Страница 79 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Запишите все углы, изображённые на рисунке 206.

Рис. 206

а

$ \angle FCP $

$ \angle FCK $

$ \angle PCK $

б

$ \angle AMN $

$ \angle AMD $

$ \angle AMT $

$ \angle NMD $

$ \angle NMT $

$ \angle DMT $

21. Запишите все углы, изображённые на рисунке 206.

Рис. 206

а

$ \angle FCP $

$ \angle FCK $

$ \angle PCK $

б

$ \angle AMN $

$ \angle AMD $

$ \angle AMT $

$ \angle NMD $

$ \angle NMT $

$ \angle DMT $

а) На рисунке а изображены три луча, выходящие из общей вершины $C$: луч $CF$, луч $CP$ и луч $CK$. Угол образуется парой лучей с общим началом. Перечислим все возможные пары лучей, чтобы найти все углы:

• Пара лучей $CF$ и $CP$ образует угол $∠FCP$.
• Пара лучей $CP$ и $CK$ образует угол $∠PCK$.
• Пара лучей $CF$ и $CK$ образует составной угол $∠FCK$.

Таким образом, на рисунке изображено 3 угла.
Ответ: $∠FCP$, $∠PCK$, $∠FCK$.

б) На рисунке б из общей вершины $M$ выходят четыре луча: $MA$, $MN$, $MT$ и $MD$. При этом лучи $MA$ и $MD$ лежат на одной прямой и образуют развернутый угол. Перечислим все возможные углы, образованные парами этих лучей:

• Лучи $MA$ и $MN$ образуют угол $∠AMN$.
• Лучи $MN$ и $MT$ образуют угол $∠NMT$.
• Лучи $MT$ и $MD$ образуют угол $∠TMD$.

Кроме этих трёх углов, есть ещё составные углы и развёрнутый угол:

• Лучи $MA$ и $MT$ образуют угол $∠AMT$ (состоящий из $∠AMN$ и $∠NMT$).
• Лучи $MN$ и $MD$ образуют угол $∠NMD$ (состоящий из $∠NMT$ и $∠TMD$).
• Лучи $MA$ и $MD$ образуют развёрнутый угол $∠AMD$.

Всего на рисунке изображено 6 углов.
Ответ: $∠AMN$, $∠NMT$, $∠TMD$, $∠AMT$, $∠NMD$, $∠AMD$.

22. Начертите угол $MXD$ и проведите лучи $XE$ и $XF$ между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.

22. Начертите угол $ \angle MXD $ и проведите лучи $ XE $ и $ XF $ между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.

Для решения задачи сначала начертим угол $\angle MXD$. Это угол с вершиной в точке $X$ и сторонами, которые являются лучами $XM$ и $XD$.

Далее, согласно условию, из вершины $X$ проведем два луча, $XE$ и $XF$, которые будут находиться между сторонами угла $\angle MXD$. Теперь у нас есть четыре луча, выходящих из одной точки $X$: $XM, XE, XF, XD$.

Чтобы записать все образовавшиеся углы, необходимо составить все возможные уникальные пары из этих четырех лучей. Проделаем это систематически:

1. Возьмем луч $XM$ и составим пары с остальными лучами. Получим три угла:
$\angle MXE$
$\angle MXF$
$\angle MXD$ (исходный угол)

2. Теперь возьмем луч $XE$ и составим пары с лучами, которые еще не были использованы в паре с $XE$. Получим два новых угла:
$\angle EXF$
$\angle EXD$

3. Наконец, возьмем луч $XF$ и составим пару с оставшимся лучом $XD$. Получим еще один угол:
$\angle FXD$

Таким образом, всего образовалось 6 углов.

Ответ: $\angle MXE, \angle MXF, \angle MXD, \angle EXF, \angle EXD, \angle FXD$.

23. Пользуясь транспортиром, найдите градусные меры углов, изображённых на рисунке 207. Укажите вид каждого угла.

Рис. 207

23. Пользуясь транспортиром, найдите градусные меры углов, изображённых на рисунке 207. Укажите вид каждого угла.

Рис. 207

Углы, изображенные на рисунке:

$ \angle KAE $

$ \angle SPM $

$ \angle LBD $

$ \angle EKP $

$ \angle NCQ $

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться транспортиром, чтобы измерить каждый угол, и затем классифицировать его в зависимости от градусной меры.

• Острый угол: меньше $90°$.
• Прямой угол: равен $90°$.
• Тупой угол: больше $90°$, но меньше $180°$.
• Развернутый угол: равен $180°$.

