Страница 79 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-09-079592-0
Популярные ГДЗ в 7 классе
Cтраница 79

№21 (с. 79)
Учебник 2017. №21 (с. 79)

21. Запишите все углы, изображённые на рисунке 206.
Рис. 206
а
$ \angle FCP $
$ \angle FCK $
$ \angle PCK $
б
$ \angle AMN $
$ \angle AMD $
$ \angle AMT $
$ \angle NMD $
$ \angle NMT $
$ \angle DMT $
Учебник 2021. №21 (с. 79)

21. Запишите все углы, изображённые на рисунке 206.
Рис. 206
а
$ \angle FCP $
$ \angle FCK $
$ \angle PCK $
б
$ \angle AMN $
$ \angle AMD $
$ \angle AMT $
$ \angle NMD $
$ \angle NMT $
$ \angle DMT $
Решение. №21 (с. 79)

Решение 2 (2021). №21 (с. 79)
а) На рисунке а изображены три луча, выходящие из общей вершины $C$: луч $CF$, луч $CP$ и луч $CK$. Угол образуется парой лучей с общим началом. Перечислим все возможные пары лучей, чтобы найти все углы:
- Пара лучей $CF$ и $CP$ образует угол $∠FCP$.
- Пара лучей $CP$ и $CK$ образует угол $∠PCK$.
- Пара лучей $CF$ и $CK$ образует составной угол $∠FCK$.
Таким образом, на рисунке изображено 3 угла.
Ответ: $∠FCP$, $∠PCK$, $∠FCK$.
б) На рисунке б из общей вершины $M$ выходят четыре луча: $MA$, $MN$, $MT$ и $MD$. При этом лучи $MA$ и $MD$ лежат на одной прямой и образуют развернутый угол. Перечислим все возможные углы, образованные парами этих лучей:
- Лучи $MA$ и $MN$ образуют угол $∠AMN$.
- Лучи $MN$ и $MT$ образуют угол $∠NMT$.
- Лучи $MT$ и $MD$ образуют угол $∠TMD$.
Кроме этих трёх углов, есть ещё составные углы и развёрнутый угол:
- Лучи $MA$ и $MT$ образуют угол $∠AMT$ (состоящий из $∠AMN$ и $∠NMT$).
- Лучи $MN$ и $MD$ образуют угол $∠NMD$ (состоящий из $∠NMT$ и $∠TMD$).
- Лучи $MA$ и $MD$ образуют развёрнутый угол $∠AMD$.
Всего на рисунке изображено 6 углов.
Ответ: $∠AMN$, $∠NMT$, $∠TMD$, $∠AMT$, $∠NMD$, $∠AMD$.
№22 (с. 79)
Учебник 2017. №22 (с. 79)

22. Начертите угол $MXD$ и проведите лучи $XE$ и $XF$ между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.
Учебник 2021. №22 (с. 79)

22. Начертите угол $ \angle MXD $ и проведите лучи $ XE $ и $ XF $ между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.
Решение. №22 (с. 79)

Решение 2 (2021). №22 (с. 79)
Для решения задачи сначала начертим угол $\angle MXD$. Это угол с вершиной в точке $X$ и сторонами, которые являются лучами $XM$ и $XD$.
Далее, согласно условию, из вершины $X$ проведем два луча, $XE$ и $XF$, которые будут находиться между сторонами угла $\angle MXD$. Теперь у нас есть четыре луча, выходящих из одной точки $X$: $XM, XE, XF, XD$.
Чтобы записать все образовавшиеся углы, необходимо составить все возможные уникальные пары из этих четырех лучей. Проделаем это систематически:
1. Возьмем луч $XM$ и составим пары с остальными лучами. Получим три угла:
$\angle MXE$
$\angle MXF$
$\angle MXD$ (исходный угол)
2. Теперь возьмем луч $XE$ и составим пары с лучами, которые еще не были использованы в паре с $XE$. Получим два новых угла:
$\angle EXF$
$\angle EXD$
3. Наконец, возьмем луч $XF$ и составим пару с оставшимся лучом $XD$. Получим еще один угол:
$\angle FXD$
Таким образом, всего образовалось 6 углов.
Ответ: $\angle MXE, \angle MXF, \angle MXD, \angle EXF, \angle EXD, \angle FXD$.
№23 (с. 79)
Учебник 2017. №23 (с. 79)

