $A$ и $B$ в исходном треугольнике $ABC$:
$\frac{1}{2}(∠A + ∠B) = 50°$
$∠A + ∠B = 100°$.

Теперь вернемся к треугольнику $ABC$. Сумма его углов также равна $180°$:
$∠A + ∠B + ∠ACB = 180°$.

Мы уже знаем, что $∠A + ∠B = 100°$. Подставим это значение в уравнение:
$100° + ∠ACB = 180°$.

Из этого уравнения находим искомый угол $∠ACB$:
$∠ACB = 180° - 100° = 80°$.

Ответ: $80°$.

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $130^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $130^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

Задача имеет два решения, так как биссектрисы могут быть проведены от разных углов равнобедренного треугольника. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Пересекаются биссектрисы углов при основании.

Пусть в равнобедренном треугольнике углы при основании равны $\alpha$, а угол при вершине равен $\beta$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно, $2\alpha + \beta = 180^\circ$.

Пусть биссектрисы углов при основании пересекаются в точке $O$. Они образуют треугольник с основанием исходного треугольника. Углы этого нового треугольника при основании равны $\alpha/2$. Угол при вершине $O$, который является углом пересечения биссектрис, равен $180^\circ - (\alpha/2 + \alpha/2) = 180^\circ - \alpha$.

При пересечении двух прямых образуются смежные углы, сумма которых $180^\circ$. Один из них острый, другой тупой (если они не прямые). По условию, один из углов равен $130^\circ$, который является тупым. Угол при основании равнобедренного треугольника $\alpha$ всегда острый ($\alpha < 90^\circ$), поэтому угол $180^\circ - \alpha$ будет тупым ($ > 90^\circ$). Следовательно, именно этот угол равен $130^\circ$.

$180^\circ - \alpha = 130^\circ$

Отсюда находим угол при основании $\alpha$:

$\alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Теперь находим угол при вершине $\beta$:

$\beta = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Таким образом, первый возможный набор углов треугольника: $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$.

Случай 2: Пересекаются биссектрисы угла при основании и угла при вершине.

Пусть биссектрисы проведены из углов $\alpha$ (при основании) и $\beta$ (при вершине). Они образуют треугольник, два угла которого равны $\alpha/2$ и $\beta/2$. Третий угол этого треугольника, являющийся углом пересечения биссектрис, равен $180^\circ - (\alpha/2 + \beta/2)$.

Предположим, что этот тупой угол равен $130^\circ$.

$180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) = 130^\circ$

$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 50^\circ$

$\alpha + \beta = 100^\circ$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2\alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha + \beta = 100^\circ \end{cases}$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$(2\alpha + \beta) - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 100^\circ \implies \alpha = 80^\circ$.

Подставляя $\alpha = 80^\circ$ во второе уравнение, находим $\beta$:

$\beta = 100^\circ - 80^\circ = 20^\circ$.

Второй возможный набор углов: $80^\circ, 80^\circ, 20^\circ$.

(Если бы мы предположили, что $130^\circ$ — это острый угол, то смежный с ним тупой угол был бы $50^\circ$. Это привело бы к уравнению $\alpha + \beta = 260^\circ$, что в системе с $2\alpha + \beta = 180^\circ$ дает отрицательный угол $\alpha$, что невозможно).

Таким образом, мы нашли два возможных набора углов, что означает, что задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет два решения: 1) углы треугольника $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$; 2) углы треугольника $80^\circ, 80^\circ, 20^\circ$.

118. В треугольнике $DME$ проведены высота $DH$ и биссектриса $DK$. Найдите угол $HDK$, если $\angle DME = 63^\circ$, $\angle DEM = 19^\circ$.

118. В треугольнике DME проведены высота DH и биссектриса DK. Найдите угол HDK, если $ \angle DME = 63^{\circ} $, $ \angle DEM = 19^{\circ} $.