Угол $KAE$

Совмещаем центр транспортира с вершиной угла A, а одну из сторон угла (например, AE) — с нулевой отметкой на шкале транспортира. Смотрим, на какое деление шкалы указывает вторая сторона угла (AK). Измерение показывает, что градусная мера угла $KAE$ составляет примерно $140°$.
Поскольку $90° < 140° < 180°$, этот угол является тупым.
Ответ: $140°$, тупой.

Угол $SPM$

Аналогично измеряем угол $SPM$ с вершиной в точке P. Измерение показывает, что его градусная мера равна примерно $50°$.
Поскольку $50° < 90°$, этот угол является острым.
Ответ: $50°$, острый.

Угол $LBD$

Измеряем угол $LBD$ с вершиной в точке B. Его градусная мера составляет примерно $40°$.
Поскольку $40° < 90°$, этот угол является острым.
Ответ: $40°$, острый.

Угол $KEP$

Измеряем угол $KEP$ с вершиной в точке E. Его градусная мера составляет примерно $150°$.
Поскольку $90° < 150° < 180°$, этот угол является тупым.
Ответ: $150°$, тупой.

Угол $NCQ$

Измеряем угол $NCQ$ с вершиной в точке C. Его градусная мера составляет примерно $120°$.
Поскольку $90° < 120° < 180°$, этот угол является тупым.
Ответ: $120°$, тупой.

24. Начертите угол, градусная мера которого равна: 1) $73^{\circ}$; 2) $90^{\circ}$; 3) $89^{\circ}$; 4) $173^{\circ}$. Укажите вид каждого угла.

24. Начертите угол, градусная мера которого равна: 1) $73^\circ$; 2) $90^\circ$; 3) $89^\circ$; 4) $173^\circ$. Укажите вид каждого угла.

Для решения задачи классифицируем углы по их градусной мере:

• Острый угол — угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
• Прямой угол — угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
• Тупой угол — угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.
• Развернутый угол — угол, градусная мера которого равна $180^\circ$.

Для построения угла с градусной мерой $73^\circ$ используется транспортир. Сначала чертится луч. Затем к его началу прикладывается центр транспортира, а нулевая отметка совмещается с лучом. На шкале транспортира находится отметка $73^\circ$ и ставится точка. Через начало первого луча и эту точку проводится второй луч.

Поскольку градусная мера угла $73^\circ$ находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0^\circ < 73^\circ < 90^\circ$), этот угол является острым.

Ответ: острый угол.

Угол в $90^\circ$ строится аналогично с помощью транспортира, находя на его шкале отметку $90^\circ$. Лучи такого угла перпендикулярны друг другу. Этот угол часто обозначают маленьким квадратом в вершине.

Угол, градусная мера которого равна $90^\circ$, называется прямым.

Ответ: прямой угол.

Угол в $89^\circ$ строится с помощью транспортира. Его величина очень близка к прямому углу, но немного меньше.

Поскольку градусная мера угла $89^\circ$ находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0^\circ < 89^\circ < 90^\circ$), этот угол является острым.

Ответ: острый угол.

Угол в $173^\circ$ строится с помощью транспортира. Он будет широким, почти развернутым.

Поскольку градусная мера угла $173^\circ$ находится в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$ ($90^\circ < 173^\circ < 180^\circ$), этот угол является тупым.

Ответ: тупой угол.

25. Начертите угол $MTF$, равный $132^\circ$. Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису.

25. Начертите угол $MTF$, равный $132^\circ$. Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить построения с помощью линейки и транспортира.

Начертите угол MTF, равный 132°

1. С помощью линейки проведите на листе бумаги луч, отметив на нем начальную точку T (вершина угла) и произвольную точку M. Получили луч TM.
2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной T, а отметка $0^{\circ}$ на его шкале лежала на луче TM.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $132^{\circ}$. Так как этот угол тупой (больше $90^{\circ}$), убедитесь, что вы используете правильную шкалу (внутреннюю или внешнюю). Поставьте точку F напротив этой отметки.
4. Уберите транспортир и с помощью линейки соедините точку T с точкой F, проведя луч TF.
В результате этих действий построен угол $ \angle MTF $, градусная мера которого составляет $132^{\circ}$.

Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису

Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Для построения биссектрисы угла $ \angle MTF $ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Вычислите половину величины угла $ \angle MTF $. Биссектриса разделит его на два угла, каждый из которых будет равен: $132^{\circ} \div 2 = 66^{\circ}$.
2. Снова поместите транспортир так, чтобы его центр находился в точке T, а нулевая отметка — на луче TM.
3. Найдите на той же шкале транспортира отметку $66^{\circ}$ и поставьте рядом с ней точку (например, K).
4. Проведите луч TK из вершины T через точку K.
Полученный луч TK является биссектрисой угла $ \angle MTF $. Он делит исходный угол на два равных угла: $ \angle MTK $ и $ \angle KTF $, причем $ \angle MTK = \angle KTF = 66^{\circ} $.