23. Пользуясь транспортиром, найдите градусные меры углов, изображённых на рисунке 207. Укажите вид каждого угла.
Рис. 207
Учебник 2021. №23 (с. 79)

23. Пользуясь транспортиром, найдите градусные меры углов, изображённых на рисунке 207. Укажите вид каждого угла.
Рис. 207
Углы, изображенные на рисунке:
$ \angle KAE $
$ \angle SPM $
$ \angle LBD $
$ \angle EKP $
$ \angle NCQ $
Решение. №23 (с. 79)

Решение 2 (2021). №23 (с. 79)
Для решения этой задачи необходимо воспользоваться транспортиром, чтобы измерить каждый угол, и затем классифицировать его в зависимости от градусной меры.
- Острый угол: меньше $90°$.
- Прямой угол: равен $90°$.
- Тупой угол: больше $90°$, но меньше $180°$.
- Развернутый угол: равен $180°$.
Угол $KAE$
Совмещаем центр транспортира с вершиной угла A, а одну из сторон угла (например, AE) — с нулевой отметкой на шкале транспортира. Смотрим, на какое деление шкалы указывает вторая сторона угла (AK). Измерение показывает, что градусная мера угла $KAE$ составляет примерно $140°$.
Поскольку $90° < 140° < 180°$, этот угол является тупым.
Ответ: $140°$, тупой.
Угол $SPM$
Аналогично измеряем угол $SPM$ с вершиной в точке P. Измерение показывает, что его градусная мера равна примерно $50°$.
Поскольку $50° < 90°$, этот угол является острым.
Ответ: $50°$, острый.
Угол $LBD$
Измеряем угол $LBD$ с вершиной в точке B. Его градусная мера составляет примерно $40°$.
Поскольку $40° < 90°$, этот угол является острым.
Ответ: $40°$, острый.
Угол $KEP$
Измеряем угол $KEP$ с вершиной в точке E. Его градусная мера составляет примерно $150°$.
Поскольку $90° < 150° < 180°$, этот угол является тупым.
Ответ: $150°$, тупой.
Угол $NCQ$
Измеряем угол $NCQ$ с вершиной в точке C. Его градусная мера составляет примерно $120°$.
Поскольку $90° < 120° < 180°$, этот угол является тупым.
Ответ: $120°$, тупой.
№24 (с. 79)
Учебник 2017. №24 (с. 79)

24. Начертите угол, градусная мера которого равна: 1) $73^{\circ}$; 2) $90^{\circ}$; 3) $89^{\circ}$; 4) $173^{\circ}$. Укажите вид каждого угла.
Учебник 2021. №24 (с. 79)

24. Начертите угол, градусная мера которого равна: 1) $73^\circ$; 2) $90^\circ$; 3) $89^\circ$; 4) $173^\circ$. Укажите вид каждого угла.
Решение. №24 (с. 79)