Сначала найдем третий угол треугольника $DME$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.
$\angle EDM = 180^\circ - (\angle DEM + \angle DME)$
Подставив известные значения, получим:
$\angle EDM = 180^\circ - (19^\circ + 63^\circ) = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$.

По условию, отрезок $DK$ является биссектрисой угла $EDM$. Это означает, что он делит угол $EDM$ на два равных угла. Найдем величину угла $MDK$:
$\angle MDK = \frac{\angle EDM}{2} = \frac{98^\circ}{2} = 49^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $DHM$. Отрезок $DH$ — это высота, опущенная на сторону $ME$, следовательно, угол $\angle DHM$ прямой и равен $90^\circ$. Треугольник $DHM$ является прямоугольным. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Найдем угол $HDM$:
$\angle HDM = 90^\circ - \angle DMH = 90^\circ - \angle DME = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ$.

Искомый угол $HDK$ — это угол между высотой $DH$ и биссектрисой $DK$. Мы можем найти его как разность углов $MDK$ и $HDM$, поскольку оба луча $DK$ и $DH$ находятся внутри угла $EDM$ и исходят из одной вершины $D$:
$\angle HDK = \angle MDK - \angle HDM$
$\angle HDK = 49^\circ - 27^\circ = 22^\circ$.

Ответ: $22^\circ$.

119. Один из углов треугольника равен $120^\circ$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $20^\circ$. Найдите неизвестные углы треугольника.

119. Один из углов треугольника равен $120^\circ$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $20^\circ$. Найдите неизвестные углы треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ угол $\angle B = 120^\circ$. Из вершины $B$ проведены высота $BH$ (где $H$ лежит на прямой $AC$) и биссектриса $BD$ (где $D$ лежит на стороне $AC$). По условию, угол между высотой и биссектрисой равен $20^\circ$, то есть $\angle HBD = 20^\circ$.

Биссектриса $BD$ делит угол $\angle B$ на два равных угла:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому треугольники $ABH$ и $CBH$ являются прямоугольными ($\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$).

Сумма двух неизвестных углов треугольника $ABC$ равна:

$\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая расположения высоты $BH$ относительно биссектрисы $BD$.

Случай 1: Высота $BH$ находится между стороной $AB$ и биссектрисой $BD$.

В этом случае угол $\angle ABH$ можно найти как разность углов $\angle ABD$ и $\angle HBD$:

$\angle ABH = \angle ABD - \angle HBD = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, мы можем найти угол $\angle A$:

$\angle A = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Зная, что $\angle A + \angle C = 60^\circ$, найдем угол $\angle C$:

$\angle C = 60^\circ - \angle A = 60^\circ - 50^\circ = 10^\circ$.

Случай 2: Высота $BH$ находится между биссектрисой $BD$ и стороной $BC$.

В этом случае угол $\angle CBH$ можно найти как разность углов $\angle DBC$ и $\angle HBD$:

$\angle CBH = \angle DBC - \angle HBD = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, мы можем найти угол $\angle C$:

$\angle C = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Зная, что $\angle A + \angle C = 60^\circ$, найдем угол $\angle A$:

$\angle A = 60^\circ - \angle C = 60^\circ - 50^\circ = 10^\circ$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что два неизвестных угла треугольника равны $10^\circ$ и $50^\circ$.

Ответ: $10^\circ$, $50^\circ$.

120. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена биссектриса $AD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle ADC = 64^\circ$.

120. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена биссектриса $AD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle ADC = 64^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $ADC$ нам известны два угла: $\angle ACD = \angle C = 90^\circ$ (так как треугольник $ABC$ прямоугольный) и $\angle ADC = 64^\circ$ (по условию). Найдем третий угол, $\angle CAD$:

$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

$\angle CAD + 90^\circ + 64^\circ = 180^\circ$

$\angle CAD + 154^\circ = 180^\circ$

$\angle CAD = 180^\circ - 154^\circ = 26^\circ$

По условию, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Это означает, что он делит угол $\angle BAC$ на два равных угла. Следовательно, величина угла $\angle BAC$ в два раза больше величины угла $\angle CAD$.