Ответ: Построение угла и его биссектрисы выполняется согласно приведенной выше инструкции. Биссектриса делит угол $132^{\circ}$ на два равных угла по $66^{\circ}$.

26. Луч BN проходит между сторонами угла ABC. Найдите угол ABN, если $\angle ABC = 83^{\circ}$, $\angle CBN = 69^{\circ}$.

26. Луч BN проходит между сторонами угла ABC. Найдите угол ABN, если $ \angle ABC = 83^\circ $, $ \angle CBN = 69^\circ $.

26.

Поскольку луч BN проходит между сторонами угла ABC, то угол ABC равен сумме углов ABN и CBN. Это можно записать в виде формулы:

$∠ABC = ∠ABN + ∠CBN$

Из условия задачи нам известны величины углов ABC и CBN:

$∠ABC = 83°$

$∠CBN = 69°$

Чтобы найти неизвестный угол ABN, выразим его из формулы:

$∠ABN = ∠ABC - ∠CBN$

Теперь подставим числовые значения и произведем вычисление:

$∠ABN = 83° - 69° = 14°$

Ответ: $14°$

27. Луч $QM$ проходит между сторонами угла $CQF$, равного $69^\circ$. Найдите углы $MQC$ и $MQF$, если угол $MQC$ на $27^\circ$ больше угла $MQF$.

27. Луч $QM$ проходит между сторонами угла $CQF$, равного $69^\circ$. Найдите углы $MQC$ и $MQF$, если угол $MQC$ на $27^\circ$ больше угла $MQF$.

Согласно свойству измерения углов, если луч проходит между сторонами угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается. В данном случае луч QM проходит между сторонами угла CQF, следовательно:

$∠CQF = ∠MQC + ∠MQF$

Из условия задачи известно, что $∠CQF = 69°$. Таким образом, мы получаем первое уравнение:

$∠MQC + ∠MQF = 69°$

Также по условию угол MQC на 27° больше угла MQF. Запишем это в виде второго уравнения:

$∠MQC = ∠MQF + 27°$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем решить ее методом подстановки. Подставим выражение для $∠MQC$ из второго уравнения в первое:

$(∠MQF + 27°) + ∠MQF = 69°$

Теперь решим полученное уравнение относительно $∠MQF$:

$2 \cdot ∠MQF + 27° = 69°$

$2 \cdot ∠MQF = 69° - 27°$

$2 \cdot ∠MQF = 42°$

$∠MQF = \frac{42°}{2}$

$∠MQF = 21°$

Зная величину угла MQF, мы можем найти величину угла MQC, подставив найденное значение во второе уравнение:

$∠MQC = 21° + 27°$

$∠MQC = 48°$

Выполним проверку: $∠MQC + ∠MQF = 48° + 21° = 69°$, что соответствует условию задачи.

Ответ: $∠MQC = 48°$, $∠MQF = 21°$.

28. Развёрнутый угол разделили на 3 угла, градусные меры которых относятся как $3 : 5 : 7$. Найдите величины этих углов.

28. Развёрнутый угол разделили на 3 угла, градусные меры которых относятся как $3 : 5 : 7$. Найдите величины этих углов.

Развернутый угол по определению равен $180^{\circ}$. По условию задачи, он разделен на три угла, градусные меры которых относятся как $3:5:7$.

Пусть $x$ — это одна часть, или коэффициент пропорциональности. Тогда величины трех углов можно записать как $3x$, $5x$ и $7x$.

Сумма этих трех углов равна развернутому углу, то есть $180^{\circ}$. Составим и решим уравнение:

$3x + 5x + 7x = 180$

Складываем все части:

$15x = 180$

Находим значение одной части $x$:

$x = \frac{180}{15} = 12$

Теперь, зная значение одной части, можем найти величину каждого угла:
Первый угол: $3x = 3 \cdot 12 = 36^{\circ}$
Второй угол: $5x = 5 \cdot 12 = 60^{\circ}$
Третий угол: $7x = 7 \cdot 12 = 84^{\circ}$

Проверим правильность решения, сложив полученные углы: $36^{\circ} + 60^{\circ} + 84^{\circ} = 96^{\circ} + 84^{\circ} = 180^{\circ}$. Сумма верна.

Ответ: $36^{\circ}$, $60^{\circ}$, $84^{\circ}$.