Решение 2 (2021). №24 (с. 79)
Для решения задачи классифицируем углы по их градусной мере:
- Острый угол — угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
- Прямой угол — угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
- Тупой угол — угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.
- Развернутый угол — угол, градусная мера которого равна $180^\circ$.
Для построения угла с градусной мерой $73^\circ$ используется транспортир. Сначала чертится луч. Затем к его началу прикладывается центр транспортира, а нулевая отметка совмещается с лучом. На шкале транспортира находится отметка $73^\circ$ и ставится точка. Через начало первого луча и эту точку проводится второй луч.
Поскольку градусная мера угла $73^\circ$ находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0^\circ < 73^\circ < 90^\circ$), этот угол является острым.
Ответ: острый угол.
2) 90°Угол в $90^\circ$ строится аналогично с помощью транспортира, находя на его шкале отметку $90^\circ$. Лучи такого угла перпендикулярны друг другу. Этот угол часто обозначают маленьким квадратом в вершине.
Угол, градусная мера которого равна $90^\circ$, называется прямым.
Ответ: прямой угол.
3) 89°Угол в $89^\circ$ строится с помощью транспортира. Его величина очень близка к прямому углу, но немного меньше.
Поскольку градусная мера угла $89^\circ$ находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0^\circ < 89^\circ < 90^\circ$), этот угол является острым.
Ответ: острый угол.
4) 173°Угол в $173^\circ$ строится с помощью транспортира. Он будет широким, почти развернутым.
Поскольку градусная мера угла $173^\circ$ находится в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$ ($90^\circ < 173^\circ < 180^\circ$), этот угол является тупым.
Ответ: тупой угол.
№25 (с. 79)
Учебник 2017. №25 (с. 79)

25. Начертите угол $MTF$, равный $132^\circ$. Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису.
Учебник 2021. №25 (с. 79)

25. Начертите угол $MTF$, равный $132^\circ$. Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису.
Решение. №25 (с. 79)

Решение 2 (2021). №25 (с. 79)
Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить построения с помощью линейки и транспортира.
Начертите угол MTF, равный 132°
1. С помощью линейки проведите на листе бумаги луч, отметив на нем начальную точку T (вершина угла) и произвольную точку M. Получили луч TM.
2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной T, а отметка $0^{\circ}$ на его шкале лежала на луче TM.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $132^{\circ}$. Так как этот угол тупой (больше $90^{\circ}$), убедитесь, что вы используете правильную шкалу (внутреннюю или внешнюю). Поставьте точку F напротив этой отметки.
4. Уберите транспортир и с помощью линейки соедините точку T с точкой F, проведя луч TF.
В результате этих действий построен угол $ \angle MTF $, градусная мера которого составляет $132^{\circ}$.
Пользуясь транспортиром, проведите его биссектрису
Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Для построения биссектрисы угла $ \angle MTF $ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Вычислите половину величины угла $ \angle MTF $. Биссектриса разделит его на два угла, каждый из которых будет равен: $132^{\circ} \div 2 = 66^{\circ}$.
2. Снова поместите транспортир так, чтобы его центр находился в точке T, а нулевая отметка — на луче TM.
3. Найдите на той же шкале транспортира отметку $66^{\circ}$ и поставьте рядом с ней точку (например, K).
4. Проведите луч TK из вершины T через точку K.
Полученный луч TK является биссектрисой угла $ \angle MTF $. Он делит исходный угол на два равных угла: $ \angle MTK $ и $ \angle KTF $, причем $ \angle MTK = \angle KTF = 66^{\circ} $.
Ответ: Построение угла и его биссектрисы выполняется согласно приведенной выше инструкции. Биссектриса делит угол $132^{\circ}$ на два равных угла по $66^{\circ}$.
№26 (с. 79)
Учебник 2017. №26 (с. 79)

26. Луч BN проходит между сторонами угла ABC. Найдите угол ABN, если $\angle ABC = 83^{\circ}$, $\angle CBN = 69^{\circ}$.
Учебник 2021. №26 (с. 79)

26. Луч BN проходит между сторонами угла ABC. Найдите угол ABN, если $ \angle ABC = 83^\circ $, $ \angle CBN = 69^\circ $.
Решение. №26 (с. 79)