$\angle BAC = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 26^\circ = 52^\circ$

Теперь, зная два угла в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 52^\circ$), мы можем найти третий угол, $\angle B$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.

$\angle A + \angle B = 90^\circ$

$52^\circ + \angle B = 90^\circ$

$\angle B = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$

Таким образом, острые углы треугольника $ABC$ – это $\angle A = 52^\circ$ и $\angle B = 38^\circ$.

Ответ: $52^\circ$ и $38^\circ$.

121. Высота $CH$ и биссектриса $BM$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $K$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle HKM = 116^\circ$.

121. Высота $CH$ и биссектриса $BM$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $K$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle HKM=116^\circ$.

Поскольку точки $B$, $K$, $M$ лежат на одной прямой (биссектрисе $BM$), углы $\angle BKH$ и $\angle HKM$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle BKH = 180^\circ - \angle HKM = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BKH$. Так как $CH$ — это высота, проведенная к стороне $AB$, то $CH \perp AB$, и следовательно, $\angle CHB = 90^\circ$. Поскольку точка $K$ лежит на высоте $CH$, то $\angle KHB = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle BKH$ является прямоугольным.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Для $\triangle BKH$ это означает:

$\angle KBH + \angle BKH = 90^\circ$.

Поскольку $BM$ — биссектриса угла $\angle ABC$, то $\angle KBH$ является половиной угла $\angle ABC$, то есть $\angle KBH = \frac{1}{2}\angle ABC$.

Подставим известные значения в равенство:

$\frac{1}{2}\angle ABC + 64^\circ = 90^\circ$.

Отсюда найдем величину угла $\angle ABC$:

$\frac{1}{2}\angle ABC = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$.

$\angle ABC = 2 \cdot 26^\circ = 52^\circ$.

Так как $\triangle ABC$ — прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$), сумма его острых углов равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол, $\angle BAC$:

$\angle BAC + \angle ABC = 90^\circ$.

$\angle BAC = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$.

Таким образом, острые углы треугольника $ABC$ равны $38^\circ$ и $52^\circ$.

Ответ: $38^\circ$ и $52^\circ$.

122. Существует ли треугольник со сторонами:

1) 9 см, 11 см, 20 см?

2) 6 см, 4 см, 11 см? Ответ обоснуйте.

122. Существует ли треугольник со сторонами:

1) 9 см, 11 см, 20 см;

2) 6 см, 4 см, 11 см? Ответ обоснуйте.

Чтобы определить, существует ли треугольник с заданными сторонами, необходимо применить неравенство треугольника. Согласно этому правилу, сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей, оставшейся стороны. Если стороны треугольника обозначить как $a$, $b$ и $c$, то должны выполняться все три условия:

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

На практике достаточно провести одну проверку: сложить длины двух самых коротких сторон и убедиться, что их сумма больше длины самой длинной стороны.

1) 9 см, 11 см, 20 см

Проверим, может ли существовать треугольник с такими сторонами. Две меньшие стороны — 9 см и 11 см. Самая длинная сторона — 20 см. Сравним сумму двух меньших сторон с третьей:

$9 + 11 > 20$

$20 > 20$

Это неравенство ложно, так как 20 не больше 20, а равно 20. Условие строгого неравенства не выполняется. Следовательно, треугольник с такими сторонами не может существовать. В данном случае три вершины будут лежать на одной прямой (так называемый вырожденный треугольник).

Ответ: нет, такой треугольник не существует.

2) 6 см, 4 см, 11 см

Проверим этот набор сторон. Две меньшие стороны — 4 см и 6 см. Самая длинная сторона — 11 см. Проверим выполнение неравенства треугольника:

$4 + 6 > 11$

$10 > 11$

Это неравенство ложно, так как 10 меньше 11. Сумма двух сторон оказалась меньше третьей, что противоречит основному свойству треугольника.

Ответ: нет, такой треугольник не существует.