Решение 2 (2021). №26 (с. 79)
26.
Поскольку луч BN проходит между сторонами угла ABC, то угол ABC равен сумме углов ABN и CBN. Это можно записать в виде формулы:
$∠ABC = ∠ABN + ∠CBN$
Из условия задачи нам известны величины углов ABC и CBN:
$∠ABC = 83°$
$∠CBN = 69°$
Чтобы найти неизвестный угол ABN, выразим его из формулы:
$∠ABN = ∠ABC - ∠CBN$
Теперь подставим числовые значения и произведем вычисление:
$∠ABN = 83° - 69° = 14°$
Ответ: $14°$
№27 (с. 79)
Учебник 2017. №27 (с. 79)

27. Луч $QM$ проходит между сторонами угла $CQF$, равного $69^\circ$. Найдите углы $MQC$ и $MQF$, если угол $MQC$ на $27^\circ$ больше угла $MQF$.
Учебник 2021. №27 (с. 79)

27. Луч $QM$ проходит между сторонами угла $CQF$, равного $69^\circ$. Найдите углы $MQC$ и $MQF$, если угол $MQC$ на $27^\circ$ больше угла $MQF$.
Решение. №27 (с. 79)

Решение 2 (2021). №27 (с. 79)
Согласно свойству измерения углов, если луч проходит между сторонами угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается. В данном случае луч QM проходит между сторонами угла CQF, следовательно:
$∠CQF = ∠MQC + ∠MQF$
Из условия задачи известно, что $∠CQF = 69°$. Таким образом, мы получаем первое уравнение:
$∠MQC + ∠MQF = 69°$
Также по условию угол MQC на 27° больше угла MQF. Запишем это в виде второго уравнения:
$∠MQC = ∠MQF + 27°$
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем решить ее методом подстановки. Подставим выражение для $∠MQC$ из второго уравнения в первое:
$(∠MQF + 27°) + ∠MQF = 69°$
Теперь решим полученное уравнение относительно $∠MQF$:
$2 \cdot ∠MQF + 27° = 69°$
$2 \cdot ∠MQF = 69° - 27°$
$2 \cdot ∠MQF = 42°$
$∠MQF = \frac{42°}{2}$
$∠MQF = 21°$
Зная величину угла MQF, мы можем найти величину угла MQC, подставив найденное значение во второе уравнение:
$∠MQC = 21° + 27°$
$∠MQC = 48°$
Выполним проверку: $∠MQC + ∠MQF = 48° + 21° = 69°$, что соответствует условию задачи.
Ответ: $∠MQC = 48°$, $∠MQF = 21°$.
№28 (с. 79)
Учебник 2017. №28 (с. 79)

28. Развёрнутый угол разделили на 3 угла, градусные меры которых относятся как $3 : 5 : 7$. Найдите величины этих углов.
Учебник 2021. №28 (с. 79)

28. Развёрнутый угол разделили на 3 угла, градусные меры которых относятся как $3 : 5 : 7$. Найдите величины этих углов.
Решение. №28 (с. 79)

Решение 2 (2021). №28 (с. 79)
Развернутый угол по определению равен $180^{\circ}$. По условию задачи, он разделен на три угла, градусные меры которых относятся как $3:5:7$.
Пусть $x$ — это одна часть, или коэффициент пропорциональности. Тогда величины трех углов можно записать как $3x$, $5x$ и $7x$.
Сумма этих трех углов равна развернутому углу, то есть $180^{\circ}$. Составим и решим уравнение:
$3x + 5x + 7x = 180$
Складываем все части:
$15x = 180$
Находим значение одной части $x$:
$x = \frac{180}{15} = 12$
Теперь, зная значение одной части, можем найти величину каждого угла:
Первый угол: $3x = 3 \cdot 12 = 36^{\circ}$
Второй угол: $5x = 5 \cdot 12 = 60^{\circ}$
Третий угол: $7x = 7 \cdot 12 = 84^{\circ}$
Проверим правильность решения, сложив полученные углы: $36^{\circ} + 60^{\circ} + 84^{\circ} = 96^{\circ} + 84^{\circ} = 180^{\circ}$. Сумма верна.
Ответ: $36^{\circ}$, $60^{\circ}$, $84^{\circ}$.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.